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【問(wèn)題引入】
一維插值問(wèn)題：
已經(jīng)有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)($x_i$,$y_i$),其中$x_i$互不相同，不妨假設(shè)$a=x_0<x_1<\dots \dots <x_n=b$，求任一插值點(diǎn)$x^{?}$(≠$x_i$)處的插值$y^{?}$。
（思路：構(gòu)造函數(shù)$y=f(x)$,使得$f(x)$過(guò)所有節(jié)點(diǎn)，求$f(x^{?})$即可得到$y^{?}$)

一、插值法的定義

通俗來(lái)說(shuō)就是根據(jù)平面上已有的點(diǎn)來(lái)擬合出一個(gè)函數(shù)過(guò)所有這些點(diǎn)，然后我們就可求得這個(gè)函數(shù)其他位置的點(diǎn)的數(shù)據(jù)了，這樣就在原樣本點(diǎn)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展了樣本空間。

那么具體如何求這個(gè)插值函數(shù)就是插值法的重點(diǎn)了。

1.插值函數(shù)一共有三種：

1. 若$P(x)$是次數(shù)不超過(guò)$n$的代數(shù)多項(xiàng)式，即：$P(x)=a_0+a_{1}x+\dots \dots +a_n{x}^n$（則稱為插值多項(xiàng)式）
2. 若$P(x)$是分段多項(xiàng)式，就成為分段插值
3. 若$P(x)$是三角多項(xiàng)式，就成為三角插值

由于三角插值一般要用到傅里葉變化等的復(fù)雜數(shù)學(xué)工具，所以這里暫時(shí)只討論多項(xiàng)式插值和分段插值。在比賽中用的最多的是分段插值

2.多項(xiàng)式插值法原理

定理：設(shè)有$n+1$個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)($x_i,y_i$) ($i=0,1,2\dots \dots n$)
則存在唯一的多項(xiàng)式：
$$\begin{array}{r}{L}_n(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots \dots +a_n{x}^n\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
使得$L_n(x_j)=y_j$（$j=0,1,2,\dots \dots ,n$）
有興趣的小伙伴可以研究一下證明：

3.分段插值法原理：

分段線性插值就是相鄰兩點(diǎn)之間用直線（一次函數(shù)）連接，分段二次插值就是相鄰幾個(gè)點(diǎn)之間用拋物線（二次函數(shù)）連接，分段三次插值就是相鄰若干點(diǎn)之間用三次函數(shù)連接。

4.具體如何求插值函數(shù)呢？

(1)多項(xiàng)式插值法之：拉格朗日插值法（了解即可，實(shí)際基本不用）

在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫?路易斯?拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。

1. 兩個(gè)點(diǎn)：$(x_0,y_0),$,$(x_1,y_1)$
   
2. 三個(gè)點(diǎn)：$(x_0,y_0),$,$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$
   
   3.四個(gè)點(diǎn)：
   $(x_0,y_0),$,$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$(x_3,y_3)$
   
   拉格朗日多項(xiàng)式插值法存在的問(wèn)題：
   
   

高次插值會(huì)產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，即在兩端處波動(dòng)極大,產(chǎn)生明顯的震蕩。在不熟悉曲線運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的前提下，不要輕易使用高次插值。

(2)多項(xiàng)式插值法之：牛頓插值法（了解即可，實(shí)際基本不用）

評(píng)價(jià)：
與拉格朗日插值法相比，牛頓插值法的計(jì)算過(guò)程具有繼承性。（牛頓插值法每次插值只和前n項(xiàng)的值有關(guān)，這樣每次只要在原來(lái)
的函數(shù)上添加新的項(xiàng)，就能夠產(chǎn)生新的函數(shù)）但是牛頓插值也存在龍格現(xiàn)象的問(wèn)題。

兩種插值法的另一個(gè)缺點(diǎn)：
上面講的兩種插值僅僅要求插值多項(xiàng)式在插值節(jié)點(diǎn)處與被插函數(shù)有相等的函數(shù)值，而這種插值多項(xiàng)式卻不能全面反映被插值函數(shù)的性態(tài)。
然而在許多實(shí)際問(wèn)題中，不僅要求插值函數(shù)與被插值函數(shù)在所有節(jié)點(diǎn)處有相同的函數(shù)值，它也需要在一個(gè)或全部節(jié)點(diǎn)上插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)有相同的低階甚至高階的導(dǎo)數(shù)值。對(duì)于這些情況，拉格朗日插值和牛頓插值都不能滿足。

(3)三次樣條插值算法（重點(diǎn)掌握）

三次樣條多項(xiàng)式滿足的條件：

(4)埃爾米特(Hermite)插值法（了解即可，實(shí)際基本不用）

(5)分段插值法之：分段三次埃爾米特插值法（重點(diǎn)掌握）

直接使用Hermite插值得到的多項(xiàng)式次數(shù)較高，也存在著龍格現(xiàn)象，因此在實(shí)際應(yīng)用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多項(xiàng)式 (PCHIP)，是由埃爾米特插值法根據(jù)分段思想改進(jìn)得來(lái)的。
用一句話簡(jiǎn)述就是：找最近的四個(gè)點(diǎn)用一個(gè)三次函數(shù)進(jìn)行擬合。

二、基于MATLAB的插值算法實(shí)踐：

1.分段三次埃爾米特插值法

Matlab有內(nèi)置的函數(shù)（實(shí)現(xiàn)過(guò)程已經(jīng)幫我們封裝好了，會(huì)調(diào)用就行了）：

p = pchip(x,y, new_x) 

x是已知的樣本點(diǎn)的橫坐標(biāo);y是已知的樣本點(diǎn)的縱坐標(biāo);new_x是要插入處對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)。
返回的p就是橫坐標(biāo)為new_x，根據(jù)擬合函數(shù)算出來(lái)的那些縱坐標(biāo)。

例如：

x = ‐pi:pi; %構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，公差為1.
y = sin(x);
new_x = ‐pi:0.1:pi;
p = pchip(x,y,new_x);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r‐')

我們可以看一下已知點(diǎn)一共有幾個(gè)：

所以已知點(diǎn)一共有7個(gè)。
而插值的點(diǎn)有多少呢？

插值的點(diǎn)是以0.01為公差的，所以這個(gè)點(diǎn)是很多的。
最后插值完后繪制出的圖像如圖：

plot函數(shù)用法:
plot(x1,y1,x2,y2)
線方式： ‐ 實(shí)線 :點(diǎn)線 ‐. 虛點(diǎn)線 ‐ ‐ 波折線
點(diǎn)方式： . 圓點(diǎn) +加號(hào) * 星號(hào) x x形 o 小圓
顏色： y黃； r紅； g綠； b藍(lán)； w白； k黑； m紫； c青

2.三次樣條插值

Matlab有內(nèi)置的函數(shù)：

p = spline (x,y, new_x) 

x是已知的樣本點(diǎn)的橫坐標(biāo);y是已知的樣本點(diǎn)的縱坐標(biāo);new_x是要插入處對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)。
返回的p就是橫坐標(biāo)為new_x，根據(jù)擬合函數(shù)算出來(lái)的那些縱坐標(biāo)。
例如：

x = ‐pi:pi;
y = sin(x);
new_x = ‐pi:0.1:pi;
p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃爾米特插值
p2 = spline(x,y,new_x); %三次樣條插值
plot(x,y,'o',new_x,p1,'r‐',new_x,p2,'b‐')
legend('樣本點(diǎn)','三次埃爾米特插值','三次樣條插值',‘Location’,‘SouthEast’) %標(biāo)注顯示在東南方向

插值結(jié)果對(duì)比

說(shuō)明：
legend(string1,string2,string3, …)
分別將字符串1、字符串2、字符串3……標(biāo)注到圖中，每個(gè)字符串對(duì)應(yīng)的圖標(biāo)為畫(huà)圖時(shí)
的圖標(biāo)。
‘Location’用來(lái)指定標(biāo)注顯示的位置

可以看出，三次樣條生成的曲線更加光滑。在實(shí)際建模中，由于我們不知道數(shù)據(jù)的生成過(guò)程，因此這兩種插值都可以使用。

3.n維數(shù)據(jù)的插值(了解)

p = interpn(x1,x2,...,xn, y, new_x1,new_x2,...,new_xn, method）

y是已知的樣本點(diǎn)的縱坐標(biāo)坐標(biāo)
new_x1,new_x2,…,new_xn是要插入點(diǎn)的橫坐標(biāo)
method是要插值的方法
‘linear’：線性插值（默認(rèn)算法）；
‘cubic’：三次插值；
‘spline’：三次樣條插值法；(最為精準(zhǔn))
‘nearest’：最鄰近插值算法。

例：

x = ‐pi:pi; y = sin(x); 
new_x = ‐pi:0.1:pi;
p = spline(x, y, new_x);
等價(jià)于 p = interpn (x, y, new_x, ’spline’);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r‐')

三、插值算法用于短期預(yù)測(cè)：

根據(jù)過(guò)去10年的中國(guó)人口數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)接下來(lái)三年的人口數(shù)據(jù)：

population=[133126,133770,134413,135069,135738,136427,137122,137866,138639, 139538];
year = 2009:2018;
p1 = pchip(year, population, 2019:2021)  %分段三次埃爾米特插值預(yù)測(cè)
p2 = spline(year, population, 2019:2021) %三次樣條插值預(yù)測(cè)
figure(4);
plot(year, population,'o',2019:2021,p1,'r*-',2019:2021,p2,'bx-')
legend('樣本點(diǎn)','三次埃爾米特插值預(yù)測(cè)','三次樣條插值預(yù)測(cè)','Location','SouthEast')

四、建模實(shí)例

這個(gè)先挖個(gè)坑，之后再寫(xiě)文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-743947.html

到了這里，關(guān)于【數(shù)學(xué)建模筆記】【第三講】拉格朗日插值法，牛頓插值法，分段三次埃爾米特插值法及其MATLAB實(shí)踐的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！