由向量張成VS用條件約束

構(gòu)造子空間的方法主要有兩種：

1，一種是給出一組向量，由他們來(lái)張成子空間。

????????例如，矩陣的列空間和行空間就是通過(guò)這種方法來(lái)構(gòu)造的，他們分別是由矩陣的各列和各行張成的。

2，一種是給出子空間所應(yīng)受到的約束，滿足這些約束條件的向量構(gòu)成了該子空間。

????????比如說(shuō)，矩陣的零空間，就是由滿足齊次方程組Ax=0的所有解構(gòu)成的，方程組Ax=0中的每一個(gè)方程都是一個(gè)約束條件。

????????對(duì)于第一種方法而言，可以有多余的向量，即，線性相關(guān)的向量。對(duì)于第二種方法而言也可以有多余的約束條件。

? ? ? ? "下面我們逐一討論四個(gè)基本子空間，并討論基底的求法。我們指出，這四個(gè)基本子空間都與矩陣U有關(guān)系，我們的問(wèn)題是找出他們與原矩陣A的關(guān)系。"(打引號(hào)的這句話，不僅僅是原作者的重點(diǎn)，也是本文的重點(diǎn)。)

A的行空間與零空間都是的子空間

1，A的行空間,C for Column --- 他是由A的各個(gè)行向量張成的

補(bǔ)充，上文中所提到的2L，所強(qiáng)調(diào)的應(yīng)該是文中的第二句：

如何構(gòu)造行空間：

? ? ? ? A的行空間包含了U的行空間，是用階梯矩陣U中的r個(gè)非零行作為基底去張成的。（注：不同的消元方式可能會(huì)產(chǎn)生不同的U矩陣，但不論用什么消元法，最終產(chǎn)生的U矩陣中的r個(gè)非零行，都可以作為A的行空間的基底，因?yàn)椋?strong>基底不唯一。）A和U的行空間的維數(shù)相同，都等于r。不論是A的行空間還是U行空間都是由行向量所張成的，因此，只要行向量中有多少個(gè)元素，所張成的空間就是幾維。但是，如果秩r不等于方程組的行數(shù)m，也就是說(shuō)消元后得到的階梯矩陣U中存在全零行，則原矩陣A中有m-r個(gè)線性相關(guān)的行。否則，階梯矩陣U中不存在全零行，即m=r，A中各行都線性無(wú)關(guān)。

行空間的維數(shù)：

? ? ? ? A的行空間是由A的各行線性組合得到的，又因?yàn)槊總€(gè)行向量都是由n個(gè)元素組成的。因此， 他是的一個(gè)子空間。A的行空間的維數(shù)等于階梯矩陣U中非零行的個(gè)數(shù)，等于線性無(wú)關(guān)的行向量的個(gè)數(shù)，等于基底的個(gè)數(shù)，等于矩陣A的秩r。

舉例：

????????首先，對(duì)這個(gè)矩陣而言，A=mxn=2x3，秩r=1。A的行空間是A的行向量的線性組合，又因?yàn)锳的每行都是包含三個(gè)元素的行向量，所以，行空間是R3的子空間。

????????其次，A的行空間的維數(shù)等于r=1，從消元后的階梯矩陣U中，可以發(fā)現(xiàn)，只有第一行對(duì)于行的線性組合有貢獻(xiàn)。U的行空間，是用行向量[1 0 0]所張成的一條直線。是R3中的一個(gè)一維子空間。而A的行空間需要用A中的對(duì)應(yīng)行向量張成。

2， A的零空間,N for Null?--- 他是由齊次方程組 Ax=0的所有解構(gòu)成的

如何構(gòu)造零空間：

? ? ? ? 首先，對(duì)A進(jìn)行高斯消元化簡(jiǎn)得到階梯型矩陣U。觀察矩陣U，看看是否存在全零行，如果有全零行，就有自由列。若存在自由列，則一定有n-r個(gè)自由列，對(duì)應(yīng)有n-r個(gè)自由變量。依次讓每一個(gè)自由變量為1，其余的自由變量都為0，求解Ux=0，求出n-r個(gè)特解向量x=[x1,x2,....xm]。用這n-r個(gè)特解向量作為基底，就能張成矩陣的整個(gè)零空間。（也可以看成是用n-r個(gè)自由列（特解列向量）合成0列的所有權(quán)重組合。）

Tips: A的零空間=U的零空間

零空間的維度：

????????對(duì)于任何mxn，即m個(gè)方程組，n個(gè)未知數(shù)的矩陣A而言，因?yàn)椋憧臻g是矩陣A解的空間，每個(gè)解向量x都包含n個(gè)未知數(shù)，因此，他是的一個(gè)子空間。理論上說(shuō)，零空間的維度=解向量的維度=未知數(shù)的個(gè)數(shù)=n，若高斯消元后的階梯矩陣U不滿秩，在U的n個(gè)列向量中，有r個(gè)主元列和n-r個(gè)自由列，n-r個(gè)自由列，對(duì)應(yīng)了n-r個(gè)自由變量。則，A的零空間的維度=n-r=自由變量的個(gè)數(shù)。

A的零空間也叫A的核。

舉例：

????????A=mxn=2x3，秩r=1。A有2個(gè)方程，3個(gè)未知數(shù)。A的零空間就是A的解的空間，任何一個(gè)解空間中的向量，都包含三個(gè)未知數(shù)，因此是R3的子空間。

????????A的零空間的維數(shù)等于n-r=2。因?yàn)?，消元后的階梯矩陣U有n-r=2個(gè)自由列，對(duì)應(yīng)了兩個(gè)自由變量。對(duì)自由變量取特殊值求解后，會(huì)得到兩個(gè)特解向量。分別是列向量[0 1 0]和列向量[0 0 1]，他們可以分別張成兩條相互正交的直線。A的零空間是這兩條直線張成的一個(gè)二維平面，是R3中的一個(gè)二維子空間。

A的列空間與左零空間都是的子空間?

3，A的列空間,C for column?--- 他是由A的各個(gè)列向量張成的

補(bǔ)充，上文中所提到的2F，即，行秩=列秩：

?

如何構(gòu)造列空間：

? ? ? ? A的列空間由矩陣A中的r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量（即，基底）所張成的。矩陣A中的r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量所在的位置，就是階梯矩陣U中，非零主元列的位置。

?列空間的維數(shù)：

?????????? A的列空間是由A的各列線性組合得到的，又因?yàn)槊總€(gè)列向量都包含m個(gè)元素。因此， 他是的一個(gè)子空間。根據(jù)定理2F，階梯矩陣U有多少個(gè)（r個(gè)）線性無(wú)關(guān)的非零行，就有多少個(gè)（r個(gè)）線性無(wú)關(guān)的非零主元列。又因?yàn)椋仃嘇中線性無(wú)關(guān)的r個(gè)列向量，不僅在數(shù)量上等于，階梯矩陣U中線性無(wú)關(guān)的列向量，并且，兩個(gè)矩陣中線性無(wú)關(guān)的列向量在各自矩陣中所處的位置也相同。由此，我們得出，A的列空間的維數(shù)等于A的秩r，因?yàn)樗怯蓃個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量（即，r個(gè)基底）所張成的。而這r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量在A中所處的位置，等有階梯矩陣U中r個(gè)主元列所處的位置。（注意：對(duì)于矩陣A和矩陣U而言，他們的基底所處的位置相同，但經(jīng)過(guò)高斯消元后對(duì)應(yīng)位置的各列向量中的元素已經(jīng)發(fā)生了改變，因此，我們?cè)俅螐?qiáng)調(diào)，A和U的列空間不同。）

?

關(guān)于列空間的小結(jié)：

1，A的列空間就是A的值域。

2，A的列空間和U的列空間不同，高斯消元后改變了A的列空間。

3，A和U構(gòu)造基底所需的列向量所處的位置相同。階梯矩陣U中哪幾列線性無(wú)關(guān)，原矩陣A中的哪幾列也線性無(wú)關(guān)。這是因?yàn)锳x=0的解和Ux=0的解相同，也就是說(shuō)，A的零空間和U的零空間相同。

4，定理2F可簡(jiǎn)寫(xiě)為，行秩=列秩。

舉例：

?????????A=mxn=2x3，秩r=1。A的列空間是A中各列的線性組合，A中的每行都是包含兩個(gè)元素的列向量，所以，是R2的子空間。

????????A的列空間的維數(shù)等于秩r=1。從消元后的階梯矩陣U中，可以看到，只有第一個(gè)主元列有用，另外兩個(gè)自由列對(duì)于線性組合，并沒(méi)有貢獻(xiàn)。所以，U的列空間C(U),只能是由列向量[1 0]所張成的一條過(guò)原點(diǎn)的直線。是R2中的一個(gè)一維子空間。而A的列空間需要用A中對(duì)應(yīng)位置的列向量張成。

?4，A的左零空間/的零空間 ，N for Null?--- 他是由齊次方程組 x=0的所有解構(gòu)成的

左零空間的維數(shù)：

? ? ? ? 按照零空間的定義，零空間的維數(shù)，等于解向量的維數(shù)，等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)?；氐轿覀冎皩W(xué)習(xí)的行視圖與列視圖，從列視圖的角度看齊次方程組Ax=0，列向量x中的每一個(gè)元素（也就是未知數(shù)）就是矩陣A中每個(gè)列向量線性組合所對(duì)應(yīng)的權(quán)重，而A的零空間，就是能讓A的各列線性組合后得到全零列，所有可能的權(quán)重x?；蛘哒f(shuō)，滿足Ax=0的這一約束的全部x。mxn矩陣A共有n個(gè)列向量，每個(gè)列向量對(duì)應(yīng)一個(gè)權(quán)重，共n個(gè)權(quán)重（未知數(shù)），因此，A的零空間是的子空間（從另一個(gè)角度講，因?yàn)榻庀蛄縳是一個(gè)n維向量，包含n個(gè)元素（即，未知數(shù)））。?

? ? ? ? 而現(xiàn)在我們要求解的矩陣變成了A的轉(zhuǎn)置，這樣一來(lái)，零空間的求解就變成了，能夠保證中各列線性組合后得到全零列的所有可能的權(quán)重x。又因?yàn)?，中的列，就是A中的行，因此，我們可以認(rèn)為的零空間是滿足A的各行(共m行)線性組合后能夠生成全零行的所有可能的權(quán)重x(即，未知數(shù))。（這也是我自己比較滿意的一種解釋）?

????????現(xiàn)在我們把列組合的模式x=0（這里列向量x是未知數(shù)向量），變成行組合的模式，即，用行向量左乘A，即：

(原始矩陣A )

?(如何通過(guò)列組合的方式得到全零列？注：A中的行等于A的轉(zhuǎn)置中的列)

?(如何通過(guò)行組合的方式得到全零行？)?

? ? ? ??x=0的零空間，是滿足令A(yù)中各行的線性組合得到全零行的所有可能的權(quán)重,A共有m行，需要m個(gè)權(quán)重。因此，的零空間或者說(shuō)A的左零空間的是的子空間。

? ? ? ? ?同理，經(jīng)過(guò)高斯消元后，可能會(huì)出現(xiàn)不滿秩的情況，即出現(xiàn)了全零行，使得，非零行的個(gè)數(shù)矩陣的行數(shù)n。那么在全部的m個(gè)列向量中，有r個(gè)主元列和m-r個(gè)自由列。m-r個(gè)自由列，對(duì)應(yīng)了m-r個(gè)自由變量。則，A的左零空間的維度=m-r=自由變量的個(gè)數(shù)。

舉例：

????????A=mxn=2x3，秩r=1。A的左零空間是A的轉(zhuǎn)置矩陣的解空間，變成了3個(gè)方程，2個(gè)未知數(shù)。因此，是R2的子空間。

????????A的左零空間的維數(shù)等于m-r=1。A的左零空間為A的轉(zhuǎn)置矩陣的零空間。轉(zhuǎn)置矩陣A共有2列，根據(jù)行秩=列秩=1，則剩下一列為自由列，對(duì)應(yīng)了一個(gè)自由變量，因此只能得到一個(gè)特解向量，列向量[0 1]。這一個(gè)特解向量張成了一條過(guò)零點(diǎn)的直線，正是A的左零空間。是R2中的一個(gè)一維子空間。

補(bǔ)充：

線性代數(shù)基本定理（上）

? ? ? ?

????????對(duì)于任意mxn矩陣A都包含4個(gè)基本子空間，線性代數(shù)基本定理的上半部分指出了每一個(gè)子空間的維度。

A:

?A的零空間和行空間都是的子空間。

A的左零空間和列空間都是的子空間。

B:

1，A的列空間的維數(shù)等于秩r。

2，A的零空間的維數(shù)等于n-r。

3，A的行空間的維數(shù)等于r。

4，A的左零空間的維數(shù)等于m-r。

???注意：

Rank(A)<=min(m,n)

關(guān)于維度的一些思考：

? ? ? ? 就拿矩陣A的列空間來(lái)說(shuō)，假設(shè)矩陣A是一個(gè)10x8的矩陣。那么他的列空間維度本質(zhì)上應(yīng)該由A中任意一個(gè)列向量所包含的元素個(gè)數(shù)來(lái)決定，就拿本例來(lái)說(shuō)，A的每列都有10個(gè)元素，因此，A的列空間應(yīng)該是R10，即10維度。

? ? ? ? 但，根據(jù)線性代數(shù)的基本定理，A的列空間并不是完全由每列所含元素的個(gè)數(shù)決定的（本該是由元素個(gè)數(shù)決定的），而是由A的秩決定的。這就有點(diǎn)讓人犯迷糊了，A的秩表示了，A有多少個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，可這和每一列有多少個(gè)元素有什么關(guān)系？

? ? ? ? 首先，我們先來(lái)看看，如果要把R10這個(gè)10維空間全部張滿需要那些向量。只有一個(gè)列向量v=【1，2，3，。。。10】可以嗎？不行，因?yàn)檫@個(gè)向量向量的線性組合只有一個(gè)形式那就是cv,最終只能得到10維空間中的一條直線。同理，只有一個(gè)列向量【1，1，1.。。。1】可以嗎，也不行。只有一個(gè)列向量【1，0，0，。。。0】也不行。

? ? ? ? 雖然我們不知道矩陣A究竟是什么樣的，但我們可以先試著寫(xiě)出可以張成10維空間的向量（基底不唯一）?？纯纯偣簿烤剐枰獛讉€(gè)向量，每個(gè)向量包含幾個(gè)元素。我們先從二維空間開(kāi)始，要想張成一個(gè)x-y的二維平面，需要一組基底【0，1】和【1，0】，每個(gè)向量都包含兩個(gè)元素。推廣到三維空間，要想張成一個(gè)x-y-z三維空間，則需要【0，0，1】，【0，1，0】和【1，0，0】三個(gè)向量，且每個(gè)向量都包含三個(gè)元素。依此類推，我們要想張成一個(gè)10維空間，則需要，【1，0，。。。0】，【0，1，。。。0】一直到【0，0，。。。1】共十個(gè)向量，且這十個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)，互相正交，同時(shí)，每個(gè)向量都包含十個(gè)元素。因此，我們知道，要想張成整個(gè)n維空間，則至少需要n個(gè)向量，且每個(gè)向量的元素個(gè)數(shù)都不能小于n，而且他們還不能線性相關(guān)，這個(gè)相關(guān)不相關(guān)的問(wèn)題，就是由秩決定的。

? ? ? ? 現(xiàn)在我們的矩陣A是一個(gè)10x8矩陣，10行8列，每個(gè)列向量都有10個(gè)元素，但只有8列。因此，就算這8個(gè)列向量都線性無(wú)關(guān)，且正交，即秩等于8。這八個(gè)都包含10個(gè)元素的列向量，也只能張成一個(gè)8維的子空間。這就好比是把用于張成二維平面的向量【0，1】和【1，0】（在他們后各加一個(gè)0元素），拓展成【0，1，0】和【1，0，0】一樣。雖然，兩個(gè)向量都有三個(gè)元素且線性無(wú)關(guān)，但還是只能張成一個(gè)二維空間。對(duì)于A而言，張成R10的8個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量可以是：

? ? ? ? 注意，只有畫(huà)紅線的部分對(duì)張成8維子空間有貢獻(xiàn)。而因?yàn)橹?8，說(shuō)明對(duì)A消元后有n-r=8-8=0個(gè)自由列，共m-r=10-8=2個(gè)全零行。

?（全文完）

作者 --- 松下J27

參考文獻(xiàn)(鳴謝)：

1，線性代數(shù)及其應(yīng)用，侯自新，南開(kāi)大學(xué)出版社，1990.

2，Linear Algebra and Its Applications(Fourth Edition) - Gilbert Strang

格言摘抄：只要嘴巴甜，總能化到緣。(西游記動(dòng)畫(huà)片中豬八戒的格言)

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（配圖與本文無(wú)關(guān)）

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到了這里，關(guān)于線性代數(shù) --- 線性代數(shù)基本定理上（四個(gè)基本子空間的維數(shù)，行秩=列秩）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！