方陣相似對角化

引言

• 如果方陣$\mathbf{A}～\mathbf{\Lambda }$,且$\mathbf{\Lambda }$是一個對角陣(方陣),則稱$\mathbf{A}$可以相似對角化(簡稱為對角化)

相似對角化變換矩陣的性質(zhì)

• 設(shè)$n$階矩陣$\mathbf{A}$可以被分解為$\mathbf{A}=\mathbf{P\Lambda }{\mathbf{P}}^{?1}$(1),即${\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{AP}=\mathbf{\Lambda }$(2),不妨將$\mathbf{P}$稱為相似對角化變換矩陣,簡稱對角化變換矩陣

• 由(2)兩邊同時作乘${\mathbf{P}}^{?1}$有:$\mathbf{AP}=\mathbf{P\Lambda }$(3)

• 設(shè)$\mathbf{P}$用其列向量表示為$\mathbf{P}=({\mathbf{p}}_1,?,{\mathbf{p}}_n)$,$\mathbf{\Lambda }=\text{diag}({\lambda }_1,?,{\lambda }_n)$代入(3)的兩邊,即得

  • $\mathbf{A}({\mathbf{p}}_1,?,{\mathbf{p}}_n)$=$({\mathbf{p}}_1,?,{\mathbf{p}}_n)\mathbf{\Lambda }$(3.1)

  • ( p 1 , ? ? , p n ) ( λ 1 λ 2 ? λ n ) = ( λ 1 p 1 , ? ? , λ n p n ) (\bold p_1,\cdots,\bold p_n) \begin{pmatrix} {{\lambda _1}} & {} & {} & {} \cr {} & {{\lambda _2}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{\lambda _n}} \cr \end{pmatrix} =(\lambda_1\bold{p}_1,\cdots,\lambda_n{\bold{p}_n}) (p1?,?,pn?) ?λ1??λ2????λn?? ?=(λ1?p1?,?,λn?pn?)

• (3.1)兩邊化簡

  • $(\mathbf{A}{\mathbf{p}}_1,?,\mathbf{A}{\mathbf{p}}_n)$=$({\lambda }_1{\mathbf{p}}_1,?,{\lambda }_n{\mathbf{p}}_n)$(3.2)

• 于是${\mathbf{Ap}}_i={\lambda }_i{\mathbf{p}}_i$,$i=1,?,n$(4)

• 可見,${\lambda }_i$是$\mathbf{A}$的特征值,${\mathbf{p}}_i$就是$\mathbf{A}$對應(yīng)于${\lambda }_i$的特征向量

• 反之,若已知矩陣$\mathbf{Q}=({\mathbf{q}}_1,?,{\mathbf{q}}_n)$的列向量滿足:$\mathbf{A}{\mathbf{q}}_i={\lambda }_i{\mathbf{q}}_i$,$i=1,?,n$則有

  • $(\mathbf{A}{\mathbf{q}}_1,?,\mathbf{A}{\mathbf{q}}_n)$=$({\lambda }_1{\mathbf{q}}_1,?,{\lambda }_n{\mathbf{q}}_n)$,即
  • $\mathbf{A}({\mathbf{q}}_1,?,{\mathbf{q}}_n)$=$({\mathbf{q}}_1,?,{\mathbf{q}}_n)\mathbf{\Lambda }$即
  • $\mathbf{AQ}=\mathbf{Q\Lambda }$(5)

構(gòu)造對角化變換矩陣

• 由于n階矩陣$\mathbf{A}$恰好有$n$個特征值${\lambda }_1,?,{\lambda }_n$,并且可以對應(yīng)地求得$n$個特征向量$Q:{\mathbf{q}}_1,?,{\mathbf{q}}_n$,所以可以考慮將$\mathbf{Q}=(Q)$作為對角化變換矩陣候選,此時一定有(5)成立

• 因為特征值對應(yīng)的特征向量可能不唯一,所以候選矩陣$\mathbf{Q}$可能不唯一,甚至可能是復(fù)矩陣

• 而且$\mathbf{Q}$不一定是可逆方陣,需要添加限制條件:$n$階矩陣$\mathbf{Q}$是可逆矩陣,即$Q$是線性無關(guān)的

• 如果滿足這個附加條件,對(5)兩邊同時左乘${\mathbf{Q}}^{?1}$,得${\mathbf{Q}}^{?1}\mathbf{AQ}={\mathbf{Q}}^{?1}\mathbf{Q\Lambda }$=$\mathbf{\Lambda }$(6),也就是說,$\mathbf{Q}$就是$\mathbf{A}$得對角化變換矩陣

• 上述討論中心是矩陣$\mathbf{A}$的特征值和特征向量的計算,我們希望可以建立一條基于$\mathbf{A}$的可對角化判定定理和計算對角化變換陣的方法,上述討論已經(jīng)給出了這樣的定理和條件,歸納如下節(jié)

方陣可對角化判定定理??

• $n$階矩陣$\mathbf{A}$和一個對角陣相似的充要條件是$\mathbf{A}$有$n$個線性無關(guān)特征向量$P:{\mathbf{p}}_1,?,{\mathbf{p}}_n$

• 并且,由上述方法構(gòu)造的對角化變換陣$\mathbf{P}=(P)$將$\mathbf{A}$變換為由$\mathbf{A}$的$n$個特征值構(gòu)成的對角陣$\mathbf{\Lambda }=\text{diag}({\lambda }_1,?,{\lambda }_n)$;即${\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{AP}=\text{diag}({\lambda }_1,?,{\lambda }_{\mathbf{n}})$

• 下面繼續(xù)推進(jìn)這個結(jié)論,使得條件"$n$個線性無關(guān)特征向量"更加具體,有分為兩大類情況

推論:無重根特征值的方陣可以對角化

• 重根特征值:指$\mathbf{A}$的特征方程出現(xiàn)重根的那些根對應(yīng)的特征值
• 無重根特征值的方陣可以對角化
  • 由于$\mathbf{A}$的不同特征值對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的,所以若$\mathbf{A}$的特征向量${\lambda }_1,?,{\lambda }_n$是互不相等的,那么$\mathbf{A}$可以對角化

含重根特征值的方陣的對角化判定定理

• 有重根特征值的方陣不一定可對角化(這對應(yīng)于重根特征值問題)
  • 事實上,$k$重根特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)組中的向量不超過$k$個
  • 所以含有重根特征值的方陣$\mathbf{A}$的$n$個特征向量向量不一定是線性無關(guān)的

總結(jié)??

• 若$\mathbf{A}$的特征值${\lambda }_i$,($i=1,?,m$,$m?n$)的重數(shù)為$k_i$,$k_i?1,{\sum }_{i=1}^m{k}_i=n$;則:方陣$\mathbf{A}$可對角化的充要條件是特征值${\lambda }_i$對應(yīng)的特征向量中有$k_i$個是線性無關(guān)的

綜合:對角化步驟歸納

對角化問題的求解過程綜合運(yùn)用了矩陣特征值和特征向量等相關(guān)知識

1. 求出方陣$\mathbf{A}$所有特征值${\lambda }_1,?,{\lambda }_n$
2. 求解不同特征值${\lambda }_i$對應(yīng)的齊次線性方程${(\lambda }_i\mathbf{E}?\mathbf{A})\mathbf{x}=0$<1>的基礎(chǔ)解系
   • 判斷基礎(chǔ)解系中包含的向量個數(shù)是否和特征值${\lambda }_i$的重數(shù)$n_i$一致
   • 如果所有特征值的重數(shù)$n_i$和對應(yīng)的基礎(chǔ)解系向量個數(shù)一致,則$\mathbf{A}$可以對角化
   • 如果出現(xiàn)不一致,則$\mathbf{A}$不可對角化
3. 如果可對角化,則需要求解出一個可逆矩陣$\mathbf{P}$,使得${\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{AP}=\mathbf{\Lambda }$
   • 設(shè)$\mathbf{A}$的$n$個線性無關(guān)特征向量為$P:{\mathbf{p}}_1,?,{\mathbf{p}}_n$,則
     • $\mathbf{P}=(P)$
     • $\mathbf{\Lambda }=\text{diag}({\lambda }_1,?,{\lambda }_n)$

例

如果$\mathbf{A}$可對角化的話,求$\mathbf{A}$的對角化變換陣及其對角化矩陣

• A = ( 2 ? 1 ? 1 0 ? 1 0 0 2 1 ) A=\begin{pmatrix} 2 & { - 1} & { - 1} \cr 0 & { - 1} & 0 \cr 0 & 2 & 1 \cr \end{pmatrix} A= ?200??1?12??101? ?

特征值計算

• $|\lambda E?A|=(\lambda ?2)(\lambda +1)(\lambda ?1)=0$
  • ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=?1,{\lambda }_3=1$都是單根特征值,顯然$\mathbf{A}$可以對角化

構(gòu)造相似變換陣

• $({\lambda }_1\mathbf{E}?\mathbf{A})x=0$

  • ( 2 E ? A ) x = 0 2 E ? A = ( 0 1 1 0 3 0 0 ? 2 1 ) → ( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) \bold {(2E-A)x}=0 \\ \bold {2E-A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \cr 0 & 3 & 0 \cr 0 & { - 2} & 1 \cr \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} (2E?A)x=02E?A= ?000?13?2?101? ?→ ?000?100?010? ?

  • $$\begin{gathered} x_2=0 \\ {x}_3=0 \\ {x}_1可以是任意常數(shù) \\ 可以取基礎(chǔ)解系為\mathbf{p}=(1,0,0{)}^T \end{gathered}$$

• $({\lambda }_2\mathbf{E}?\mathbf{A})x=0$

  • $(?\mathbf{E}?\mathbf{A})\mathbf{x}=0$,取基礎(chǔ)解系${\mathbf{p}}_2=(0,?1,1{)}^T$

• $({\lambda }_3\mathbf{E}?\mathbf{A})x=0$

  • $(\mathbf{E}?\mathbf{A})\mathbf{x}=0$,取基礎(chǔ)解系${\mathbf{p}}_3=(1,0,1{)}^T$

下結(jié)論

• 滿足$\mathbf{\Lambda }={\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{AP}$的兩個矩陣

• P = ( 1 0 1 0 ? 1 0 0 1 1 ) ; Λ = diag ( 2 , ? 1 , 1 ) \bold {P}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 0 & { - 1} & 0 \cr 0 & 1 & 1 \cr \end{pmatrix}; \bold \Lambda=\text{diag}(2,-1,1) P= ?100?0?11?101? ?;Λ=diag(2,?1,1)文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-689072.html

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