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數(shù)學建模：灰色預(yù)測模型

灰色預(yù)測

三個基本方法：

累加數(shù)列：計算一階累加生成數(shù)列

$$x^{(1)}(k)=\sum _{i=1}^k{x}^{(0)}(i),k=1,2,?,n,$$

累減數(shù)列：計算一階累減生成數(shù)列

$$x^{(0)}(k)=x^{(1)}(k)?x^{(1)}(k?1),k=2,3,?,n,$$

加權(quán)累加：計算一階等權(quán)鄰接生成數(shù)，圖片描述有誤，此處計算的是一次累加的加權(quán)鄰值生成

$$z^{(0)}(k)=0.5x^{(1)}(k)+0.5x^{(1)}(k?1),k=2,3,?,n,$$

算法步驟

1. 進行級比檢驗，檢查是否滿足建立微分方程的前提條件。

$$\lambda (k)=\frac{x^{(0)}(k?1)}{x^{(0)}(k)}$$

1. 對原數(shù)據(jù)做一次累加，計算加權(quán)鄰值生成數(shù)
2. 構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣 $B$ ，與數(shù)據(jù)向量 $Y$

B ? = [ ? 1 2 ( x ( 1 ) ( 1 ) + x ( 1 ) ( 2 ) ? 1 2 ( x ( 1 ) ( 2 ) + x ( 1 ) ( 3 ) ) 1 ? ? ? 1 2 ( x ( 1 ) ( n ? 1 ) + x ( 1 ) ( n ) ) ] , Y ? = [ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ? x ( 0 ) ( n ) ] B~=\left[\begin{array}{ccccc}-\dfrac{1}{2}\big(x^{(1)}\big(1\big)+x^{(1)}\big(&2\big)&\\-\dfrac{1}{2}\big(x^{(1)}\big(2\big)+x^{(1)}\big(&3\big)&\big)&1\\&\vdots&&\vdots\\-\dfrac{1}{2}\big(x^{(1)}\big(n-1\big)+x^{(1)}\big(&n\big)&\big)&\end{array}\right],Y~=\left[\begin{array}{ccc}x^{(0)}\big(&2\big)\\x^{(0)}\big(&3\big)\\\vdots\\x^{(0)}\big(&n\big)\end{array}\right] B?= ??21?(x(1)(1)+x(1)(?21?(x(1)(2)+x(1)(?21?(x(1)(n?1)+x(1)(?2)3)?n)?))?1?? ?,Y?= ?x(0)(x(0)(?x(0)(?2)3)n)? ?

1. 計算 $a$ 與 $b$ 的值

$$\hat{u}=(\hat{a},\hat{b}{)}^T=(B^T?B{)}^{?1}{B}^{T}Y$$

1. 構(gòu)建模型

$$x^{(1)}(t)=(x^{(0)}(1)?\frac{b}{a})e^{?a(t?1)}+\frac{b}{a}.$$

1. 計算生成模型值 ${\hat{x}}^{(1)}(k)$ 和模型還原值 ${\hat{x}}^{(0)}(k)$ 并且?guī)腩A(yù)測

$${\hat{x}}^{(0)}(k)={\hat{x}}^{(1)}(k)?{\hat{x}}^{(1)}(k?1)$$

1. 檢驗預(yù)測值

文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-700383.html

代碼實現(xiàn)

%95至04年數(shù)據(jù)
clc;clear;
data = [174 179 183 189 207 234 220.5 256 270 285];
n = length(data);
 
%% 級比檢驗通過
check = [];
for k = 2:n
    lambda(k) = data(k-1)/data(k);
    if (exp(-2/(n+1))<lambda(k))&&(lambda(k)<exp(2/(n+1)))
        check(end+1) = 1;
    else check(end+1) = 0;
    end
end 
 
%% 計算累加數(shù)列
X1 = cumsum(data);

%% 計算加權(quán)
for i=2:n
    z(i) = 0.5*(X1(i-1)+X1(i));
end
 
%% 數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y
Y = data(2:n)';
B = [-z(2:n)',ones(n-1,1)];
u = (B'*B)\B'*Y;
% u = B\Y; 表示B的逆 乘以 Y
a = u(1,1);
b = u(2,1);
 
%% 構(gòu)造模型并且?guī)腩A(yù)測值
% 生成預(yù)測一次累加數(shù)列
f_X1 = [];
f_X0 = [];
for k=1:n-1
    f_X1(1)=data(1);
    f_X1(k+1) = (data(1)-b/a)*exp(-a*k) + b/a;
end
% 前綴和反推原始數(shù)據(jù)
for k=2:n
    f_X0(1)=data(1);
    f_X0(k)=f_X1(k)-f_X1(k-1);
end
 
%% 殘差檢驗 與 級比偏差值檢驗
for k=1:n-1
    sigma(k)=abs((data(k)-f_X0(k))/data(k));
    rho(k+1)=abs(1-((1-0.5*a)*lambda(k+1))/(1+0.5*a));
end

%% 預(yù)測下n個值
test = input('nums:');
nums = 5;
n=n+test;
f_f_X1 = [];
f_f_X0 = [];
for k=1:n-1
    f_f_X1(1)=data(1);
    f_f_X1(k+1) = (data(1)-b/a)*exp(-a*k) + b/a;
end
for k=2:n
    f_f_X0(1)=data(1);
    f_f_X0(k)=f_f_X1(k)-f_f_X1(k-1);
end

%% 繪圖
xAxis = 1995:2004;
xAxisPredict = 1995:1995+n-1; 
h = plot(xAxis,data,'o',xAxisPredict,f_f_X0,'-');
set(gca, 'XScale', 'log', 'YScale', 'log');
set(h,'LineWidth',1.5);

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