前置知識：

• 【定義】矩陣
• 【定義】矩陣初等變換和矩陣等價

定義 1（行階梯形矩陣）　非零矩陣若滿足：

1. 非零行在零行的上面；
2. 非零行的首非零元在列的上一行（如果存在的話）的首非零元所在列的后面；

則稱此矩陣為 行階梯形矩陣。

例如，下面的矩陣 $\mathbf{A}$ 就是一個行階梯形矩陣。
A = ( 1 1 ? 2 1 4 0 1 ? 1 1 0 0 0 0 1 ? 3 0 0 0 0 0 ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} A= ?1000?1100??2?100?1110?40?30? ?
定義 2（行最簡形矩陣）　若行階梯形矩陣滿足：

1. 非零行的首非零元為 $1$；
2. 首非零元所在的列的其他元均為 $0$

則稱此矩陣為 行最簡形矩陣。

例如，下面的矩陣 $\mathbf{B}$ 就是一個行最簡形矩陣。
B = ( 1 0 ? 1 0 4 0 1 ? 1 0 3 0 0 0 1 ? 3 0 0 0 0 0 ) \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} B= ?1000?0100??1?100?0010?43?30? ?
定理 1　對于任何非零矩陣 $\mathbf{m}\times \mathbf{n}$，總可經(jīng)有限次初等行變換將它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣。

證明　首先證明對于任何非零矩陣 $\mathbf{m}\times \mathbf{n}$，總可經(jīng)有限次初等行變換將它變?yōu)樾须A梯形矩陣。

不妨設(shè)有 $m\times n$ 矩陣 $\mathbf{A}$，不妨設(shè)其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素為 $a_{ij}$。

首先對第 $1$ 列進行如下處理。若第 $1$ 列中的元素全部為 $0$，則沒有非零行的首非零元處于第 $1$ 列。若第 $1$ 列中的元素不全為 $0$，則進行如下操作：

1. 通過 “對換兩行” 的操作，將第 $1$ 列的元素不為 $0$ 的行對換到第 $1$ 行；
2. 通過 “將第 $1$ 行所有元的 $k$ 倍加到另一行對應(yīng)的元上去” 的操作，令第 $i$ 行（$i\ne 1$）加上第 $1$ 行所有元的 $\frac{a_{i1}}{a_{11}}$ 倍，從而使除第 $1$ 行外其他行第 $1$ 列的元素均為 $0$。

通過上述處理，可以保證第 $1$ 列最多只有第 $1$ 行一個非零元。接著一次對第 $2,3,?,n$ 列均進行上述處理。處理后的矩陣 $\mathbf{B}$ 滿足：

• 每一行的首非零元一定在上一行（如果存在的話）的首非零元的列的右側(cè)；
• 如果有非零行的話，一定在矩陣的最下面；

因此矩陣 $\mathbf{B}$ 為行階梯形矩陣。

類似地，可以證明對于任何非零矩陣 $\mathbf{m}\times \mathbf{n}$，總可經(jīng)有限次初等行變換將它變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚒?/p>

定義 3（標準形）　如果一個行最簡形矩陣滿足：

1. 左上角是一個單位矩陣；
2. 其他元全為 $0$；

則此矩陣稱為 標準形。

例如，下面的矩陣 $\mathbf{F}$ 就是標準形矩陣。
F = ( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) \boldsymbol{F} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} F= ?1000?0100?0010?0000?0000? ?
定理 2　對于 $m\times n$ 矩陣 $\mathbf{A}$，總可經(jīng)過有限次初等變換將它化為標準形
$$\mathbf{F}={\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)}_{m\times n}$$
此標準形由 $m,n,r$ 三個數(shù)完全確定，其中 $r$ 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。

證明　類似定理 1 可以證明。

所有與 $\mathbf{A}$ 等價的矩陣組成一個集合，標準形 $\mathbf{F}$ 是這個集合中形狀最簡單的矩陣。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-715101.html

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