目錄
基本概念
凸規(guī)劃
判別定理
二次規(guī)劃模型
非線性規(guī)劃的求解
無約束極值問題
有約束極值問題
基于求解器的解法
基于問題的求解
其他
非線性規(guī)劃：描述目標函數(shù)或約束條件條件的數(shù)學表達式中，至少有一個是非線性函數(shù)。
基本概念
記是n維歐式空間中的一個點（n維向量），，，是定義在上的實值函數(shù)。若f,g,h函數(shù)中至少有一個是x的非線性函數(shù)，則稱如下為非線性規(guī)劃模型的一般形式：
?全局最優(yōu)解：若，并且都有，則稱為全局最優(yōu)解。
?局部最優(yōu)解：x的鄰域內(nèi)（也包含于可行域），x所對應的函數(shù)值是最小的，則x為局部最優(yōu)解。
無約束非線性規(guī)劃問題可以具體表示為：
凸規(guī)劃
凸規(guī)劃是一類特殊的非線性規(guī)劃問題，可以求得全局最優(yōu)解。
凸集：
?凸函數(shù)：
定義在凸集上的有限個凸函數(shù)的非負線性組合仍為凸函數(shù)
判別定理
半正定矩陣的行列式非負。
黑塞矩陣：
?對于非線性規(guī)劃模型的一般形式，若f(x)為凸函數(shù)，g(x)為凸函數(shù)，h(x)為線性函數(shù)，則稱該非線性規(guī)劃問題為凸規(guī)劃。凸規(guī)劃局部最優(yōu)解即為全局最優(yōu)解，最優(yōu)解的集合形成一個凸集。當目標函數(shù)為嚴格凸函數(shù)時，其最優(yōu)解必定唯一。
例子
f(x)和g2(x)的黑塞矩陣的行列式：
?其他約束條件為線性函數(shù)，所以是一個凸規(guī)劃問題
clc,clear
prob = optimproblem;
x = optimvar('x',2,'LowerBound',0);
prob.Objective = sum(x.^2)-4*x(1)+4;
con = [-x(1)+x(2)-2 <= 0
x(1)^2-x(2)+1 <= 0];
prob.Constraints.con = con;
x0.x = rand(2,1)%非線性規(guī)劃必須賦初值，x0名字隨便取
[s,f,flag,o] = solve(prob,x0);
s.x
ans =
? ? 0.5536
? ? 1.3064
二次規(guī)劃模型
目標函數(shù)是關(guān)于決策向量的二次函數(shù)，約束條件是線性的，則該模型稱為二次規(guī)劃模型，一般形式：
?其中：
?當H正定時，目標函數(shù)最小化時，模型為凸二次規(guī)劃，凸二次規(guī)劃局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。如果不是凸規(guī)劃，則建議使用fmincon函數(shù)。
例子
目標函數(shù)是最小化，但是H為負定矩陣，所以不是凸規(guī)劃。
clc,clear
x = optimvar('x',2,'LowerBound',0);
h = [-1,-0.15;-0.15,-2];
f = [98;277];
a = [1,1;1,-2];
b = [100;0];
prob = optimproblem('Objective',x'*h*x+f'*x);
prob.Constraints = a*x <= b;
[s,f,flag,o] = solve(prob);
s.xans =
? ? ?1
? ? ?1
[1,1]是局部最優(yōu)解，使用fmincon函數(shù)：
fx = @(x)x'*h*x+f'*x;
[x,y] = fmincon(fx,rand(2,1),a,b,[],[],[0;0],[])x =
? ?1.0e-07 *
? ? 0.2533
? ? 0.3400
y =? ?1.1901e-05
非線性規(guī)劃的求解
無約束極值問題
MATLAB工具箱中用于求解無約束極小值的函數(shù)有：
?例子
clc,clear
f = @(x) x(1)^3-x(2)^3+3*x(1)^2+3*x(2)^2-9*x(1);
g = @(x) -f(x);
[m1,n1] = fminunc(f,[0,0])%求極小值
[m2,n2] = fminsearch(g,[0,0]);%求極大值
m2,-n2m1 =
? ? 1.0000 ? -0.0000
n1 =? ? -5
m2 =? ?-3.0000 ? ?2.0000
ans =? ?31.0000
有約束極值問題
同樣有基于求解器的求解方法和基于問題的求解方法
基于求解器的解法
數(shù)學模型的標準形式為：
?例：
clc,clear
fun1 = @(x) sum(x.^2)+8;
[x,y] = fmincon(fun1,rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],@fun2)
function [c,ceq] = fun2(x)
c = [-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];
ceq = [-x(1)-x(2)^2+2
x(2)+2*x(3)^2-3];
end基于問題的求解
clc,clear
x = optimvar('x',3,'LowerBound',0);
prob = optimproblem('Objective',sum(x.^2)+8);
con1 = [-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 <= 0
x(1)+x(2)^2+x(3)^3 <= 20];
con2 = [-x(1)-x(2)^2+2 == 0
x(2)+2*x(3)^2 == 3];
prob.Constraints.con1 = con1;
prob.Constraints.con2 = con2;
x0.x = rand(3,1);
[s,f,flag,out] = solve(prob,x0);
s.x,f?文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-462858.html
其他
匿名函數(shù)的返回值只能有一個，可以是向量。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-462858.html
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