一 特征值

1.1 定義

通俗

? 向量α在矩陣A的線性變換作用下，保持方向不變，進(jìn)行比例為λ的伸縮。

官方（注意是方陣）

特征方程

? （λE-A)α = 0 （α!=0）特征向量不能為0，但是特征值可以為0或虛數(shù)。方程中λ的次數(shù)應(yīng)與A的階數(shù)相同，否則不是特征方程。

特征空間

? 一個(gè)特征空間是具有相同特征值的特征向量與一個(gè)同維數(shù)的零向量的集合，可以證明該集合是一個(gè)線性子空間。

注意上圖有兩個(gè)特征空間，分別為兩條不同的直線

其他：若特征值存在則r(λE-A)<n

1.2 性質(zhì)

特征值與矩陣關(guān)系

• $\sum λ_i = tr(A) \quad $
• ${\prod }_{i=0}^n\lambda =|A|$
• $r(A)=n則{\lambda }_i\ne 0$

特征值與特征向量關(guān)系（設(shè)A是n階矩陣，λ₀為A的k階特征值）

• 若k=1，即λ₀為單特征值，則屬于該特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè)
• 若k>1，則屬于該特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)不超過(guò)k個(gè)，r(λE-A)>=n-k
• n階矩陣A的每行元素之和為 k，則k是其中一個(gè)特征值，A[1,1,1] = k[1,1,1]

矩陣與特征值及對(duì)應(yīng)特征向量的關(guān)系

證明特征值
$$\begin{gathered} |\lambda E?A^T|=|(\lambda E?A{)}^T|=|\lambda E?A{|}^T=|\lambda E?A| \\ \because A^{?1}A\alpha =\alpha =A^{?1}\lambda \alpha ,\therefore A^{?1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha 即特征值為\frac{1}{\lambda } \\ {A}^{?}A=|A|A^{?1}A=|A|E \\ \because A^{?}A\alpha =|A|\alpha =A^{?}\lambda \alpha ,\therefore A^{?}\alpha =\frac{|A|}{\lambda }\alpha 即特征值為\frac{|A|}{\lambda } \end{gathered}$$

證明特征向量

? $A\alpha ={\lambda }_0\alpha ?P^{?1}AP?P^{?1}\alpha ={\lambda }_0{P}^{?1}\alpha ?B?P^{?1}\alpha ={\lambda }_0{P}^{?1}\alpha ,\therefore \beta =P^{?1}\alpha$

注意上表是由A開(kāi)始往下推，從下到上推不一定成。如A=[0 1;0 0]，A² = 0，取α=[1 0]，則對(duì)應(yīng)λ=0，顯然Aα!=0α。見(jiàn)1800P81 27題
其他

• 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)

若A是對(duì)稱(chēng)陣則無(wú)關(guān)且正交 ${\alpha }_i^{?}A{\beta }_j={\lambda }_1{\alpha }_i^{?}{\beta }_j?\left({\lambda }_2?{\lambda }_1\right){\alpha }_i^{?}\beta j=0$

• 不同λ對(duì)應(yīng)的α的線性組合一定不是該矩陣的特征向量（a、b != 0）

證明：令$ A(a\alpha+b\beta)=\lambda_{3}(a\alpha+b\beta) $則$a \left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right) \alpha + b \left(\lambda_{e}-\lambda_{3}\right) \beta=0$ $\because \alpha, \beta 線性無(wú)關(guān) \therefore \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3} $ 矛盾

• k重根的特征值，若有k個(gè)不同特征向量，則它們之間線性無(wú)關(guān)？否則呢

• A 和A^T有相同特征值但是特征向量可以不同

• 三角矩陣的特征值就是矩陣主對(duì)角線上的元素
• 一個(gè)n階矩陣一定有n個(gè)特征值（包括重根）
• r(A)<n，則|A|=0，則0是其中一個(gè)特征值
• r(A)=1的矩陣，天生有當(dāng)特征值為0時(shí)的n-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。取特征值=0時(shí)候，行化簡(jiǎn)為只剩一行，因此有n-1個(gè)特征向量
• 矩陣的秩 與 單單矩陣特征值不是0的個(gè)數(shù)這唯一因素 無(wú)關(guān)
• n階矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量不能說(shuō)明滿秩，但可以說(shuō)明λ的K重根對(duì)應(yīng)k個(gè)特征向量。（λ=0，|A|=0，不可逆、不滿秩）

【例題】2021數(shù)一

1.3 求法

定義法：AX = λX

公式法：|λE-A|X = 0 【X!=0 、|λE-A| = 0】

關(guān)聯(lián)法：用A*、A^-等相關(guān)矩陣的特征值、利用相似矩陣B的特征值

已知部分特征值時(shí)，根據(jù)tr(A) 和 “特征方程”

三階矩陣與特征值關(guān)系，線代講義P119（待補(bǔ)充）

如何準(zhǔn)確求出矩陣的特征值表達(dá)式？

二 正交基

參閱線性代數(shù)及其應(yīng)用

2.1 正交分解定理

定理

證明

2.2 施密特正交化

對(duì)Rⁿ的子空間W的一個(gè)基{x₁,…x_p}定義

${\mathbf{v}}_1=x_1$
${\mathbf{v}}_2=x_2?\frac{x_2?v_1}{v_1?v_1}{v}_1$
${\mathbf{v}}_3=x_3?\frac{x_3?v_1}{{\mathbf{v}}_1?{\mathbf{v}}_1}{v}_1?\frac{x_3?v_2}{{\mathbf{v}}_2?v_2}{v}_2$
$?$
${\mathbf{v}}_p={\mathbf{x}}_p?\frac{x_p?{\mathbf{v}}_1}{{\mathbf{v}}_1?{\mathbf{v}}_1}{\mathbf{v}}_1?\frac{{\mathbf{x}}_p?{\mathbf{v}}_2}{{\mathbf{v}}_2?{\mathbf{v}}_2}{\mathbf{v}}_2???\frac{{\mathbf{x}}_p?{\mathbf{v}}_{p?1}}{{\mathbf{v}}_{p?1}?{\mathbf{v}}_{p?1}}{\mathbf{v}}_{p?1}$

那么{v₁,…v_p}是W的一個(gè)正交基，此外Span{v₁,…v_k} = Span{x₁,…x_k}，其中1<=k<=p

證明

單位化

對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量之間互相正交，只對(duì)同一特征值下且不正交的特征向量進(jìn)行正交化。

三 相似矩陣

題目中出現(xiàn)A、然后又有特征向量的，可能是湊AP=PB相似，又相似的強(qiáng)關(guān)聯(lián)，秩，行列式都相等，得到B后可以得出A的很多性質(zhì)

3.1 定義

? 設(shè)A、B為n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P^-1AP=B，稱(chēng)矩陣A與矩陣B相似，記為A~B。

? 若存在可逆矩陣P，使得P^-1AP=B，其中B為對(duì)角矩陣，則稱(chēng)A可以相似對(duì)角化。

注意：

• 矩陣的k重λ沒(méi)有k個(gè)不同的特征向量只能說(shuō)明不能相似對(duì)角化，但它還是可以相似于另外一個(gè)也不能相似對(duì)角化的矩陣，即還是可相似于某個(gè)矩陣。

3.2 性質(zhì)

相似是一種很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。若A~B，則有|A|=|B|。

? 由此可得 A* + A^-1 ~ B* + B^-1 =P^-1A*P+P^-1A^-1P=P^-1(A*+A^-1)P（把B用A表示，然后提取因式轉(zhuǎn)乘法）【只要在證明后面可逆矩陣P是相同的，則線性組合后仍然相似】。

A* + A^T 不一定相似 B* + B^T，除非(P^T)^-1 = P^-1 即P^T=P，是對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)成立或當(dāng)A、B是對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)候，A+A^T = 2A。

矩陣相似必要條件

• 特征多項(xiàng)式相同，即$ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}| $
• $ \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} $ 有相同的特征值
• 行列式相同 $ |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i} $
• 矩陣之跡相同 $ \sum_{i=1}^{n} a_{i i}=\sum_{i=1}^{n} b_{i i}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} $
• 矩陣之秩相同 $ r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B}) $

矩陣相似充要條件

• r(A)=r(B) 有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

• r(λE-A)=r(λE-B) 每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的個(gè)數(shù)相等

• 兩個(gè)矩陣均可對(duì)角化且特征值相同

矩陣相似的充要條件

? n階矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣相似的充要條件是：A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（可以通過(guò)縮放使得為對(duì)角矩陣）

3.3 判斷

判斷兩個(gè)矩陣是否相似的步驟（看看符不符合必要條件，再找充要條件）

• 特征值、行列式（是否相等）
• 判斷矩陣之跡 （是否相等）
• 判斷矩陣之秩 （是否相等）【經(jīng)過(guò)P^-1 P后矩陣的秩是不變的，若不等則必然不相似】
• 【補(bǔ)充，符合同一個(gè)P的組合均可】如：λE-A 相似 λE-B ， A* + A^-1 ~ B* + B^-1 等等
• 【充要條件】
  • r(A)=r(B) 有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量
  • 出題點(diǎn)：r(λ_重E-A)與r(λ_重E-B) （是否都相等）【特征向量不一定要相等】
  • A、B均可對(duì)角化且特征值相同則必相似

例題

https://zhuanlan.zhihu.com/p/151231495

3.4 求法

根據(jù)特征多項(xiàng)式求出λ，$ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}| $

由 $|\lambda E?A|X=0$，求出可逆陣P₁， $|\lambda E?B|X=0$，求出可逆陣P₂

根據(jù) $P_1^{?1}A{P}_1=P_2^{?1}B{P}_2,P_2{P}_1^{?1}A{P}_1{P}_2^{?1}=B,(P_1{P}_2^{?1}{)}^{?1}A(P_1{P}_2^{?1})=B$

令 $P = P_1 P_2^{-1} $，即為所求

四 特殊矩陣

4.1 正交矩陣

背景

? 旋轉(zhuǎn)，幾何度量是不變的。

定義

? 若QQ^T = E則稱(chēng)Q為正交矩陣。

? 行向量與列向量皆為正交的單位向量的矩陣稱(chēng)為正交矩陣。

性質(zhì)

• Q^T = Q^-1
• |Q| = ±1
• Q的特征值λ=±1
• 正交變換 Y = QX（X、Y為向量），則|Y|=|X|
• Q = (β₁,…β_n)為正交矩陣的充要條件是(β₁,…β_n)為兩兩正交的規(guī)范向量組
• 利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量之間正交，若已知幾個(gè)α，可以求出另外一個(gè)特征向量。

證明

(3)$\because Ax=\lambda x(x\ne 0),(Ax{)}^{T}Ax=(\lambda x{)}^{T}Ax\therefore ({\lambda }^2?1)x^{T}x=0,\because x^{T}x\ge 0,\therefore |\lambda |=1$

(4)$ |Y|^{2}=Y{\top} Y=X^{\top} Q^{\top} Qx=X^{\top} X=|x|^{2} \Rightarrow|Y|=|X| $

注意：QQ^T = E ，可在矩陣乘法中插入。

4.2 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

定義

? 每個(gè)元素均為實(shí)數(shù)的對(duì)稱(chēng)矩陣稱(chēng)為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，即A^T=A。

性質(zhì)

• (A^TA)^T=A^TA，因此A^TA是對(duì)稱(chēng)陣

• 若A^T = A 則A一定可對(duì)角化

• 不同特征值的特征向量之間兩兩正交

• 對(duì)稱(chēng)矩陣的秩 == 非零特征值的個(gè)數(shù)

• k重特征值必有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 P=(α_i,…α_n)

• 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的λ一定是實(shí)數(shù)，且不同λ對(duì)應(yīng)的特征向量?jī)蓛烧?/p>

• AP=Pdiag{λ}，P由|λE-A|得到，r(A) = r(diag{λ})，r(λ_kE-A)=n-k

• 存在正交矩陣Q使得 Q^-1AQ = Q^TAQ = diag(λ_i)【對(duì)同一λ不同α進(jìn)行Schimidt正交】

五 對(duì)角化理論

對(duì)角矩陣：除對(duì)角線外的元素均為0

5.1 定義

? A為n階矩陣，若存在可逆矩陣P使得
P ? 1 A P = ( λ 1 λ 2 ? λ n ) \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right) P?1AP= ?λ1??λ2????λn?? ?
則稱(chēng)矩陣A可相似對(duì)角化 或A可對(duì)角化(不說(shuō)明一般指代相似對(duì)角化) 或A與對(duì)角矩陣相似。AP=Pλ

注意：AP=A(α_i,…α_n) = λ(α_i,…α_n)，證明α_i均為矩陣A的屬于λ_i的特征向量。

5.2 性質(zhì)

• 可存在λ=0的特征值，因此可對(duì)角化的矩陣A不一定滿秩。且r(A)=r(diag(λ))。若r(A)=n且λ單根則必可對(duì)角化

• 特征值的重?cái)?shù)與其對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)相同則可對(duì)角化。即r(λ_iE-A)=n-n_i （i為λ對(duì)應(yīng)的重?cái)?shù)）

• 若A不是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則A對(duì)角化過(guò)程中不可對(duì)特征向量進(jìn)行正交規(guī)范化。因?yàn)椴煌卣髦祵?duì)應(yīng)的特征向量之間僅是無(wú)關(guān)，不是正交。

• P₁=PB，且B是根據(jù)同一特征值不同特征向量線性組合而成的，則AP₁ == diag(λ)P₁【同一特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性組合后仍然是該特征值的特征向量】

5.3 判斷

判斷矩陣能否(相似)對(duì)角化

• 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可相似對(duì)角化

• 特征值與特征向量的關(guān)系

  • (充分條件) 若是n個(gè)單根特征值，則有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即可對(duì)角化

  • (充要條件) 有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

  • (充要條件)(命題點(diǎn))存在重根，若k重根對(duì)應(yīng)k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量即r(λE-A)=n-k，則可對(duì)角化

• 利用與其相似的矩陣能否對(duì)角化從而進(jìn)行判斷

一般默認(rèn)對(duì)角化為相似對(duì)角化

• 矩陣A對(duì)角化是指，存在可逆矩陣P,Q使得PAQ為對(duì)角矩陣。
• 矩陣A相似對(duì)角化是指，存在可逆矩陣P使得PAP^-1為對(duì)角矩陣。

例子:一個(gè)主對(duì)角線元素相同的若當(dāng)矩陣，可以對(duì)角化，但無(wú)法相似對(duì)角化。

5.4 求法

求出使得A變?yōu)閷?duì)角化矩陣的P矩陣

• 求出所有特征值
• 由(λE-A)X = 0得到特征向量，(α₁…α_m)==P （技巧：?jiǎn)胃鶗r(shí)秩<n,最后一行可寫(xiě)為0）
• 構(gòu)成矩陣AP=diag(λ_i)P
• 若需正交，則使用斯密特正交化，再單位化

注意

• A可對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量
• 當(dāng)待對(duì)角化矩陣中部分已符合對(duì)角化時(shí)，可以?xún)H計(jì)算余下的部分，然后合并即可。
• 若已知A相關(guān)的特征值，則根據(jù)特征值的性質(zhì)，可以得出其他A矩陣的特征值及特征向量，完成對(duì)角化。？

綜合題型

回顧一些性質(zhì)：

• 對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交
• 有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則k重根對(duì)應(yīng)的 r(入E-A)=k
• |λE-A| = 0
• $|A+KE|=\prod ({\lambda }_i+K)$

求特征值(及向量)

常用方法：公式法，關(guān)聯(lián)矩陣法(A*，A^-)

特征值的理解

內(nèi)積的巧用

相似的使用

4. 相似矩陣特征值相同，也可以直接 A換成λ，直接得到方程式 ${\lambda }^3+{\lambda }^2?4\lambda ?4=0$

性質(zhì)運(yùn)用

1. 基礎(chǔ)性質(zhì)

矩陣相似

思路：

2. 情形3

對(duì)角化

思路

1. 特征值為單值

矩陣的冪

特征值求矩陣

其他

參考文章

https://www.zhihu.com/question/21874816/answer/181864044文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-738938.html

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