前言
從性線變換我們得出，矩陣和函數(shù)是密不可分的。如何用函數(shù)的思維來分析矩陣。
矩陣的序列
通過這個定義我們就定義了矩陣序列的收斂性。
研究矩陣序列收斂性的常用方法，是用《常見向量范數(shù)和矩陣范數(shù)》來研究矩陣序列的極限。
長度是范數(shù)的一個特例。事實上，F(xiàn)robenius范數(shù)對應的就是長度。我們在線性空間中定義內(nèi)積時，就是把這三條性質(zhì)作為公理來定義內(nèi)積的
收斂矩陣
在矩陣序列中，最常見的是由一個方陣的冪構(gòu)成的序列，關(guān)于這樣的矩陣序列有如下概念和收斂定理：
r(A)是譜半徑是一個矩陣的特征值絕對值中的最大值，用于描述矩陣的特征值的尺度大小。
矩陣級數(shù)
矩陣冪級數(shù)
- 根據(jù)冪級數(shù)收斂半徑定理求出收斂半徑r
- 根據(jù)《常見向量范數(shù)和矩陣范數(shù)》將矩陣A量化，看否在收斂區(qū)間中
- 即 a k = k = > r = lim ? k → ∞ ｜ a k + 1 a k ｜ = ｜ k + 1 k ｜ = 1 a_k= k => r= \lim\limits_{k \to \infty} ｜\dfrac{a_{k+1}}{a_k}｜=｜\dfrac{{k+1}}{k}｜= 1 ak?=k=>r=k→∞lim?｜ak?ak+1??｜=｜kk+1?｜=1
- 由范式2得到 p ( A ) = 5 6 p(A)=\dfrac{5}{6} p(A)=65?
Neumann級數(shù)
- 注1：假設E-A不可逆，那么E-A有0特征值，A的特征值為1。而A的譜半徑小于1，矛盾，故E-A可逆
- 注2：A的譜半徑小于1，由定理3可知A為收斂矩陣。那么 A k + 1 A^{k+1} Ak+1 就趨近于0（k趨于無窮）
矩陣函數(shù)
矩陣函數(shù)的計算
常用的有以下幾種方法文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-719478.html
待定系數(shù)法
- 求矩陣A的特征多項式 ∣ λ I ? A ∣ |\lambda I - A| ∣λI?A∣
- 利用Hamilton-Cayley定理，求出A的一次性化零多項式
ψ
(
A
)
=
0
\psi(A)=0
ψ(A)=0
- 求解
f
(
A
)
f(A)
f(A)多項式
- 當
A
=
λ
，即
ψ
(
A
)
=
f
(
A
)
A=\lambda， 即\psi(A)=f(A)
A=λ，即ψ(A)=f(A)
- sin的導注是cos
- e x e^x ex的導數(shù)是它本身的導數(shù),因此， e ( 2 t ) 的導數(shù)是 2 e ( 2 t ) e^(2t) 的導數(shù)是 2e^(2t) e(2t)的導數(shù)是2e(2t)。
利用相似對角化
利用Jordan標準形
主要參考
《常見向量范數(shù)和矩陣范數(shù)》
《矩陣分析》
《7.2.3冪級數(shù)收斂半徑定理》
《矩陣序列與矩陣級數(shù)》
《矩陣函數(shù)的常見求法》文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-719478.html
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