一、非線性規(guī)劃
1.1 非線性規(guī)劃的定義
非線性規(guī)劃（Nonlinear Programming，NLP） 是一種數(shù)學(xué)規(guī)劃方法，用于解決含有非線性目標(biāo)函數(shù)和/或非線性約束條件的優(yōu)化問題。它是線性規(guī)劃的一種擴(kuò)展形式，更加廣泛適用于復(fù)雜實際問題。
非線性規(guī)劃的目標(biāo)是最小化（或最大化）一個非線性目標(biāo)函數(shù)，同時滿足一組非線性約束條件。這些非線性函數(shù)可以是任意形式的，例如多項式、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。非線性規(guī)劃的決策變量可以是連續(xù)的或離散的，具體取決于問題的性質(zhì)。
與線性規(guī)劃相比，非線性規(guī)劃更具挑戰(zhàn)性，因為非線性函數(shù)的存在使得問題的求解變得更加困難。非線性優(yōu)化問題往往沒有顯式解，需要使用迭代算法逐步優(yōu)化。常用的求解方法包括牛頓法、梯度下降法、擬牛頓法、遺傳算法等。
1.2 非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型
min
?
f
(
x
)
\min f\left( \boldsymbol{x} \right)
minf(x)
s
.
t
.
{
A
?
x
?
b
A
e
q
?
x
=
b
e
q
c
(
x
)
?
0
c
e
q
(
x
)
=
0
l
b
?
x
?
u
b
s.t.\left\{ \begin{array}{c} \boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{x}\leqslant \boldsymbol\\ Aeq\cdot \boldsymbol{x}=beq\\ c\left( \boldsymbol{x} \right) \leqslant 0\\ ceq\left( \boldsymbol{x} \right) =0\\ lb\leqslant \boldsymbol{x}\leqslant ub\\ \end{array} \right.
s.t.?
?
??A?x?bAeq?x=beqc(x)?0ceq(x)=0lb?x?ub?
式中：
f
(
x
)
f\left( \boldsymbol{x} \right)
f(x)為標(biāo)量函數(shù)；
A
\boldsymbol{A}
A,
b
\boldsymbol
b,Aeq,beq,lb,ub為相應(yīng)維數(shù)的矩陣和向量；
c
(
x
)
c\left( \boldsymbol{x} \right)
c(x),
c
e
q
(
x
)
ceq(x)
ceq(x)為非線性向量函數(shù)。
1.3 非線性規(guī)劃的matlab求解
MATLAB中求解非線性規(guī)劃的命令是
[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
其中， x 0 x0 x0是 x \boldsymbol{x} x的初始值； n o n l c o n nonlcon nonlcon是定義的非線性向量函數(shù)； c ( x ) c\left( \boldsymbol{x} \right) c(x), c e q ( x ) ceq(x) ceq(x);options是定義的優(yōu)化參數(shù)。
二、案例分析
求下列非線性規(guī)劃：
min
?
f
(
x
)
=
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
8
\min f\left( x \right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+8
minf(x)=x12?+x22?+x32?+8
s
.
t
.
{
x
1
2
?
x
2
+
x
3
2
?
0
x
1
+
x
2
2
+
x
3
3
?
20
?
x
1
?
x
2
2
=
?
2
x
2
+
2
x
3
2
=
3
x
1
,
x
2
,
x
3
?
0
s.t.\left\{ \begin{array}{c} x_{1}^{2}-x_2+x_{3}^{2}\geqslant 0\\ x_1+x_{2}^{2}+x_{3}^{3}\leqslant 20\\ -x_1-x_{2}^{2}=-2\\ x_2+2x_{3}^{2}=3\\ x_1,x_2,x_3\geqslant 0\\ \end{array} \right.
s.t.?
?
??x12??x2?+x32??0x1?+x22?+x33??20?x1??x22?=?2x2?+2x32?=3x1?,x2?,x3??0?
MATLAB代碼：
非線性目標(biāo)函數(shù)：
function f=fun1(x)
f=sum(x.^2)+8;
end
非線性約束條件：
function [g,h]=fun2(x)
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];
h=[-x(1)-x(2)^2+2
x(2)+2*x(3)^2-3];
end
主程序代碼：
[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2')
求解結(jié)果：文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-766687.html
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