系列文章

【管理運(yùn)籌學(xué)】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（1，多階段決策過程與動態(tài)規(guī)劃基本概念）
【管理運(yùn)籌學(xué)】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（2，動態(tài)規(guī)劃的基本思想與模型求解）
【管理運(yùn)籌學(xué)】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（3，資源分配問題）
【管理運(yùn)籌學(xué)】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（4，生產(chǎn)與儲存問題）
【管理運(yùn)籌學(xué)】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（5，設(shè)備更新問題）

引言

在生產(chǎn)和經(jīng)營管理中，經(jīng)常遇到要合理安排生產(chǎn)（或購買）與庫存的問題，達(dá)到既要滿足社會的需要，又要盡量降低成本費(fèi)用。因此，正確制定生產(chǎn)（或采購）策略，確定不同時期的生產(chǎn)量（或購買量）和庫存量，以使得總生產(chǎn)成本費(fèi)用和庫存費(fèi)用之和最小，這就是生產(chǎn)與儲存問題的最優(yōu)化目標(biāo)。

四、生產(chǎn)與儲存問題

4.1 生產(chǎn)計劃問題

設(shè)某公司要對某種產(chǎn)品要制定一項(xiàng) $n$ 個階段的生產(chǎn)（或購買）目標(biāo)。已知它的初始庫存量為 0 ，每階段生產(chǎn)（或購買）該產(chǎn)品的數(shù)量有上限 $m$ 的限制；每階段社會對該產(chǎn)品的需求量 $d_k$ 是已知的，公司保證供應(yīng)；在 $n$ 階段末的終結(jié)庫存量為 0 。問該公司如何制定每個階段的生產(chǎn)（或采購）計劃，從而使總成本最小。

用動態(tài)規(guī)劃方法來求解，把它看作一個 $n$ 階段決策問題。令 $s_k$ 為狀態(tài)變量，表示第 $k$ 階段開始時的庫存量；$x_k$ 為決策變量，表示第 $k$ 階段的生產(chǎn)量。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為 $s_{k+1}=s_k+x_k?d_k.$

第 $k$ 階段的成本費(fèi)用包括生產(chǎn)成本和存儲費(fèi)用兩項(xiàng)：$c_k(x_k)+h_k(x_k)$ ，其中 $c_k(x_k)$ 表示第 $k$ 階段生產(chǎn)產(chǎn)品 $x_k$ 時的成本費(fèi)用，一般包括生產(chǎn)準(zhǔn)備成本 $K$ 和產(chǎn)品成本 $a{x}_k$ （其中 $a$ 是單位產(chǎn)品成本）兩項(xiàng)費(fèi)用。有 $$c_k(x_k)=?\begin{array}{ll}0& ,x_k=0\\ K+a{x}_k& ,x_k=1,2,?,m\\ \infty & ,x_k>m\end{array}$$ $K,a$ 為已知參數(shù)，$h_k(x_k)$ 表示在第 $k$ 階段結(jié)束有庫存量時所需的儲存費(fèi)用。其實(shí)第 $k$ 階段結(jié)束時庫存量就等于下一階段開始的庫存量，即 $x_{k+1}$ 。

最優(yōu)值函數(shù) $f_k(s_k)$ 表示從第 $k$ 階段初庫存量為 $s_k$ 到第 $n$ 階段庫存量為 0 時的最小總費(fèi)用，其基本方程為 { f k ( s k ) = min ? σ k ′ ≤ x k ≤ σ k { c k ( x k ) + h k ( x k ) + f k + 1 ( x k + s k ? d k ) } , k = n , n ? 1 , ? ? , 1 f n + 1 ( s n + 1 ) = 0 \begin{cases} f_k(s_k)=\min_{\sigma_k'\leq x_k \leq \sigma_k} \{c_k(x_k)+h_k(x_k)+f_{k+1}(x_k+s_k-d_k)\} ,k=n,n-1,\cdots,1 \\ f_{n+1}(s_{n+1})=0 \end{cases} {fk?(sk?)=minσk′?≤xk?≤σk??{ck?(xk?)+hk?(xk?)+fk+1?(xk?+sk??dk?)},k=n,n?1,?,1fn+1?(sn+1?)=0? 其中， σ k = min ? { ∑ i = k n d i ? s k , m } \sigma_k=\min\{\sum_{i=k}^nd_i-s_k,m\} σk?=min{∑i=kn?di??sk?,m} ，一方面每階段生產(chǎn)上限為 $m$ ，另一方面需保證 $n$ 階段結(jié)束時庫存量能取 0 。 σ k ′ = max ? { d k ? s k , 0 } \sigma'_k=\max\{d_k-s_k,0\} σk′?=max{dk??sk?,0} ，這是為了保證第 $k$ 階段的生產(chǎn)量能滿足市場需求。

4.2 不確定性的采購問題

在實(shí)際問題中，還會遇到某些多階段決策過程，與前面所討論的確定性不同，出現(xiàn)了隨機(jī)性因素，狀態(tài)轉(zhuǎn)移不能完全確定，是按照某種已知的概率分布取值的。具有這種性質(zhì)的多階段決策過程稱為隨機(jī)性的決策過程。下面舉一個例子。

（采購問題） 某廠生產(chǎn)上需要在近 5 周內(nèi)采購一批原料，而估計在未來 5 周內(nèi)價格會有波動，單價為 500 的概率為 0.3 ，為 600 的概率為 0.3 ，為700 的概率為 0.4 。試求在哪一周以什么價格購入，能使得其采購價格的數(shù)學(xué)期望最??？并求出期望值。

我感覺這類題目還可以改成求采購價格的最大可能、最小可能等等。

按采購期限，分為 5 個階段，設(shè)

$y_k$ —— 狀態(tài)變量，表示第 $k$ 周的實(shí)際價格。

$x_k$ —— 決策變量，表示第 $k$ 周是否決定采購，當(dāng)取值為 1 時，表示第 $k$ 周采購；取值為 0 時，表示第 $k$ 周決定等待。

$y_{kE}$ —— 第 $k$ 周決定等待，而在以后采取最優(yōu)決策時的采購價格平均值。

$f_k(y_k)$ —— 第 $k$ 周實(shí)際價格為 $y_k$ 時，從第 $k$ 周至第 5 周采取最優(yōu)決策所得的最小期望值。

則逆序遞推關(guān)系為 { f k ( y k ) = min ? { y k , y k E } , y k ∈ s k f 5 ( y k ) = y 5 , y 5 ∈ s 5 \begin{cases} f_k(y_k)=\min\{y_k,y_{kE}\},&y_k \in s_k \\ f_5(y_k)=y_5,&y_5\in s_5 \end{cases} {fk?(yk?)=min{yk?,ykE?},f5?(yk?)=y5?,?yk?∈sk?y5?∈s5?? 其中， s k = { 500 , 600 , 700 } , k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5. s_k=\{500,600,700\},k=1,2,3,4,5. sk?={500,600,700},k=1,2,3,4,5.

當(dāng)?shù)?$k$ 周實(shí)際價格為 $y_k$ 時，若選擇等待，則 $y_{kE}=E[f_{k+1}(y_{k+1})]=0.3f_{k+1}(500)+0.3f_{k+1}(600)+0.4f_{k+1}(700)$ 。如果 $f_k(y_k)=y_{kE}$ ，則第 $k$ 周應(yīng)選擇等待，即 $x_k=0$ ；如果 $f_k(y_k)=y_k$ ，則第 $k$ 周應(yīng)選擇購入，即 $x_k=1$ ；

第一步： $k=5$ ，此時必須購入，則 $x_5=1,f_5(500)=500,f_5(600)=600,f_5(700)=700.$

第二步： $k=4$ ，$y_{4E}=0.3f_5(500)+0.3f_5(600)+0.4f_5(700)=0.3\times 500+0.3\times 600+0.4\times 700=610$ ，則 f 4 ( y 4 ) = min ? { y 4 , y 4 E } = { 500 , y 4 = 500 600 , y 4 = 600 610 , y 4 = 700 f_4(y_4)=\min\{y_4,y_{4E}\}=\begin{cases} 500,&y_4=500 \\ 600,&y_4=600 \\ 610,&y_4=700 \end{cases} f4?(y4?)=min{y4?,y4E?}=? ? ??500,600,610,?y4?=500y4?=600y4?=700? 可知，當(dāng)?shù)?4 周實(shí)際價格為 500 或 600 時，可以選擇購入；當(dāng)實(shí)際價格為 700 時，應(yīng)等待。

第三、四、五步： 同理，可計算得到， f 3 ( y 3 ) = min ? { y 3 , y 3 E = 574 } = { 500 , y 3 = 500 574 , y 3 = 600 574 , y 3 = 700 , x 3 = { 1 , y 3 = 500 0 , y 3 = 600 , 700 ; f_3(y_3)=\min\{y_3,y_{3E}=574\}=\begin{cases} 500,&y_3=500 \\ 574,&y_3=600 \\ 574,&y_3=700 \end{cases},x_3=\begin{cases} 1,&y_3=500 \\ 0,&y_3=600,700 \end{cases}; f3?(y3?)=min{y3?,y3E?=574}=? ? ??500,574,574,?y3?=500y3?=600y3?=700?,x3?={1,0,?y3?=500y3?=600,700?; f 2 ( y 2 ) = min ? { y 2 , y 2 E = 551.8 } = { 500 , y 2 = 500 551.8 , y 2 = 600 551.8 , y 2 = 700 , x 2 = { 1 , y 2 = 500 0 , y 2 = 600 , 700 ; f_2(y_2)=\min\{y_2,y_{2E}=551.8\}=\begin{cases} 500,&y_2=500 \\ 551.8,&y_2=600 \\ 551.8,&y_2=700 \end{cases},x_2=\begin{cases} 1,&y_2=500 \\ 0,&y_2=600,700 \end{cases}; f2?(y2?)=min{y2?,y2E?=551.8}=? ? ??500,551.8,551.8,?y2?=500y2?=600y2?=700?,x2?={1,0,?y2?=500y2?=600,700?; f 1 ( y 1 ) = min ? { y 1 , y 1 E = 536.26 } = { 500 , y 1 = 500 536.26 , y 1 = 600 536.26 , y 1 = 700 , x 1 = { 1 , y 1 = 500 0 , y 1 = 600 , 700 ; f_1(y_1)=\min\{y_1,y_{1E}=536.26\}=\begin{cases} 500,&y_1=500 \\ 536.26,&y_1=600 \\ 536.26,&y_1=700 \end{cases},x_1=\begin{cases} 1,&y_1=500 \\ 0,&y_1=600,700 \end{cases}; f1?(y1?)=min{y1?,y1E?=536.26}=? ? ??500,536.26,536.26,?y1?=500y1?=600y1?=700?,x1?={1,0,?y1?=500y1?=600,700?; 綜上，最優(yōu)采購策略為：前三周，價格為 500 就購入，否則等待；第 4 周時，如果還沒購入，價格為 500 或 600 時就購入，否則等待；第 5 周時，如果還沒購入，不管怎么樣都應(yīng)該購入。

按照上述策略進(jìn)行采購時，采購價格的數(shù)學(xué)期望計算如下：$$E=500\times (0.3+0.7\times 0.3+0.7^2\times 0.3+0.7^3\times 0.3+0.7^3\times 0.4\times 0.3)+$$ $$600\times (0.7^3\times 0.3+0.7^3\times 0.4\times 0.3)+700\times (0.7^3\times 0.4\times 0.4)=\mathrm{525.382.}$$

還好前幾天復(fù)習(xí)了下概率論，要不這個數(shù)學(xué)期望還真不太好理解。

寫在最后

對于確定型生產(chǎn)計劃問題，其實(shí)和資源分配問題有點(diǎn)像，只是多加了一部分回收的費(fèi)用；而對于不確定型采購問題，則有點(diǎn)難以理解，建模難度較高，不過求解方法和前面類似。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-771170.html

到了這里，關(guān)于【管理運(yùn)籌學(xué)】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（4，生產(chǎn)與儲存問題）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！