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【管理運籌學】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（1，多階段決策過程與動態(tài)規(guī)劃基本概念）
【管理運籌學】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（2，動態(tài)規(guī)劃的基本思想與模型求解）
【管理運籌學】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（3，資源分配問題）
【管理運籌學】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（4，生產與儲存問題）
【管理運籌學】第 8 章 | 動態(tài)規(guī)劃（5，設備更新問題）

引言

在工業(yè)和交通運輸企業(yè)中，經(jīng)常碰到設備陳舊或部分損壞需要更新的問題。從經(jīng)濟上來分析，一種設備應該用多少年后進行更新較為恰當，即更新的最佳策略如何，從而使在某一時間內的總收入達到最大（或總費用達到最?。?。

五、設備更新問題

現(xiàn)以一臺機器為例，隨著使用年限的增加，機器的使用效率降低，收入減少，維修費用增加。而且機器使用年限越長，它本身的價值就越小，因而更新時所需的凈支出費用就愈多。

設 $I_j(t)$ —— 在第 $j$ 年機器役齡為 $t$ 年的一臺機器運行所得收入；$O_j(t)$ —— 在第 $j$ 年機器役齡為 $t$ 年的一臺機器運行所需費用；$C_j(t)$ —— 在第 $j$ 年機器役齡為 $t$ 年的一臺機器更新時所需凈費用；

$\alpha$ —— 折扣因子（$0\le \alpha \le 1$），表示 1 年以后的單位收入價值視為現(xiàn)年的 $\alpha$ 單位；$T$ —— 在第 1 年開始時，正在使用的機器的役齡；$n$ —— 計劃的年限總數(shù)；

$g_j(t)$ —— 在第 $j$ 年開始使用一個機器役齡為 $t$ 年的機器時，從第 $j$ 年至第 $n$ 年內的最佳收入；$x_j(t)$ —— 決策變量，表示在第 $j$ 年開始時的決策。

5.1 問題分析

可以從兩個方面對問題進行分析。若在第 $j$ 年開始時購買了新機器，則從第 $j$ 年至第 $n$ 年得到的總收入應等于：在第 $j$ 年中新機器獲得的收入 — 在第 $j$ 年的運行費用 — 在第 $j$ 年開始時役齡為 $t$ 年的機器的更新費用 + 第 $j+1$ 年開始使用役齡為 1 年的機器從第 $j+1$ 年至第 $n$ 年的最佳收入。

若在第 $j$ 年開始時繼續(xù)使用役齡為 $t$ 年的機器，則從第 $j$ 年至第 $n$ 年得到的總收入應等于：在第 $j$ 年由役齡為 $t$ 年的機器得到的收入 — 在第 $j$ 年役齡為 $t$ 年的機器的運行費用 + 在第 $j+1$ 年開始使用役齡為 $t+1$ 年的機器從第 $j+1$ 年至第 $n$ 年的最佳收入。

通過比較兩者大小來進行決策，則遞推關系的數(shù)學表達如下：$$g_j(t)=\max \left\{\begin{array}{cc}R:& I_j(0)?O_j(0)?C_j(t)+\alpha g_{j+1}(1)\\ K:& I_j(t)?O_j(t)+\alpha g_{j+1}(t+1)\end{array}\right\}$$ 其中，$j=1,2,?,n;t=1,2,?,j?1,j+T?1$ ；字母 $K$ 表示 keep ，保留；字母 $R$ 表示 replacement ，更新機器。更新機器需要支付更新費用。

研究今后 $n$ 年的計劃，故添加邊界條件 $g_{n+1}(t)=0$ ；對于 $g_1(t)$ 來說，允許的 $t$ 值只能為 $T$ ，因此此時未購入新機器，只有已經(jīng)使用了 $T$ 年的舊機器。

上述設備更新問題，是以機齡為狀態(tài)變量，決策時保留或更新兩種。如還考慮對機器進行大修作為一種決策，那時所需的費用和收入，不僅取決于機齡和購置的年限，也取決于上次大修后的時間。因此，必須使用兩個狀態(tài)變量對系統(tǒng)進行描述。

5.2 算例

【例】假設 $n=5,\alpha =1,T=1$ ，有關數(shù)據(jù)如下表所示。試制定 5 年內中的設備更新策略，使得 5 年內的總收入達到最大。

解釋一下表中數(shù)據(jù)的意思。第 $j$ 年機齡為 $t$ 年的機器，那么它的年序應該為 $j?t$ 。因為第 $j$ 年的時候，這臺機器就已經(jīng)使用了 $t$ 年，說明它是第 $j?t$ 年首次開始工作的。那么 $I_5(0)$ 表示第 5 年的新機器運行的收入，查表，年序為 5-0=5 ，是 32 。$I_3(2)$ 表示第 3 年機齡為 2 年的機器運行所得收入，那么查表，3-2=1，第一年中機齡為 2 年的收入 20 。同理，有 $C_5(2)=33,C_3(1)=31$ ，其余以此類推。

$j=5$ ，即第 5 年時，由于 $T=1$ ，說明第一年時的機器機齡就有 1 年了，那么第 5 年狀態(tài)變量機齡 $t$ 可取 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } \{1,2,3,4,5\} {1,2,3,4,5} 。根據(jù)遞推關系有 $$g_5(t)=\max \left\{\begin{array}{cc}R:& I_5(0)?O_5(0)?C_5(t)+g_6(1)\\ K:& I_5(t)?O_5(t)+g_6(t+1)\end{array}\right\}$$ 可得到 $$g_5(1)=\max \left\{\begin{array}{cc}R:& 32?4?33+0=?5\\ K:& 28?5+0=23\end{array}\right\}=23,x_5(1)=K$$ $$g_5(2)=\max \left\{\begin{array}{cc}R:& 32?4?33+0=?5\\ K:& 24?6+0=18\end{array}\right\}=18,x_5(2)=K$$ $$g_5(3)=\max \left\{\begin{array}{cc}R:& 32?4?36+0=?8\\ K:& 22?9+0=13\end{array}\right\}=13,x_5(3)=K$$ $$g_5(4)=\max \left\{\begin{array}{cc}R:& 32?4?37+0=?9\\ K:& 16?10+0=6\end{array}\right\}=6,x_5(4)=K$$ $$g_5(5)=\max \left\{\begin{array}{cc}R:& 32?4?38+0=?10\\ K:& 14?10+0=4\end{array}\right\}=4,x_5(5)=K$$ $j=4$ ，第 4 年時，狀態(tài)變量可取 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,4\} {1,2,3,4} ，有 $$g_4(1)=\max \left\{\begin{array}{cc}R:& 30?4?32+23=17\\ K:& 26?5+18=39\end{array}\right\}=39,x_5(1)=K$$ 同理，有 $g_4(2)=29,x_4(2)=K;g_4(3)=16,x_4(3)=K;g_4(4)=13,x_4(4)=R.$

$j=3$ 時，狀態(tài)變量可取 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3} ，有 $g_3(1)=48,x_3(1)=K;g_3(2)=31,x_3(2)=R;g_3(3)=27,x_3(3)=R;$

$j=2$ 時，狀態(tài)變量可取 { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2} ，有 $g_2(1)=46,x_2(1)=K;g_2(2)=36,x_2(2)=R.$

$j=1$ 時，狀態(tài)變量可取 { 1 } \{1\} {1} ，有 $$g_1(1)=\max \left\{\begin{array}{cc}R:& 22?6?32+46=30\\ K:& 18?8+36=46\end{array}\right\}=46,x_1(1)=K.$$ 最后，根據(jù)上面的計算結果回溯。第一年，機齡為 1 年，最佳策略為保留；第二年，機齡為 2 年，最佳策略為更新；第三年，機齡變?yōu)?1 年，最佳策略為保留；第四年，機齡為 2 年，最佳策略為保留；第五年，機齡為 3 年，最佳策略為保留。

寫在最后

設備更新問題確實不簡單，很有實際意義，不過，只要正確建好了模型，剩下的就是代數(shù)字進去算?；貞浺幌轮暗纳a與儲存問題和資源分配問題，頓時感覺小巫見大巫了。

那到此，大綱要求的三個問題，到此就完結了，后面我們就來看看剩下的兩章節(jié)內容。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-731259.html

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