一、逆矩陣的定義、性質(zhì)和求法
定義7 對于 n n n階矩陣A，如果有一個 n n n階矩陣B，使
A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E
則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，簡稱逆陣。
定理1 若矩陣A可逆，則 ∣ A ∣ =? 0 \vert A\vert \not = 0 ∣A∣=0
證明： A 可逆，即有 A ? 1 ，使得 A A ? 1 = E ∣ A A ? 1 ∣ = ∣ A ∣ ∣ A ? 1 ∣ = ∣ E ∣ = 1 ∴ ∣ A ∣ =? 0 證明：\\ A可逆，即有A^{-1}，使得AA^{-1}=E\\ |AA^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1\\ \therefore |A|\not=0 證明：A可逆，即有A?1，使得AA?1=E∣AA?1∣=∣A∣∣A?1∣=∣E∣=1∴∣A∣=0
定理2 若 ∣ A ∣ =? 0 |A|\not=0 ∣A∣=0，則矩陣A可逆，且
A ? 1 = 1 ∣ A ∣ A ? A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A?1=∣A∣1?A?
其中 A ? A^{*} A?為矩陣A的伴隨矩陣。
證明： 由例 10 知 A A ? = A ? A = ∣ A ∣ E ∵ ∣ A ∣ =? 0 ∴ A A ? ∣ A ∣ = A ? ∣ A ∣ A = E 按逆矩陣的定義，有矩陣 A 可逆，且 A ? 1 = A ? ∣ A ∣ 證明：\\ 由例10知\\ AA^{*}=A^{*}A=|A|E\\ \because |A|\not=0\\ \therefore A\frac{A^{*}}{|A|}=\frac{A^{*}}{|A|}A=E\\ 按逆矩陣的定義，有矩陣A可逆，且\\ A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|} 證明：由例10知AA?=A?A=∣A∣E∵∣A∣=0∴A∣A∣A??=∣A∣A??A=E按逆矩陣的定義，有矩陣A可逆，且A?1=∣A∣A??
當(dāng) ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0時，A稱為奇異矩陣。喲路上面兩定理知：A是可逆矩陣的充分必要條件是 ∣ A ∣ =? 0 |A|\not=0 ∣A∣=0，即可逆矩陣就是非奇異矩陣。
推論 若 A B = E ( 或者 B A = E ) ，則 B = A ? 1 AB=E(或者BA=E)，則B=A^{-1} AB=E(或者BA=E)，則B=A?1
逆矩陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律：
- 若A可逆，則 A ? 1 A^{-1} A?1亦可逆，且 ( A ? 1 ) ? 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A?1)?1=A;
- 若A可逆，輸入 λ =? 0 \lambda\not=0 λ=0，則 λ A \lambda A λA可逆，且 ( λ A ) ? 1 = 1 λ A ? 1 (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1} (λA)?1=λ1?A?1
- 若A、B為同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且 ( A B ) ? 1 = B ? 1 A ? 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)?1=B?1A?1
- 若A可逆，則 A T A^{T} AT可逆，且 ( A T ) ? 1 = ( A ? 1 ) T (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T} (AT)?1=(A?1)T
當(dāng)A可逆時，還可定義
A 0 = E , A ? k = ( A ? 1 ) k A^0=E,A^{-k}=(A^{-1})^k A0=E,A?k=(A?1)k
其中k為正整數(shù)，這樣當(dāng)A可逆 λ , μ \lambda,\mu λ,μ為整數(shù)時，有
A λ A μ = A λ + μ , ( A λ ) μ = A λ μ A^{\lambda}A^{\mu}=A^{\lambda+\mu},(A^{\lambda})^{\mu}=A^{\lambda\mu} AλAμ=Aλ+μ,(Aλ)μ=Aλμ
例11 求二階矩陣
A
=
(
a
b
c
d
)
A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}
A=(ac?bd?)
的逆矩陣。
解：
∣
A
∣
=
a
d
?
b
c
A
?
=
(
d
?
b
?
c
a
)
當(dāng)
∣
A
∣
=?
0
使
,
A
?
1
=
1
∣
A
∣
A
?
=
1
a
d
?
b
c
(
d
?
b
?
c
a
)
解：\\ |A|=ad-bc\\ A*=\begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}\\ 當(dāng)|A|\not=0使, A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}\\ =\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}
解：∣A∣=ad?bcA?=(d?c??ba?)當(dāng)∣A∣=0使,A?1=∣A∣1?A?=ad?bc1?(d?c??ba?)
二、逆矩陣的初步應(yīng)用
可逆矩陣在線性代數(shù)中占有重要的地位，它的應(yīng)用是多方面的，下面舉幾個例子。
例13 設(shè)
A
=
(
1
2
3
2
2
1
3
4
3
)
,
B
=
(
2
1
5
3
)
,
C
=
(
1
3
2
0
3
1
)
A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&2&1\\ 3&4&3\\ \end{pmatrix} ,B=\begin{pmatrix} 2&1\\ 5&3\\ \end{pmatrix} ,C=\begin{pmatrix} 1&3\\ 2&0\\ 3&1\\ \end{pmatrix}\\
A=
?123?224?313?
?,B=(25?13?),C=
?123?301?
?
求矩陣X使其滿足
A
X
B
=
C
AXB=C
AXB=C
解：
若
A
?
1
,
B
?
1
存在，則
C
=
A
A
?
1
C
B
?
1
B
有
X
=
A
?
1
C
B
?
1
∣
A
∣
=
2
,
∣
B
∣
=
1
,
所以
A
?
1
,
B
?
1
存在
A
?
1
=
(
1
3
?
2
?
3
2
?
3
5
2
1
1
?
1
)
,
B
?
1
=
(
3
?
1
?
5
2
)
X
=
A
?
1
C
B
?
1
=
(
1
3
?
2
?
3
2
?
3
5
2
1
1
?
1
)
(
1
3
2
0
3
1
)
(
3
?
1
?
5
2
)
=
(
1
1
0
?
2
0
2
)
(
3
?
1
?
5
2
)
=
(
?
2
1
10
?
4
?
10
4
)
解：\\ 若A^{-1},B^{-1}存在，則\\ C=AA^{-1}CB^{-1}B\\ 有X=A^{-1}CB^{-1}\\ |A|=2,|B|=1,所以A^{-1},B^{-1}存在\\ A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&3&-2\\ -\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} ,B^{-1}=\begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ X=A^{-1}CB^{-1}= \begin{pmatrix} 1&3&-2\\ -\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&3\\ 2&0\\ 3&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&-2\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} -2&1\\ 10&-4\\ -10&4\\ \end{pmatrix}
解：若A?1,B?1存在，則C=AA?1CB?1B有X=A?1CB?1∣A∣=2,∣B∣=1,所以A?1,B?1存在A?1=
?1?23?1?3?31??225??1?
?,B?1=(3?5??12?)X=A?1CB?1=
?1?23?1?3?31??225??1?
?
?123?301?
?(3?5??12?)=
?100?1?22?
?(3?5??12?)=
??210?10?1?44?
?
例14 設(shè)
P
=
(
1
2
1
4
)
,
Λ
=
(
1
0
0
2
)
,
A
P
=
P
Λ
,
求
A
n
P=\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&4 \end{pmatrix} ,\Lambda=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{pmatrix} ,AP=P\Lambda,求A^n
P=(11?24?),Λ=(10?02?),AP=PΛ,求An
解 : ∣ P ∣ = 2 p ? 1 = 1 2 ( 4 ? 2 ? 1 1 ) A = P Λ P ? 1 , A 2 = P Λ P ? 1 P Λ P ? 1 = P Λ 2 P ? 1 , ? ? , A n = P Λ n P ? 1 Λ = = ( 1 0 0 2 ) , Λ 2 = = ( 1 0 0 2 2 ) , ? ? , Λ n = ( 1 0 0 2 n ) A n = P Λ n P ? 1 = ( 1 2 1 4 ) ( 1 0 0 2 n ) 1 2 ( 4 ? 2 ? 1 1 ) = ( 2 ? 2 n 2 n ? 1 2 ? 2 n + 1 2 n + 1 ? 1 ) 解:\\ |P|=2\\ p^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-2\\ -1&1\\ \end{pmatrix}\\ A=P\Lambda P^{-1},A^2=P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}=P\Lambda^2 P^{-1},\cdots,A^{n}=P\Lambda^{n} P^{-1}\\ \Lambda==\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{pmatrix} ,\Lambda^2==\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2^2 \end{pmatrix} ,\cdots,\Lambda^n=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2^n\\ \end{pmatrix}\\ A^n=P\Lambda^n P^{-1}=\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2^n\\ \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-2\\ -1&1\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 2-2^n&2^n-1\\ 2-2^{n+1}&2^{n+1}-1\\ \end{pmatrix}\\ 解:∣P∣=2p?1=21?(4?1??21?)A=PΛP?1,A2=PΛP?1PΛP?1=PΛ2P?1,?,An=PΛnP?1Λ==(10?02?),Λ2==(10?022?),?,Λn=(10?02n?)An=PΛnP?1=(11?24?)(10?02n?)21?(4?1??21?)=(2?2n2?2n+1?2n?12n+1?1?)
設(shè) ? ( x ) = a 0 + a 1 x + ? + a m x m 為 x 的 m \phi(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m為x的m ?(x)=a0?+a1?x+?+am?xm為x的m次多項式，A為 n n n階矩陣，記
? ( A ) = a 0 E + a 1 A + ? + a m A m \phi(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m ?(A)=a0?E+a1?A+?+am?Am
? ( A ) \phi(A) ?(A)為矩陣A的m次多項式。
矩陣 A k 、 A l 和 E A^k、A^l和E Ak、Al和E都是可交換的，所以矩陣A的兩個多項式 ? ( A ) 和 f ( A ) \phi(A)和f(A) ?(A)和f(A)也是可交換的，即總有
? ? ( A ) f ( A ) = f ( A ) ? ( A ) \phi(A)f(A)=f(A)\phi(A) ?(A)f(A)=f(A)?(A)
從而A的幾個多項式可以像數(shù) x x x的多項式一樣相乘或者分解因式。
-
如果 A = P Λ P ? 1 ，則 A k = P Λ k P ? 1 A=P\Lambda P^{-1}，則A^k=P\Lambda^kP^{-1} A=PΛP?1，則Ak=PΛkP?1，從而 ? ( A ) = P a 0 E P ? 1 + P a 1 Λ P ? 1 + ? + P a m Λ m P ? 1 = P ? ( Λ ) P ? 1 \phi(A)=Pa_0EP^{-1}+Pa_1\Lambda P^{-1}+\cdots+Pa_m\Lambda^mP^{-1}=P\phi(\Lambda)P^{-1} ?(A)=Pa0?EP?1+Pa1?ΛP?1+?+Pam?ΛmP?1=P?(Λ)P?1
-
如果 Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , ? ? , λ n ) \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) Λ=diag(λ1?,λ2?,?,λn?)為對角矩陣，則 Λ k = d i a g ( λ 1 k , λ 2 k , ? ? , λ n k ) \Lambda^k=diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k) Λk=diag(λ1k?,λ2k?,?,λnk?),從而
? ( Λ ) = a 0 E + a 1 Λ + ? + a m Λ m = d i a g ( ? ( λ 1 ) , ? ( λ 2 ) , ? ? , ? ( λ n ) ) \phi(\Lambda)=a_0E+a_1\Lambda+\cdots+a_m\Lambda^m\\ =diag(\phi(\lambda_1),\phi(\lambda_2),\cdots,\phi(\lambda_n)) ?(Λ)=a0?E+a1?Λ+?+am?Λm=diag(?(λ1?),?(λ2?),?,?(λn?))
例15 設(shè)
P
=
(
?
1
1
1
1
0
2
1
1
?
1
)
,
Λ
=
(
1
2
?
3
)
,
A
P
=
P
Λ
P=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&2\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} ,\Lambda=\begin{pmatrix} 1&&\\ &2&\\ &&-3 \end{pmatrix} ,AP=P\Lambda\\
P=
??111?101?12?1?
?,Λ=
?1?2??3?
?,AP=PΛ
求
?
(
A
)
=
A
3
+
2
A
2
?
3
A
\phi(A)=A^3+2A^2-3A
?(A)=A3+2A2?3A
解：
∣
P
∣
=
6
A
=
P
Λ
P
?
1
?
(
A
)
=
P
?
(
Λ
)
P
?
1
,
?
(
Λ
)
=
d
i
a
g
(
?
(
λ
1
k
)
,
?
(
λ
2
)
k
,
?
?
,
?
(
λ
n
k
)
)
?
(
1
)
=
0
，
?
(
2
)
=
10
,
?
(
?
3
)
=
0
?
(
A
)
=
P
?
(
Λ
)
P
?
1
=
(
?
1
1
1
1
0
2
1
1
?
1
)
(
0
10
0
)
1
∣
P
∣
P
?
5
(
1
0
1
0
0
0
1
0
1
)
解：\\ |P|=6\\ A=P\Lambda P^{-1}\\ \phi(A)=P\phi(\Lambda) P^{-1},\phi(\Lambda)=diag(\phi(\lambda_1^k),\phi(\lambda_2)^k,\cdots,\phi(\lambda_n^k))\\ \phi(1)=0，\phi(2)=10,\phi(-3)=0\\ \phi(A)=P\phi(\Lambda)P^{-1}=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&2\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&&\\ &10&\\ &&0\\ \end{pmatrix} \frac{1}{|P|}P^*\\ 5\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&1\\ \end{pmatrix}
解：∣P∣=6A=PΛP?1?(A)=P?(Λ)P?1,?(Λ)=diag(?(λ1k?),?(λ2?)k,?,?(λnk?))?(1)=0，?(2)=10,?(?3)=0?(A)=P?(Λ)P?1=
??111?101?12?1?
?
?0?10?0?
?∣P∣1?P?5
?101?000?101?
?
結(jié)語
?QQ:806797785
??文檔筆記地址 https://github.com/gaogzhen/math
參考：
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué).線性代數(shù) 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p39-44.文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-849730.html
[2]同濟(jì)六版《線性代數(shù)》全程教學(xué)視頻[CP/OL].2020-02-07.p10.文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-849730.html
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