# 1 賽題
B 題 多波束測線問題
單波束測深是利用聲波在水中的傳播特性來測量水體深度的技術(shù)。聲波在均勻介質(zhì)中作勻 速直線傳播， 在不同界面上產(chǎn)生反射， 利用這一原理，從測量船換能器垂直向海底發(fā)射聲波信 號，并記錄從聲波發(fā)射到信號接收的傳播時間， 通過聲波在海水中的傳播速度和傳播時間計算 出海水的深度， 其工作原理如圖 1 所示。由于單波束測深過程中采取單點連續(xù)的測量方法， 因 此，其測深數(shù)據(jù)分布的特點是， 沿航跡的數(shù)據(jù)十分密集， 而在測線間沒有數(shù)據(jù)。
多波束測深系統(tǒng)是在單波束測深的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，該系統(tǒng)在與航跡垂直的平面內(nèi)一次 能發(fā)射出數(shù)十個乃至上百個波束，再由接收換能器接收由海底返回的聲波， 其工作原理如圖 2 所示。多波束測深系統(tǒng)克服了單波束測深的缺點，在海底平坦的海域內(nèi)， 能夠測量出以測量船 測線為軸線且具有一定寬度的全覆蓋水深條帶 (圖 3)。
多波束測深條帶的覆蓋寬度 隨換能器開角 a 和水深 D 的變化而變化。若測線相互平
行且海底地形平坦， 則相鄰條帶之間的重疊率定義為 = 1 ? ，其中 d 為相鄰兩條測線的間
距， 為條帶的覆蓋寬度(圖 4) 。若 < 0，則表示漏測。為保證測量的便利性和數(shù)據(jù)的完 整性， 相鄰條帶之間應(yīng)有 10%~20% 的重疊率。
但真實海底地形起伏變化大，若采用海區(qū)平均水深設(shè)計測線間隔，雖然條帶之間的平均重 疊率可以滿足要求，但在水深較淺處會出現(xiàn)漏測的情況(圖 5) ，影響測量質(zhì)量； 若采用海區(qū)最 淺處水深設(shè)計測線間隔，雖然最淺處的重疊率可以滿足要求，但在水深較深處會出現(xiàn)重疊過多 的情況(圖 6)， 數(shù)據(jù)冗余量大，影響測量效率。
問題 1 與測線方向垂直的平面和海底坡面的交線構(gòu)成一條與水平面夾角為 a 的斜線(圖 7)， 稱 a 為坡度。請建立多波束測深的覆蓋寬度及相鄰條帶之間重疊率的數(shù)學(xué)模型。
若多波束換能器的開角為 120 ° ，坡度為 1.5 ° ，海域中心點處的海水深度為 70 m，利用上 述模型計算表 1 中所列位置的指標(biāo)值，將結(jié)果以表 1 的格式放在正文中，同時保存到 result1.xlsx 文件中。
問題 2 考慮一個矩形待測海域(圖 8) ，測線方向與海底坡面的法向在水平面上投影的夾 角為 F ，請建立多波束測深覆蓋寬度的數(shù)學(xué)模型。
若多波束換能器的開角為 120o，坡度為 1.5o，海域中心點處的海水深度為 120 m，利用上 述模型計算表 2 中所列位置多波束測深的覆蓋寬度，將結(jié)果以表 2 的格式放在正文中， 同時保 存到 result2.xlsx 文件中。
問題 3 考慮一個南北長 2 海里、東西寬 4 海里的矩形海域內(nèi)，海域中心點處的海水深度 為 110 m，西深東淺， 坡度為 1.5o ，多波束換能器的開角為 120o 。請設(shè)計一組測量長度最短、 可完全覆蓋整個待測海域的測線，且相鄰條帶之間的重疊率滿足 10%~20% 的要求。
問題 4 海水深度數(shù)據(jù) (附件.xlsx)是若干年前某海域(南北長 5 海里、東西寬 4 海里) 單波束測量的測深數(shù)據(jù)，現(xiàn)希望利用這組數(shù)據(jù)為多波束測量船的測量布線提供幫助。在設(shè)計測 線時， 有如下要求： (1) 沿測線掃描形成的條帶盡可能地覆蓋整個待測海域； (2) 相鄰條帶之間 的重疊率盡量控制在 20% 以下；(3) 測線的總長度盡可能短。在設(shè)計出具體的測線后，請計算 如下指標(biāo)： (1) 測線的總長度； (2) 漏測海區(qū)占總待測海域面積的百分比；(3) 在重疊區(qū)域中， 重疊率超過 20% 部分的總長度。
注 在附件中， 橫、縱坐標(biāo)的單位是海里，海水深度的單位是米。 1 海里=1852 米。
2 解題思路
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