第一節(jié) 矩陣的基本概念與特殊矩陣

一、基本概念

①矩陣

像如下圖示的為矩陣,記為A=(aij)m*n

②同型矩陣及矩陣相等

若A、B為如下兩個(gè)矩陣

如果A和B的行數(shù)和列數(shù)相等,那么A和B為同型矩陣,且A和B的元素相等(即:aij=bij),則稱A和B相等

③伴隨矩陣

設(shè)A為n階矩陣(如上圖所示),設(shè)A的行列式|A|,則A中aij的余子式為Mij,代數(shù)余子數(shù)為Aij,則A為如下所示,A即為A的伴隨矩陣

④正交矩陣

若A為AA^T = A^TA = E,則稱A為正交矩陣(E為單位矩陣,A^T為轉(zhuǎn)置矩陣)

正交矩陣的性質(zhì):

(1)若A為正交矩陣,則|A|=1或|A|=-1

(2)若A為正交矩陣,則A可逆,A^T = A^-1

二、特殊矩陣

①零矩陣

設(shè)A=(aij)m*n,若?aij=0,那么稱為矩陣A為零矩陣,記為A=0

②n階方陣

設(shè)A=(aij)m*n,若m=n,那么稱為矩陣A為n階方陣

③單位矩陣和數(shù)量矩陣

在矩陣的乘法中，有一種矩陣起著特殊的作用，如同數(shù)的乘法中的1，這種矩陣被稱為單位矩陣，如圖所示

數(shù)量矩陣就是對(duì)角線上元素都是同一個(gè)數(shù)值，其余元素都是零，如圖所示

注:單位矩陣和數(shù)量矩陣必須是方陣

④轉(zhuǎn)置矩陣

設(shè)A為m*n矩陣(如上圖所示),將A的行和列元素進(jìn)行交換(例如:aij和aji進(jìn)行交換),得到如圖,則稱為轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT

⑤對(duì)角矩陣

如圖所示的矩陣稱為對(duì)角矩陣

第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)

一、矩陣的三則運(yùn)算及其性質(zhì)

(一)矩陣的三則運(yùn)算

①矩陣的加減法

注:只有同階的矩陣才能進(jìn)行加減法

②矩陣與矩陣的乘法

其中cij=ai1 * bij + ai2 * b2j + … + ain * bnj

注:兩個(gè)矩陣的內(nèi)編號(hào)決定是否可相差,兩個(gè)矩陣的外編號(hào)決定結(jié)果的行列數(shù),例如Amn和Bmn無(wú)法相乘,Amn和Bnm結(jié)果為Cmm;

兩個(gè)矩陣有順序要求,例如A和B為兩個(gè)矩陣,則AB≠BA

(二)矩陣的三則運(yùn)算的性質(zhì)

①A+B=B+A

②(A+B)+C=A+(B+C)

③(AB)C=A(BC)

④(k+l)A=kA+lA (k、l為常數(shù))

⑤k(A+B)=kA+kB (k為常數(shù))

⑥A(B+C)=AB+AC

⑦設(shè)A是mn矩陣,B,C分別為ns,n*l矩陣,則A(B┇C)=(AB┇AC)

注意:

①矩陣不滿足分配率,但滿足(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2

二、矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算及性質(zhì)

(一)矩陣轉(zhuǎn)置的定義

(二)矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)

第三節(jié) 矩陣的逆矩陣

一、矩陣?yán)碚摦a(chǎn)生的背景

①一元一次方程的解

一元一次方程ax=b的解分為如下兩種情形:

(1)當(dāng)a≠0時(shí),因?yàn)?1/a)*a=1,所以將方程ax=b兩邊乘以1/a得a=b/a

(2)當(dāng)a=0時(shí),若b=0,則方程ax=b有無(wú)數(shù)個(gè)解;若b≠0,則方程ax=b無(wú)解

②矩陣方程的解

設(shè)A為m*n矩陣,AX=b表示線性方程組,其解的情形也有如下兩種情形:

(1)設(shè)A為n階方陣，且存在n階矩陣B,使得BA=E,將方程組AX=b兩邊左乘B得BAX=Bb,即X=Bb,研究該情況方程組的解需要研究矩陣的逆矩陣?yán)碚?/p>

(2)設(shè)A為n階矩陣但不存在矩陣B,使得BA=E;或A為m*n陣且m≠n,研究該情況方程組的解需要研究矩陣的秩的理論

二、逆矩陣的定義

設(shè)A是n階矩陣,若存在 階矩陣B使得BA=E(或AB=E),稱矩陣A可逆矩陣B稱為矩陣A的逆矩陣,記為B=A^-1

注意:

①若A可逆,則A^-1也是可逆的

②設(shè)A為n階非零矩陣,由AB=AC不一定有B=C;設(shè)A可逆,則AB=AC,一定有B=C

三、關(guān)于矩陣的逆矩陣的兩個(gè)問(wèn)題

問(wèn)題1:設(shè)A為n階矩陣，A可逆的條件是什么?

問(wèn)題2:設(shè)A為n階可逆矩陣,如何求其逆矩陣A^-1?

四、矩陣可逆的充分必要條件(重要定理)

設(shè)A是n階矩陣,則A可逆的充分必要條件是|A|=0.

注意:

五、逆矩陣的求法

(一)伴隨矩陣法

若n階矩陣A可逆,則A^-1 = (1/|A|) A* ,其中|A|為A的行列式,A*為A的伴隨矩陣

(二)初等變換法求逆矩陣-思想體系與求法

1.方程組的三種同解變形

方程組的以下三種變形稱為方程組的同解變形:

(1)對(duì)調(diào)兩個(gè)方程;

(2)某個(gè)方程兩邊同乘以一個(gè)非零常數(shù);

(3)某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程.

2.矩陣的初等變換

以下三種變換稱為矩陣的初等行變換:

(1)對(duì)調(diào)矩陣的兩行;

(2)矩陣的某行乘以非零常數(shù) k;

(3)矩陣某行的倍數(shù)加到另一行

以下三種變換稱為矩陣的初等列變換 :

(1)對(duì)調(diào)矩陣的兩列;

(2)矩陣某列乘以非零常數(shù) k;

(3)矩陣某列的倍數(shù)加到另一列.

矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換

3.三種初等矩陣

4.與逆矩陣相關(guān)的三個(gè)問(wèn)題

問(wèn)題1: 設(shè)A為n階可逆矩陣,A 否可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為單位矩陣E?

解答: 若A 可逆,則A一定可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為E

問(wèn)題2: 設(shè)A是mnn 矩陣且r(A)=r,問(wèn)A是否可以過(guò)有限次初等行變換化為

解答: 不一定

問(wèn)題3 設(shè)A是m*n 矩陣,且r(A)=r,問(wèn)A是否可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為

解答: 一定可以

5.初等變換法求逆矩陣

六、逆矩陣的性質(zhì)

第四節(jié) 矩陣的秩

一、矩陣秩的概念

設(shè)A是m*n矩陣,矩陣A中任取r行和r列,元素按照原有次序排列構(gòu)成的r階行列式,稱為矩陣A的r階子式,矩陣A共有Crm、Crn個(gè)階子式若至少有一個(gè)階子式不為零但所有r十1階子式(如果有)皆為零,稱r為矩陣A的秩記為r(A)=r.

注意:

二、矩陣秩的求法

在方程組中,矩陣的秩本質(zhì)上為方程組中約束條件的個(gè)數(shù),而方程組約束條件的個(gè)數(shù)即經(jīng)過(guò)方程組三種同解變形階梯化后留下的方程個(gè)數(shù),故對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換階梯化后非零行數(shù)即為矩陣的秩.如:

注意:

1.矩陣的秩本質(zhì)上即為方程組約束條件的個(gè)數(shù).

2.r(A)=0的充分必要條件是A=0

3.r(A)>=1的充分必要條件是A≠0

4.r(A)>=2的充分必要條件是A至少兩行不成比例

三、矩陣秩的性質(zhì)

性質(zhì)1 r(A)=r(A^T) = r(A^TA) = r(AA^T ),其中A^T為A的轉(zhuǎn)置矩陣

使用場(chǎng)景 出現(xiàn)A^TA 、或AA^T時(shí)使用

性質(zhì)2 設(shè)A,B是同型矩陣,則r(A±B)<=r(A)+r(B).

使用場(chǎng)景 出現(xiàn)A+B,A-B或r(A)+r(B)時(shí)使用

使用場(chǎng)景 出現(xiàn)r(A),r(B),r(AB)時(shí)使用

性質(zhì)4 設(shè)A,B分別為mn及ns矩陣,且AB=0,則r(A)+r(B)<=n

使用場(chǎng)景 出現(xiàn)AB=0時(shí)使用

性質(zhì)5 設(shè)A是m*n矩陣,P、Q分別為m及n階可逆矩陣,則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

使用場(chǎng)景 出現(xiàn)A*或Aij時(shí)使用

性質(zhì)8 設(shè)A為n階非零矩陣,則r(A)=1的充分必要條件是,存在非零向量α、β,使得得A=αβT,其中βT為β的轉(zhuǎn)置矩陣

第五節(jié) 矩陣等價(jià)

一、矩陣等價(jià)的定義

設(shè)A,B是兩個(gè)同型矩陣,若A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為 B,稱矩陣A與矩陣B等價(jià)

二、矩陣等價(jià)判別法

定理1 設(shè)A,B為同型矩陣,則AB是等價(jià)矩陣的充分必要條件是r(A)=r(B).

定理2 設(shè)A,B為同型矩陣,則A,B等價(jià)的充分必要條件是,存在可逆矩陣P,Q,使得PAQ=B.

注意:矩陣相等(第一節(jié)提到過(guò))和矩陣等價(jià)(上述提到過(guò))不同

矩陣筆記

① AB^T為矩陣, A^TB 為一個(gè)數(shù)(后邊矩陣前邊數(shù)),且A^TB 的值為矩陣AB^T的對(duì)角線,例如:

② 如果α、β為兩個(gè)維數(shù)相同的列向量,且A=αβ^T, 則A^n = k^(n-1)A ,其中k = α^Tβ = β^Tα,例如:

③ 相似變換矩陣

兩個(gè)相似的矩陣有許多相同的性質(zhì)：文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-758313.html

• 兩者的秩相等。
• 兩者的行列式相等。
• 兩者的跡數(shù)相等。
• 兩者擁有同樣的特征值，盡管相應(yīng)的特征向量一般不同。
• 兩者擁有同樣的特征多項(xiàng)式。
• 兩者擁有同樣的初等因子。

到了這里，關(guān)于線性代數(shù)基礎(chǔ)【2】矩陣的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！