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什么是非線性規(guī)劃問題
非線性規(guī)劃問題仍是規(guī)劃問題的一種，但是目標(biāo)函數(shù)和約束條件不再是線性的，而是存在非線性的部分，如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。
如何使用 MATLAB 解決非線性規(guī)劃問題
常見的非線性規(guī)劃問題通常類似于以下形式：
min ? f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 8 \begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation} minf(x)=x12?+x22?+x32?+8??
?s.t.? { x 1 2 ? x 2 + x 3 2 ≥ 0 x 1 + x 2 2 + x 3 3 ≤ 20 ? x 1 ? x 2 2 + 2 = 0 x 2 + 2 x 3 2 = 3 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \begin{equation} \text { s.t. } \begin{cases} & x_{1}^2-x_{2}+x_{3}^2 \geq 0 \\ & x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3 \leq 20 \\ & -x_{1}-x_{2}^2+2 = 0 \\ & x_{2}+2x_{3}^2 = 3 \\ & x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{cases} \end{equation} ?s.t.?? ? ???x12??x2?+x32?≥0x1?+x22?+x33?≤20?x1??x22?+2=0x2?+2x32?=3x1?,x2?,x3?≥0???
其中，公式1為目標(biāo)函數(shù)，公式2為約束條件。
對于非線性規(guī)劃問題，MATLAB 提供了 fmincon 函數(shù)來解決，其基本語法為：
[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
其中，fun 為目標(biāo)函數(shù)，x0 為初始值，A 為線性不等式約束的系數(shù)矩陣，b 為線性不等式約束的右端項，Aeq 為線性等式約束的系數(shù)矩陣，beq 為線性等式約束的右端項，lb 為變量的下界，ub 為變量的上界，nonlcon 為非線性約束函數(shù)。
MATLAB 中的非線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：
min ? x f ( x ) ?such?that? { c ( x ) ≤ 0 , c e q ( x ) = 0 , A ? x ≤ b , A e q ? x = b e q , l b ≤ x ≤ u b \min _{x} f(x) \text { such that } \begin{cases} & c(x) \leq 0, \\ & ceq(x) = 0, \\ & A \cdot x \leq b, \\ & { Aeq } \cdot x={ beq }, \\ & l b \leq x \leq u b \end{cases} xmin?f(x)?such?that?? ? ???c(x)≤0,ceq(x)=0,A?x≤b,Aeq?x=beq,lb≤x≤ub?
其中，c(x) 為非線性不等式約束，ceq(x) 為非線性等式約束。
所以要使用 fmincon 函數(shù)，需要先將非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式：
min ? f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 8 \begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation} minf(x)=x12?+x22?+x32?+8??
?s.t.? { ? x 1 2 + x 2 ? x 3 2 ≤ 0 x 1 + x 2 2 + x 3 3 ? 20 ≤ 0 x 1 + x 2 2 ? 2 = 0 x 2 + 2 x 3 2 ? 3 = 0 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \begin{equation} \text { s.t. } \begin{cases} & -x_{1}^2+x_{2}-x_{3}^2 \leq 0 \\ & x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3-20 \leq 0 \\ & x_{1}+x_{2}^2-2 = 0 \\ & x_{2}+2x_{3}^2-3 = 0 \\ & x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{cases} \end{equation} ?s.t.?? ? ????x12?+x2??x32?≤0x1?+x22?+x33??20≤0x1?+x22??2=0x2?+2x32??3=0x1?,x2?,x3?≥0???
這里沒有線性約束條件，因此 A 和 b 為空矩陣。
接下來，將目標(biāo)函數(shù)和非線性約束條件分別寫成函數(shù)形式：
function f = objfun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 + 8;
end
function [c,ceq] = nonlcon(x)
c = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2; x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20];
ceq = [x(1) + x(2)^2 - 2; x(2) + 2*x(3)^2 - 3];
end
將函數(shù)分別保存到 objfun.m 和 nonlcon.m 文件中。
最后，使用 fmincon 函數(shù)求解：
[x,fval] = fmincon(@objfun,[0 0 0],[],[],[],[],[0 0 0],[],@nonlcon)
% 或
[x,fval] = fmincon('objfun',[0 0 0],[],[],[],[],[0 0 0],[],'nonlcon')
通過修改 x0 的值，可以改變迭代過程，但是最終的解是相同的。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-453045.html
本題的解為：文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-453045.html
x =
0.5522 1.2033 0.9478
fval =
10.6511
到了這里，關(guān)于MATLAB 非線性規(guī)劃的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
