線(xiàn)性代數(shù)：克萊姆法則學(xué)習(xí)筆記

一、什么是克萊姆法則？

克萊姆（Cramer）法則又稱(chēng)為克拉默法則，是在線(xiàn)性代數(shù)中解決線(xiàn)性方程組問(wèn)題的一種方法。克萊姆法則的基本思想是通過(guò)用系數(shù)矩陣的行列式來(lái)判斷線(xiàn)性方程組是否有唯一解，從而進(jìn)一步求出各個(gè)未知數(shù)的值。其原理基于克萊姆定理：

對(duì)于 n 元線(xiàn)性方程組 Ax = b，如果系數(shù)矩陣 A 的行列式值不等于 0，則該方程組有且僅有一個(gè)解，其解向量 x 可以通過(guò)如下公式計(jì)算得出：

x i = ∣ a 11 ? a 1 , i ? 1 b 1 a 1 , i + 1 ? a 1 , n ? ? ? ? ? ? ? a n 1 ? a n , i ? 1 b n a n , i + 1 ? a n n ∣ ∣ a 11 ? a 1 , i ? 1 a 1 , i a 1 , i + 1 ? a 1 , n ? ? ? ? ? ? ? a n 1 ? a n , i ? 1 a n , i a n , i + 1 ? a n n ∣ x_i=\dfrac{\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&\cdots&a_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,i-1}&a_{1,i}&a_{1,i+1}&\cdots&a_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,i-1}&a_{n,i}&a_{n,i+1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}} xi?= ?a11??an1??????a1,i?1??an,i?1??a1,i??an,i??a1,i+1??an,i+1??????a1,n??ann?? ? ?a11??an1??????a1,i?1??an,i?1??b1??bn??a1,i+1??an,i+1??????a1,n??ann?? ??

其中 $x_i$ 表示第 i 個(gè)未知數(shù)的解，$a_{ij}$ 為系數(shù)矩陣 A 中第 i 行、第 j 列對(duì)應(yīng)的元素，$b_i$ 是線(xiàn)性方程組中第 i 個(gè)等式右側(cè)常數(shù)。

二、克萊姆法則的應(yīng)用

2.1 二元線(xiàn)性方程組

對(duì)于二元線(xiàn)性方程組：

$$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ dx+ey=f\end{array}$$

其系數(shù)矩陣 A 和常數(shù)向量 b 分別為：

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}c\\ f\end{array}\right)$$

由克萊姆法則可得：

x = ∣ c b f e ∣ ∣ a b d e ∣ , y = ∣ a c d f ∣ ∣ a b d e ∣ x=\dfrac{\begin{vmatrix} c&b\\ f&e\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b\\ d&e\\ \end{vmatrix}} , y=\dfrac{\begin{vmatrix} a&c\\ d&f\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b\\ d&e\\ \end{vmatrix}} x= ?ad?be? ? ?cf?be? ??,y= ?ad?be? ? ?ad?cf? ??

2.2 三元線(xiàn)性方程組

對(duì)于三元線(xiàn)性方程組：

$$?\begin{array}{l}ax+by+cz=d\\ ex+fy+gz=h\\ ix+jy+kz=l\end{array}$$

其系數(shù)矩陣 A 和常數(shù)向量 b 分別為：

A = ( a b c e f g i j k ) , b = ( d h l ) A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ e & f & g \\ i & j & k \\ \end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix} d \\ h \\ l \\ \end{pmatrix} A= ?aei?bfj?cgk? ?,b= ?dhl? ?

由克萊姆法則可得：

x = ∣ d b c h f g l j k ∣ ∣ a b c e f g i j k ∣ , y = ∣ a d c e h g i l k ∣ ∣ a b c e f g i j k ∣ , z = ∣ a b d e f h i j l ∣ ∣ a b c e f g i j k ∣ x=\dfrac{\begin{vmatrix} d&b&c\\ h&f&g\\ l&j&k\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b&c\\ e&f&g\\ i&j&k\\ \end{vmatrix}}, y=\dfrac{\begin{vmatrix} a&d&c\\ e&h&g\\ i&l&k\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b&c\\ e&f&g\\ i&j&k\\ \end{vmatrix}}, z=\dfrac{\begin{vmatrix} a&b&d\\ e&f&h\\ i&j&l\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b&c\\ e&f&g\\ i&j&k\\ \end{vmatrix}} x= ?aei?bfj?cgk? ? ?dhl?bfj?cgk? ??,y= ?aei?bfj?cgk? ? ?aei?dhl?cgk? ??,z= ?aei?bfj?cgk? ? ?aei?bfj?dhl? ??

三、使用 numpy 模塊求解線(xiàn)性方程組

在 Python 中，我們可以使用 numpy 模塊的 linalg.solve() 函數(shù)求解線(xiàn)性方程組。其用法為：

import numpy as np

# 系數(shù)矩陣 A
A = np.array([
    [1, 2, 3],
    [2, 5, 2],
    [6, -3, 1]
])

# 常數(shù)向量 b
b = np.array([9, 8, 4])

# 求解 Ax = b
x = np.linalg.solve(A, b)

# 輸出解向量 x
print(x)

輸出結(jié)果為：

[ 2.0625 -1.625   2.75  ]

四、克萊姆法則的優(yōu)缺點(diǎn)

4.1 優(yōu)點(diǎn)

克萊姆法則的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，只需要計(jì)算若干個(gè)行列式即可求出每個(gè)未知數(shù)的解。此外，由于其基本思想與線(xiàn)性代數(shù)中的其他方法不同，因此在一些特殊情況下，如待求系數(shù)過(guò)多或系數(shù)矩陣稀疏等情況下，克萊姆法則可能會(huì)比其他方法更高效。

4.2 缺點(diǎn)

然而，克萊姆法則的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高，需要計(jì)算若干個(gè)行列式，因此在系數(shù)矩陣過(guò)大時(shí)很容易受到計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的限制。此外，若系數(shù)矩陣的行列式為 0，克萊姆法則將無(wú)法得到結(jié)果。在此種情況下，我們需要選擇其他的線(xiàn)性方程組求解方法。

總結(jié)

本文詳細(xì)介紹了克萊姆法則在線(xiàn)性代數(shù)中解決線(xiàn)性方程組問(wèn)題的方法。通過(guò)講解克萊姆法則的基本思想和原理，以及在二元線(xiàn)性方程組和三元線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用，幫助讀者掌握了該方法的具體使用。同時(shí)，文章還介紹了使用 numpy 模塊求解線(xiàn)性方程組的方法，并且對(duì)克萊姆法則的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了分析。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-715633.html

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