前言

本文主要內(nèi)容是分享博主在學(xué)習(xí)MATLAB插值與擬合過程中的一些筆記與見解，并記錄使用代碼實(shí)現(xiàn)的過程

一、一維插值問題的描述

一維插值問題可描述為：已知函數(shù)在$x_0,x_1,\dots ,x_n$處的值$y_0,y_1,\dots ,y_n$,求簡單函數(shù)$p(x)$,使$p(x_i)=y_i.$
通俗來說，即已知函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)若干點(diǎn)處的值，求函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)其他點(diǎn)處的值。
PS：這里可以用范德蒙行列式和克萊姆法則證明，在$x_0,x_1,\dots ,x_n$處取值為$y_0,y_1,\dots ,y_n$的多項(xiàng)式存在且唯一，即插值問題的解唯一存在。（相關(guān)內(nèi)容見線性代數(shù)）

二、常用插值方法

1.Lagrange插值法

Lagrange(拉格朗日)插值公式，指的是在節(jié)點(diǎn)上給出節(jié)點(diǎn)基函數(shù)，然后做基函數(shù)的線性擬合，組合系數(shù)為節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的一種插值多項(xiàng)式。
假設(shè)，我們已知函數(shù)$f(x)$在平面坐標(biāo)系上有3個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$(x_3,y_3)$，可以分別根據(jù)這三個(gè)點(diǎn)找出節(jié)點(diǎn)基函數(shù)。例如，首先作出基函數(shù)$f_1$的圖像，經(jīng)過$(x_1,1)$,$(x_2,0)$,$(x_3,0)$這三個(gè)點(diǎn)，同理可作出$f_2$分別經(jīng)過點(diǎn)$(x_1,0)$,$(x_2,1)$,$(x_3,0)$以及$f_3$。通過尋找這三組基函數(shù)的線性組合，我們不難發(fā)現(xiàn)原函數(shù)可以寫出如下形式：
$$f(x)=y_1{f}_1(x)+y_2{f}_2(x)+y_3{f}_3(x)$$上式可推廣為:$$f(x)=\sum _{i=0}^k{y}_i\prod _{j=1}\frac{x?x_j}{x_i?x_j}$$Lagrange插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但是其缺點(diǎn)在于當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)，全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化，在實(shí)際計(jì)算中很不方便。

2.Newton插值法

Newton（牛頓）插值法相對(duì)于拉格朗日插值法具有承襲性的優(yōu)勢(shì)，即在增加額外的插值點(diǎn)時(shí)，可以利用之前的運(yùn)算結(jié)果以降低運(yùn)算量。
假設(shè)已知n+1個(gè)點(diǎn)相對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)$ff$的值為：$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),?,(x_n,f(x_n))$，求此多項(xiàng)式函數(shù)$f$.
先從求滿足兩個(gè)點(diǎn)$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1))$的函數(shù)$f_1(x)$說起：
假設(shè)$f_1(x)=f(x_0)+b_1(x?x_0)$，
我們?cè)黾右粋€(gè)點(diǎn)，$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))$，求滿足這三個(gè)點(diǎn)的函數(shù)$f_2(x)$:
假設(shè)$f_2(x)=f_1(x)+b_2(x?x_0)(x?x_1$)，
以此類推，我們得到Newton插值法的函數(shù)為：

其優(yōu)點(diǎn)在于：每增加一個(gè)點(diǎn)，不會(huì)導(dǎo)致之前的重新計(jì)算，只需要算和新增點(diǎn)有關(guān)的就可以了。

三、高次插值的Runge現(xiàn)象

在研究插值問題的初期，所有人都想當(dāng)然地認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，插值精度越高。
Runge通過研究發(fā)現(xiàn)有的情況下，并非插值多項(xiàng)式階數(shù)越高結(jié)果就越精確。當(dāng)插值多項(xiàng)式的次數(shù)較高時(shí)，結(jié)果會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的振蕩現(xiàn)象，稱之為Runge現(xiàn)象。
例如，我們?cè)诰鶆蚬?jié)點(diǎn)上對(duì)Runge函數(shù)
$$f(x)=\frac{1}{1+25x^2},x\in [?1,1]$$進(jìn)行插值，（如圖）紅色曲線代表插值多項(xiàng)式的階數(shù)為10時(shí)呈現(xiàn)的效果，可以看出，插值區(qū)間的邊緣產(chǎn)生了嚴(yán)重的振蕩現(xiàn)象，誤差很大。因此，在實(shí)際中應(yīng)避免使用高次的插值。通常為避免Runge現(xiàn)象，我們可以將插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在小區(qū)間內(nèi)用低次插值，即分段低次插值，如樣條函數(shù)插值。

四、Matlab插值

1、一維插值

當(dāng)一組數(shù)據(jù)可以表示成平面坐標(biāo)系上的點(diǎn)時(shí)，我們可以使用Matlab的一維插值命令:

yi=inter1(x,y,xi,'method')
%x,y為插值點(diǎn)，xi,yi為被插值點(diǎn)和結(jié)果，x,y和xi,yi通常為向量
%'method'表示插值方法：常用方法有'nearest''linear''spline''cubic'

‘nearest’——最鄰近插值:插入與其距離最近的值
‘linear’——線性插值：構(gòu)造線性函數(shù)進(jìn)行插值
‘spline’——三次樣條插值：將定義域分成若干個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間內(nèi)構(gòu)造三次多項(xiàng)式進(jìn)行插值
‘cubic’——立方插值：構(gòu)造立方函數(shù)進(jìn)行插值
ps:'method’缺省時(shí)默認(rèn)為線性插值

2、二維插值

當(dāng)一組數(shù)據(jù)可以表示成空間坐標(biāo)系上的點(diǎn)時(shí)，我們可以使用Matlab的二維插值命令:

yi=inter2(x,y,z,xi,yi,'method')
%x,y,z為插值點(diǎn)，xi,yi為被插值點(diǎn),zi為輸出的插值結(jié)果，即插值函數(shù)在（xi,yi）處的值；x,y為向量，xi,yi為向量或矩陣，而z和zi則為矩陣
%'method'表示插值方法：常用方法有'nearest''linear''spline''cubic'

‘nearest’——最鄰近插值:插入與其距離最近的值
‘linear’——雙線性插值：構(gòu)造兩組線性函數(shù)進(jìn)行插值
‘spline’——雙三次樣條插值：將定義域分成若干個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間內(nèi)構(gòu)造三次多項(xiàng)式進(jìn)行插值
‘cubic’——雙立方插值：構(gòu)造立方函數(shù)進(jìn)行插值
默認(rèn)為雙線性插值

3、散亂點(diǎn)插值

當(dāng)插值點(diǎn)（x,y）為散亂點(diǎn)，不再是網(wǎng)格上的點(diǎn)時(shí)，可以使用griddata命令進(jìn)行二維插值：

griddata(x,y,z,xi,yi,'method')%'method'用法同上

總結(jié)

本文主要展示了數(shù)學(xué)建模中的一些插值方法及原理，并且基于Matlab進(jìn)行實(shí)現(xiàn)的過程。由于作者也是在學(xué)習(xí)階段，此篇文章僅供參考，歡迎大家指正！

參考資料

[1]【【零基礎(chǔ)教程】老哥：數(shù)學(xué)建模算法、編程、寫作和獲獎(jiǎng)指南全流程培訓(xùn)！】 https://www.bilibili.com/video/BV1kC4y1a7Ee?p=24&share_source=copy_web&vd_source=c62a50333f8ab9149f6acfdf0a7c31e7

[2]https://baike.baidu.com/item/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E6%8F%92%E5%80%BC%E6%B3%95/7085983

[3]https://zhuanlan.zhihu.com/p/138747068文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-461354.html

到了這里，關(guān)于數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)筆記（一）:插值法的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！