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線性代數(shù)的本質(zhì)

本課程從幾何的角度翻譯了線代中各種核心的概念及性質(zhì)，對(duì)做題和練習(xí)效果有實(shí)質(zhì)性的提高，下面博主來(lái)總結(jié)一下自己的理解

1.向量的本質(zhì)

在物理中的理解是一個(gè)有起點(diǎn)和終點(diǎn)的方向矢量，而在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的理解——更像是某種類似于列表的結(jié)構(gòu)體（只不過(guò)這是一種以數(shù)字為元素的列表）。

對(duì)應(yīng)在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，可以理解為一種坐標(biāo)——分別用列表中的項(xiàng)來(lái)對(duì)應(yīng)起點(diǎn)與終點(diǎn)（二維向量）。?

而向量加法的本質(zhì)，即為對(duì)應(yīng)維度上的線性相消。?而另一種理解為，向量是空間中的某種運(yùn)動(dòng)，在不同維度上的線性抵消，如下圖——這一性質(zhì)也可以擴(kuò)展到n維。

2.向量的坐標(biāo)

首先理解單位向量的概念——i（1,0），j（0,1），由i與j的線性相加可以得到空間中的任一向量~

而向量【-3,2】，可以將兩個(gè)元素理解為2個(gè)標(biāo)量——即對(duì)向量的拉伸與壓縮。

而基向量，也就是單位向量，即為所謂拉伸與壓縮的對(duì)象！

兩個(gè)數(shù)型向量的相加，被稱為這2個(gè)向量的線性組合~

對(duì)于線性的一種理解：只允許1個(gè)標(biāo)量變化，其余n-1個(gè)維度的坐標(biāo)固定，所產(chǎn)生的向量集即為一條直線！

3.張成空間

定義：所有可以表示為給定向量線性組合的向量的集合。

• 對(duì)于二維，表示所有二維空間中向量的集合，亦或終點(diǎn)相同的向量的集合
• 對(duì)于三維，表示一個(gè)平面或者一個(gè)空間

4.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

• 所謂線性相關(guān)，即向量組中至少有一個(gè)是多余的，即沒(méi)有對(duì)張成空間的形成做出貢獻(xiàn)——換句話說(shuō)，有至少一個(gè)向量可由其他向量線性相加獲得（線性組合）
• 而所謂線性無(wú)關(guān)，即每一個(gè)向量的存在都會(huì)使得張成空間的維度增加

5.矩陣的本質(zhì)——線性變換

所謂變化，其實(shí)就是函數(shù)的一種花哨說(shuō)法~

本質(zhì)上，向量a是由i和j的一個(gè)線性組合，而空間發(fā)生變化后a1則變?yōu)榱?strong>同樣發(fā)生變化的i1與j1與原來(lái)保持一致的線性組合！

所以，如果將變化后的i1與j1按照列向量合集表示，如下圖，即形成了所謂的矩陣！

也就是說(shuō)，在二維空間的線性變換，僅由4個(gè)數(shù)就可以決定！

?此刻若給出一個(gè)矩陣和一個(gè)已知變量 ，即可得出：對(duì)該向量進(jìn)行目標(biāo)矩陣的變換后可以得出的新向量!

關(guān)于上面的一個(gè)理解，不要暈：所謂的5/7，本質(zhì)上的意味是：a=5i+7j，也就是說(shuō)，所謂的目標(biāo)向量，本質(zhì)也是對(duì)i和j的一種變化?。?！而為什么有的變化就是向量，而有的變化就是矩陣呢？那是因?yàn)?，所謂的5/7，他對(duì)應(yīng)的均為當(dāng)前方向上的變化——即翻倍延長(zhǎng)，而矩陣中，第一行的變化，均為在i方向上的變化，而第二行則全部對(duì)應(yīng)j方向的變化——也就是說(shuō)，矩陣變化后的i1和j1，實(shí)際上是在兩個(gè)方向上同時(shí)變化?。?！因此不難理解矩陣乘法的底層邏輯:這里第一行乘以第一列的意義，實(shí)際上是原來(lái)對(duì)應(yīng)的5i，在i變成i1后所需要對(duì)應(yīng)的變化——即i方向變3，j方向變2！第二行也是同理~此刻即使擴(kuò)展到n維，這一原理仍成立！

?再進(jìn)行一個(gè)更炸裂的理解：所謂m行n列的矩陣，m即為當(dāng)前基向量的個(gè)數(shù)——即坐標(biāo)系的維度，而所謂的mn列，即為對(duì)原始的基向量，需要進(jìn)行幾維的線性變換！

因此，我們可以說(shuō)：矩陣的本質(zhì)就是一種線性變換?。ㄒ簿褪亲饔糜谙蛄康暮瘮?shù)）

6.矩陣的乘法

如果將矩陣?yán)斫鉃橐环N線性變換，那么矩陣的相乘本質(zhì)即為連續(xù)的線性變換~

注意一個(gè)細(xì)節(jié)——同函數(shù)一致，需要向右往左看！

對(duì)于相乘后得到的矩陣：第一列即為第一個(gè)矩陣進(jìn)行變換變?yōu)閕1后，第二個(gè)矩陣使他變換為了i2；j2的誕生亦是如此~

至于乘法的規(guī)則，再描述一遍：如上的1/1，即為對(duì)i的變化，現(xiàn)在需要將i1變化為i2，則需要再對(duì)i1進(jìn)行i和j兩個(gè)維度上的一次變化！?所以i1的i方向1在i上變0，j上變1；j1的i方向上2而j方向上變0！

非常抽象，需要反復(fù)琢磨！

7.三維空間中的線性變換

同二維平面一致，此處僅需要9個(gè)數(shù)，即可完成三維空間下的線性變換，將這9個(gè)數(shù)組為三維向量。

此處對(duì)3維方陣與向量的乘積做出如下兩種理解：

• 首先，按列看，1~3列可以分別對(duì)應(yīng)為基向量i、j、k的線性變換，而按行看，則代表i、j、k向量在當(dāng)前所對(duì)應(yīng)的維度上各自的變化量。
• ?另一種解釋，如上圖，xyz后面的向量，實(shí)際意義是經(jīng)過(guò)線性變換后坐標(biāo)系里的基向量，而此刻把xyz可以理解為一種給定的標(biāo)量，并作用于當(dāng)前變換后的基向量

8.行列式

單位正方形：在二維平面內(nèi)，以i和j兩個(gè)基向量為邊所圈成的正方形

行列式的本質(zhì)，即為線性變換對(duì)原面積改變的比例——行列式的值即為對(duì)面積的縮放比例數(shù)值

• 在二維平面里，如果行列式的值為負(fù)，本質(zhì)是在將矩陣翻轉(zhuǎn)~
• 在三維空間里，行雷士的值即為對(duì)應(yīng)體積的縮放比例~

在三維的情況下，當(dāng)行列式為0時(shí)，即當(dāng)前的體積被壓縮為0，幾何角度的理解為：存在共線向量、共面甚至重合的一個(gè)點(diǎn)！——這便是所謂線性相關(guān)的幾何意義。

這也從某種角度解釋了——為什么對(duì)應(yīng)的行列式為0的向量組必然線性相關(guān)，實(shí)質(zhì)上還是那個(gè)理解，存在未對(duì)維度變化做出貢獻(xiàn)的向量

（可以說(shuō)，空間壓縮的本質(zhì)是行列式為0）

9.線性方程組

首先要注意——線性方程組存在的意義和向量的乘法非常的類似~

如上是一種非常具有技巧性的理解：方程組可以表示為矩陣與向量的積

其中系數(shù)矩陣A本質(zhì)上就是對(duì)于向量的某種函數(shù)；而這里的向量是一個(gè)未知數(shù)，由x/y/z三個(gè)未知的數(shù)值表示。

上述Ax=v的理解可以有兩種：

• 矩陣代表一種線性變換，在一元函數(shù)中可以理解為k、b這樣的常數(shù)，而xyz組成的向量本質(zhì)上就是一元函數(shù)中的自變量
• 同理，依舊可以理解為，xyz是對(duì)當(dāng)前經(jīng)過(guò)矩陣A變換后的新的基向量的數(shù)值，則這一方程本質(zhì)上變?yōu)榱饲蠼鈽?biāo)量xyz的過(guò)程

?10.逆矩陣

顧名思義，幾何意義即為逆向的線性變換。

存在的意義為，A-1和A可以相互抵消，形成一個(gè)本質(zhì)上什么都做的變換，這樣的變換又被稱為恒等變換

單位矩陣E的集合意義在這里就解釋得同了：對(duì)角線為1的性質(zhì)，帶來(lái)了僅對(duì)當(dāng)前向量的基向量所對(duì)應(yīng)維度的變換，且倍數(shù)為1。

11.秩

本質(zhì)為線性變換后的空間維數(shù)（國(guó)內(nèi)的課本定義為：非0子式的最高階數(shù)......）

秩為1表示變換后的直線落在一條一維的線上，秩為2表示為二維空間

列空間：所有可能得輸出向量所構(gòu)成的集合——所以秩也可以定義為列空間的維數(shù)

滿秩：秩數(shù)與列數(shù)相等

12.非方陣的矩陣

如上圖，結(jié)合一個(gè)具體的例子產(chǎn)生矩陣的數(shù)值意義：2列代表著，輸入空間有兩個(gè)基向量，即該向量的張成空間可以理解為是二維的；而3行，又意味著每一個(gè)基向量又有3個(gè)坐標(biāo)組成。而這樣一個(gè)三行兩列的句子，意味著空間中的一個(gè)平面。

總的來(lái)說(shuō)，矩陣的行數(shù)即為當(dāng)前向量坐標(biāo)的個(gè)數(shù)，而列數(shù)則是基向量的個(gè)數(shù)~

因此這里提出一個(gè)比較炸裂的理解：為什么不是方陣的矩陣均沒(méi)有行列式呢？這是因?yàn)椋?span style="color:#fe2c24;">方陣與向量的積不會(huì)改變向量的維度，而矩陣本身又是一個(gè)線性變換，所以可以理解為乘以對(duì)應(yīng)的行列式——即某個(gè)倍數(shù)；而矩陣乘以一個(gè)向量，會(huì)改變向量的維度！因此在不同的維度下討論倍數(shù)，便不再具有意義。這里打個(gè)比方，有一桶水，所謂的伸縮本質(zhì)上就是給水桶里添加/減少容量的過(guò)程，而如果水灑了一地，維度改變，即不再具有倍數(shù)的討論。

13.特征值與特征向量

特征值：衡量特征向量在變換中拉伸或壓縮的比例的因子~

特征向量：線性變換中不離開(kāi)自己張成空間的特殊向量~

（一部分暫不展開(kāi)更細(xì)的講解，之后有機(jī)會(huì)更新）文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-787417.html

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