《線性代數(shù)》中會有較多陌生的概念，如矩陣的逆，線性相關(guān)線性無關(guān)等，具有一定的難度。因而本系列盡量會以不同于課本的視角去學(xué)習(xí)線性代數(shù)，有些可以做類比記憶的我們會去做一些類比記憶，比如矩陣的逆類比于我們數(shù)的除法，有一些比如線性相關(guān)和無關(guān)會盡量以幾何的方式直觀地讓大家去了解相關(guān)的內(nèi)容。
? 《線性代數(shù)》系列重點(diǎn)總結(jié)線性代數(shù)相關(guān)的一些學(xué)科思想，重點(diǎn)方法，鑒于時間等各方面原因，對于基礎(chǔ)的概念并不會重點(diǎn)闡釋與總結(jié)，有基礎(chǔ)概念不了解的比如同型矩陣去翻閱課本，課本上一定有詳細(xì)的定義。所以本系列適合于初步預(yù)習(xí)之后的閱讀或者在正式學(xué)習(xí)之時難點(diǎn)知識的參考或者在總復(fù)習(xí)之時整理相關(guān)題型方法，建立學(xué)科體系的閱讀。
? 例題很重要，建議自己先嘗試做一遍，再去看答案。同時，自己在做題過程中，遇到不會的要看看是否是下面的一些方法未掌握，或者是這些方法的綜合應(yīng)用，把自己不會的題總結(jié)到筆記本中，做一定的標(biāo)記。
? 加油，希望你有所收獲！??！
? 矩陣的運(yùn)算其實(shí)類比于我們數(shù)的運(yùn)算，無非也就是加減乘除。只不過在矩陣的運(yùn)算中，會有更多的條件限制，比如矩陣的加減必須為同型矩陣，交換律在矩陣乘法中不滿足等等。但也有很多相似的地方，比如矩陣的逆也就是我們數(shù)的除法，當(dāng)矩陣行列式為零時矩陣不可逆，我們也可以聯(lián)想到數(shù)如果為零的話是不能除的。
1 矩陣加減和數(shù)乘
矩陣的加減和數(shù)乘細(xì)心即可，只需要注意以下兩點(diǎn)
（1）矩陣的加減必須為同型矩陣，行和列數(shù)要相同
（2）矩陣的數(shù)乘要區(qū)分于行列式的數(shù)乘，kA是給矩陣中的每一個元素都乘以k，而k|A|是給行列式的某一行（列）乘k
2 矩陣與矩陣的乘法
2.1 相乘條件：看中間，取兩頭
兩個矩陣的行列數(shù)順次排列構(gòu)成四個數(shù) a1、a2、a3、a4，只有a2=a3才能相乘，乘出來的矩陣行列分別為a1和a4 。因而我們稱為看中間，取兩頭。好比兩個朋友見面先要對個暗號，只有暗號相符（中間兩個數(shù)相等）才可以計算
例1.1：
? A 3 ? 5 ? B 4 ? 5 A_{3*5}*B_{4*5} A3?5??B4?5?
a1=3 a2=5 a3=4 a4=5 因而不能相乘
例1.2：
? A 3 ? 4 ? B 4 ? 5 = C 3 ? 5 A_{3*4}*B_{4*5}=C_{3*5} A3?4??B4?5?=C3?5?
可以相乘，得到的矩陣行列分別為3和5
2.2 相乘計算方法
? 第一個矩陣的每一行分別去乘第二個矩陣的每一列并相加，并無難點(diǎn)，熟悉計算即可。
3 矩陣的冪
3.1 觀察歸納法
? 歸納法使用于二階三階，階數(shù)較小的情況，或者雖然階數(shù)較高，但零比較多。我們可以先嘗試寫出二次方，三次方，觀察規(guī)律，推測結(jié)果。
? 例1.1：設(shè) A = ( 1 0 2 1 ) A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix} A=(12?01?) 求 A n A^n An
? 解： A 2 = ( 1 0 4 1 ) A^2=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix} A2=(14?01?) A 3 = ( 1 0 6 1 ) A^3=\begin{pmatrix}1&0\\6&1\end{pmatrix} A3=(16?01?) 我們可以推測 A n = ( 1 0 2 n 1 ) A^n=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix} An=(12n?01?)
? 如果是填空題直接寫答案即可，如果是大題，還需要進(jìn)行驗(yàn)證
? 猜想 A n = ( 1 0 2 n 1 ) A^n=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix} An=(12n?01?) n=1 時成立 當(dāng)n>1 時，設(shè)公式對于n-1成立，則 A n = A n ? 1 A = ( 1 0 2 ( n ? 1 ) 1 ) ( 1 0 2 1 ) = ( 1 0 2 n 1 ) A^n=A^{n-1}A=\begin{pmatrix}1&0\\2(n-1)&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix} An=An?1A=(12(n?1)?01?)(12?01?)=(12n?01?)
? 猜想正確
3.2 鄰項(xiàng)相消法
? 臨項(xiàng)相消法使用于AB矩陣乘積形式，如果BA簡單易求，結(jié)果為對角矩陣或者是一個常數(shù)或者由題目已知，則可以先算BA 即 ( A B ) n = A B A B . . . A B = A ( B A ) ( B A ) . . . B (AB)^n=ABAB...AB=A(BA)(BA)...B (AB)n=ABAB...AB=A(BA)(BA)...B
? 例1.2 : 設(shè) A = ( 1 1 1 ) A=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} A= ?111? ? B = ( 1 2 3 ) B=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix} B=(1?2?3?) 求 ( A B ) 10 (AB)^{10} (AB)10
A B = ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) AB=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix} AB= ?111?222?333? ? BA=6 我們發(fā)現(xiàn)BA比AB更容易求,則我們優(yōu)先計算BA
則我們 ( A B ) 10 = A B A B . . . A B = A ( B A ) （ B A ） . . B = 6 9 A B = 6 9 ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) (AB)^{10}=ABAB...AB=A(BA)（BA）..B=6^9AB=6^9\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix} (AB)10=ABAB...AB=A(BA)（BA）..B=69AB=69 ?111?222?333? ?$
3.3 化為對角
? 這是我們第5章矩陣對角化的重要應(yīng)用，放在這里只是為了提醒大家有這一種方法，在綜合大題中，這種化為對角的方法應(yīng)用還是蠻多的?；癁閷蔷仃嚍槭裁纯尚?，因?yàn)閷蔷仃囅喑酥苯訉蔷€上對應(yīng)元素相乘即可
? 例：
? A可對角化為對角矩陣B ( 5 0 0 0 ? 1 0 0 0 ? 1 ) \begin{pmatrix}5&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} ?500?0?10?00?1? ? 則有 P ? 1 A P = B P^{-1}AP=B P?1AP=B 則 A = P B P ? 1 A=PBP^{-1} A=PBP?1
? A k = P B P ? 1 P B P ? 1 . . . P B P ? 1 = P B k P ? 1 A^k=PBP^{-1}PBP^{-1}...PBP^{-1}=PB^kP^{-1} Ak=PBP?1PBP?1...PBP?1=PBkP?1 而 B k = ( 5 k 0 0 0 ( ? 1 ) k 0 0 0 ( ? 1 ) K ) B^k=\begin{pmatrix}5^k&0&0\\0&(-1)^k&0\\0&0&(-1)^K\end{pmatrix} Bk= ?5k00?0(?1)k0?00(?1)K? ? 進(jìn)而求得A的k次方
接下來就是矩陣的逆運(yùn)算了！！
也就是矩陣的除法，涉及到判斷是否可逆，逆的性質(zhì)，逆的應(yīng)用等等
4 判斷是否可逆（證明題或者要求求出逆矩陣）
4.1 直接觀察
? 某一行或某一列為零的不可逆
? 如果為二階矩陣可以利用公式直接判斷并計算逆矩陣
4.2 由定義式推得
? 如果A×B=E 則A的逆為B 有時候需要湊定義式，本質(zhì)上就是轉(zhuǎn)換為乘積的形式，而這其中的技巧性又很強(qiáng)，常見的技巧如下，抓住核心，轉(zhuǎn)換為乘積形式。（K P30 例1.18）
4.2.1 待定系數(shù)—解方程
? 例1.1 設(shè)A，C分別為m和n階矩陣，求證矩陣M= ( O A C B ) \begin{pmatrix}O&A\\C&B\end{pmatrix} (OC?AB?) 可逆，并求其逆矩陣。
? 解：
4.2.2 等價替換
? 有時候可以直接從式子中得到我們要求的量的等價關(guān)系
? 例1.2 設(shè)方陣A滿足 A 2 ? 4 A ? E = 0 A^2-4A-E=0 A2?4A?E=0,證明A以及4A+E是可逆的，并求各自的逆矩陣
? 解： A 2 ? 4 A = E A^2-4A=E A2?4A=E 即 A （ A ? 4 E ） = E A（A-4E）=E A（A?4E）=E 所以 A ? 1 = A ? 4 E A^{-1}=A-4E A?1=A?4E 由原式可知 4 A + E = A 2 4A+E=A^2 4A+E=A2
? 則有 （ 4 A + E ） ? 1 = ( A 2 ) ? 1 （4A+E）^{-1}=(A^{2})^{-1} （4A+E）?1=(A2)?1= = ( A ? 1 ) 2 =(A^{-1})^{2} =(A?1)2= ( A ? 4 E ) 2 (A-4E)^2 (A?4E)2 此題中我們可以得到要求的4A+E的逆相當(dāng)于求A平方的逆，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為我們要求的量
4.2.3 因式分解
? 如果我們有 A 2 ? 3 A ? 4 E = E A^2-3A-4E=E A2?3A?4E=E 求A+E的逆，我們可以很輕松的想到 ( A ? 4 E ) ( A + E ) = E (A-4E)(A+E)=E (A?4E)(A+E)=E,自然我們也可以求得（A+E）的逆
? 那如果我們把E進(jìn)行一個變化如都移在右邊，或者在加減E，這時候求法依然一樣。
? 例1.3 設(shè)A為n階矩陣，設(shè) A 2 = A A^2=A A2=A,證明 ( A + E ) ? 1 (A+E)^{-1} (A+E)?1可逆并求逆矩陣
? 解： A 2 ? A ? 2 E = ? 2 E A^2-A-2E=-2E A2?A?2E=?2E ( A ? 2 E ) ( A + E ) = ? 2 E (A-2E)(A+E)=-2E (A?2E)(A+E)=?2E ? 1 2 ( A ? 2 E ) ( A + E ) = E -\frac{1}{2}(A-2E)(A+E)=E ?21?(A?2E)(A+E)=E 自然可以求得我們要求的答案為 ? 1 2 ( A ? 2 E ) -\frac{1}{2}(A-2E) ?21?(A?2E)
4.3 由性質(zhì)推得
如果同階方陣A1,A2…An 可逆，則我們可以知道A1 * A2 * … *An 可逆
例1.4 設(shè)A，B是同階可逆方陣，且A+B也可逆，證明 A ? 1 + B ? 1 A^{-1}+B^{-1} A?1+B?1可逆，并求出逆矩陣
? 解： A ? 1 + B ? 1 = A ? 1 （ B B ? 1 ） + ( A ? 1 A ) B ? 1 = A ? 1 ( A + B ) B ? 1 A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}（BB^{-1}）+(A^{-1}A)B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1} A?1+B?1=A?1（BB?1）+(A?1A)B?1=A?1(A+B)B?1
? 因?yàn)锳+B和 A ? 1 A^{-1} A?1和 B ? 1 B^{-1} B?1分別可逆，則原式可逆
4.4 由矩陣行列式
我們在數(shù)的除法中，零是不能做除數(shù)的，那么類比行列式，行列式為零的時候是不可逆的。
例1.5 設(shè)n階方陣B可逆，方陣A滿足 A 2 ? A = B A^2-A=B A2?A=B，證明A可逆，并求其逆矩陣‘
? 解：因?yàn)锽可逆，所以 |B|≠0 |B| =|A||A-E| 所以|A|≠0 所以A可逆
4.5 陣的秩方陣滿秩可逆，不滿秩是不可逆的
5. 逆的性質(zhì)以及求逆的方法
5.1 各自可逆，則乘積可逆。
即如果 A 1 , A 2 , . . . , A s A_1,A_2, ... ,A_s A1?,A2?,...,As? 可逆，那么乘積 A 1 A 2 . . . A s A_1A_2 ... A_s A1?A2?...As? 可逆，且 （ A 1 A 2 . . . A s ） ? 1 = A s ? 1 . . . A 2 ? 1 A 1 ? 1 （A_1A_2 ... A_s）^{-1}=A_s^{-1}...A_2^{-1}A_1^{-1} （A1?A2?...As?）?1=As?1?...A2?1?A1?1?
? 例1.4 用到了這個性質(zhì)
注意如果 ( A + B ) ? 1 (A+B)^{-1} (A+B)?1不等于 A ? 1 + B ? 1 A^{-1}+B^{-1} A?1+B?1 我記得我最開始學(xué)習(xí)的時候很容易犯這個錯誤，其實(shí)本質(zhì)上是和轉(zhuǎn)置混淆了，如果轉(zhuǎn)置的話是成立的， ( A + B ) T (A+B)^{T} (A+B)T= A T + B T A^{T}+B^{T} AT+BT
5.2 初等變換法
? 初等變換是我們求逆的最常用的方法，我們熟悉的
? 例1.1 設(shè)A，C分別為m和n階矩陣，求證矩陣M= ( O A C B ) \begin{pmatrix}O&A\\C&B\end{pmatrix} (OC?AB?) 可逆，并求其逆矩陣。
5.3 伴隨矩陣法
? AA*=|A|E
?
5.4 定義式法
? 同上判斷可逆時，如果AB=E ，則不僅可以判斷A可逆，也可以直接得出A的逆為B
6 逆的應(yīng)用
6.1 方程組
? 就是將我們的方程組求解轉(zhuǎn)換為兩個矩陣相乘，前提是A的逆好求或已知，否則的話我們還是運(yùn)用后面的求方程組的方法
? A x = B Ax=B Ax=B 則 $ x=A^{-1}B$
7 矩陣轉(zhuǎn)置
7.1 與行列式相聯(lián)系（方陣）
轉(zhuǎn)置行列式值不變
7.2 正交矩陣
正交矩陣的轉(zhuǎn)置等于矩陣的逆
7.3 對稱矩陣判別
對稱矩陣的情況下， A T = A A^T=A AT=A
例1.1 證明 A T A A^TA ATA和 A A T AA^T AAT為對稱矩陣
補(bǔ)充題庫
四-1.2.1 K P31 B 5T文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-757164.html
四-1.2.1 K P30 例1.18文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-757164.html
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