概念
n維向量
- 由
n
n
n個(gè)有次序的數(shù)
a
1
,
a
2
,
?
?
,
a
n
a_1,a_2,\cdots,a_n
a1?,a2?,?,an?組成的有序數(shù)組稱(chēng)為n維向量,簡(jiǎn)稱(chēng)向量
- 數(shù) a i a_i ai?稱(chēng)為向量的第 i i i個(gè)分量
向量類(lèi)型
實(shí)向量和復(fù)向量
- 分量全為實(shí)數(shù)的向量稱(chēng)為實(shí)向量,分量是復(fù)數(shù)的向量稱(chēng)為復(fù)向量(實(shí)向量是從屬于復(fù)向量的)
- 這里默認(rèn)討論的是實(shí)向量
行向量和列向量
-
n n n維向量可以寫(xiě)成一行或一列,分別稱(chēng)為行向量,列向量(或分別稱(chēng)為行矩陣,列矩陣)
-
一個(gè) n n n維行向量是 1 × n 1\times{n} 1×n的矩陣
- ( a 1 a 2 ? a n ) \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} ?a1?a2??an?? ?
-
一個(gè) n n n維列向量是 n × 1 n\times{1} n×1的矩陣
- ( a 1 a 2 ? a n ) \begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix} (a1??a2????an??)
-
-
通常以小寫(xiě)希臘字母,例如: α , β , γ , ? \boldsymbol{\alpha,\beta,\gamma,\cdots} α,β,γ,?表示向量
-
也可以用小寫(xiě)的粗體的英文字母表示,例如: a , b , ? \boldsymbol{a,b,\cdots} a,b,?,或粗正體 a , b , ? \bold{a,b,\cdots} a,b,?
-
有時(shí)為例書(shū)寫(xiě)方便,可以用非粗體: α , β , γ , ? {\alpha,\beta,\gamma,\cdots} α,β,γ,?
-
在按行分塊和按列分塊的分塊矩陣中,還可能出現(xiàn)用大寫(xiě)英文字母表示列分塊或行分塊,例如 A 1 , A 2 , ? A_1,A_2,\cdots A1?,A2?,?
行列向量的轉(zhuǎn)換
-
列向量可以看作行向量的轉(zhuǎn)置
-
習(xí)慣上,向量通常默認(rèn)指列向量,設(shè)向量包含 a 1 , a 2 , ? ? , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1?,a2?,?,an?元素
-
列向量和行向量分別表示為
-
a = ( a 1 a 2 ? a n ) = ( a 1 a 2 ? a n ) T a T = ( a 1 a 2 ? a n ) = ( a 1 , a 2 , ? ? , a n ) \bold{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T \\ \bold{a}^T=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}=(a_1,a_2,\cdots,a_n) a= ?a1?a2??an?? ?=(a1??a2????an??)TaT=(a1??a2????an??)=(a1?,a2?,?,an?)
-
為了便于區(qū)分符號(hào)(文字)所表示的向量是列向量還是行向量,習(xí)慣上表示行向量的符號(hào)帶上一個(gè) T ^T T上標(biāo),例如 a T \bold{a}^T aT表示列向量 a \bold{a} a的轉(zhuǎn)置得到的
-
簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě),由于列向量如果嚴(yán)格豎著寫(xiě)比較占用空間,緊湊性不好,我們可以利用轉(zhuǎn)置性質(zhì): a = ( a T ) T \bold{a}=(\bold{a}^T)^T a=(aT)T,將列向量用行向量的轉(zhuǎn)置形式書(shū)寫(xiě)展開(kāi)式,這樣行列向量也可以用橫著寫(xiě)
-
特殊向量
- 分量全為0的向量稱(chēng)為零向量
- 零向量第 i i i個(gè)分量改為1得到的向量是 a i = 1 a_i=1 ai?=1的 n n n維基向量
向量運(yùn)算
-
向量作為一種特殊的矩陣,仍然按照矩陣的運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算
-
k a = k ( a 1 , a 2 , ? ? , a n ) = ( k a 1 , k a 2 , ? ? , k a n ) k\bold{a}=k(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n) ka=k(a1?,a2?,?,an?)=(ka1?,ka2?,?,kan?)
- ? a = ? ( a 1 , a 2 , ? ? , a n ) = ( ? a 1 , ? a 2 , ? ? , ? a n ) -\bold{a}=-(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n) ?a=?(a1?,a2?,?,an?)=(?a1?,?a2?,?,?an?)為向量 ? a -\bold{a} ?a的負(fù)向量
矩陣的向量分塊??
-
A = ( a 11 a 12 ? a 1 n a 21 a 22 ? a 2 n ? ? ? a m 1 a m 2 ? a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn} \\ \end{pmatrix} A= ?a11?a21??am1??a12?a22??am2??????a1n?a2n??amn?? ?
-
記 α j = ( a 1 j a 2 j ? a m j ) , j = 1 , 2 , ? ? , n A = ( α 1 α 2 ? α n ) \\記\alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{pmatrix},j=1,2,\cdots,n \\A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} 記αj?= ?a1j?a2j??amj?? ?,j=1,2,?,nA=(α1??α2????αn??)
-
記 β i T = ( a i 1 , a i 2 , ? ? , a i n ) , i = 1 , 2 , ? ? , m A = ( β 1 T β 2 T ? β m T ) 記\beta_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i=1,2,\cdots,m \\ A= \begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix} 記βiT?=(ai1?,ai2?,?,ain?),i=1,2,?,mA= ?β1T?β2T??βmT?? ?文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-651940.html
-
A = ( α 1 α 2 ? α n ) = ( β 1 T β 2 T ? β m T ) A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix} A=(α1??α2????αn??)= ?β1T?β2T??βmT?? ?文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-651940.html
解析幾何向量和線性代數(shù)向量??
- 在解析幾何中,我們把"既有大小又有方向的量"叫做向量
- 把可隨意平移的有向線段作為向量的幾何形象
- 引進(jìn)坐標(biāo)系后,這種向量就有了坐標(biāo)表示:
n
n
n個(gè)有次序的實(shí)數(shù)數(shù)組
(
a
1
,
?
?
,
a
n
)
(a_1,\cdots,a_n)
(a1?,?,an?)
- n = 1 n=1 n=1對(duì)應(yīng)的是標(biāo)量
- n = 2 n=2 n=2對(duì)應(yīng)于二維平面向量
- n = 3 n=3 n=3對(duì)應(yīng)于三維空間向量
- 當(dāng) n ? 3 n\leqslant{3} n?3時(shí), n n n維向量可以把有向線段作為幾何形象
- 當(dāng) n > 3 n>3 n>3時(shí), n n n維向量不再有幾何形象,但是沿用一些幾何術(shù)語(yǔ)
向量空間
- 幾何中,"空間"通常是作為點(diǎn)的集合,構(gòu)成空間的元素是點(diǎn),這樣的空間叫做點(diǎn)空間
- 我們把 3 3 3維向量的全體所組成的集合: R 3 \mathbb{R}^3 R3={ r = ( x , y , z ) T ∣ x , y , z ∈ R \bold{r}=(x,y,z)^T|x,y,z\in\mathbb{R} r=(x,y,z)T∣x,y,z∈R}稱(chēng)為3維向量空間
- 在點(diǎn)空間取定坐標(biāo)系后,三維空間中的點(diǎn) P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)與 3 3 3維向量 r = ( x , y , z ) T \bold{r}=(x,y,z)^T r=(x,y,z)T之間有一 一對(duì)應(yīng)關(guān)系
- 因此向量空間可以類(lèi)比為"取定了坐標(biāo)系"的點(diǎn)空間
- 在討論向量的運(yùn)算時(shí),我們把向量看作有向線段
- 在討論向量集時(shí),把向量
r
\bold{r}
r看作時(shí)
r
\bold{r}
r為徑向的點(diǎn)
P
P
P,從而把點(diǎn)
P
P
P的軌跡作為向量集作為向量集的圖形
- 例如 Π = { P ( x , y , z ) ∣ a x + b y + c z + d = 0 } \Pi=\{P(x,y,z)|ax+by+cz+d=0\} Π={P(x,y,z)∣ax+by+cz+d=0},結(jié)合空間解析幾何的知識(shí),是一個(gè)平面方程的一般式,因此 Π \Pi Π是一個(gè)平面 ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ) (a^2+b^2+c^2>{0}) (a2+b2+c2>0)或 ( a , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) (a,b,c)\neq{(0,0,0)} (a,b,c)=(0,0,0)
- 由此,向量集
S
=
{
r
=
(
x
,
y
,
z
)
T
∣
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
}
S=\{\bold{r}=(x,y,z)^T|ax+by+cz+d=0\}
S={r=(x,y,z)T∣ax+by+cz+d=0}也叫做向量空間
R
3
\mathbb{R}^3
R3中的平面(3維空間中的2維平面),并把
Π
\Pi
Π作為向量集S的圖形
- 將 x , y , z x,y,z x,y,z替換為 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1?,x2?,x3?; x , y , z x,y,z x,y,z替換為 a 1 , a 2 , a 3 a_1,a_2,a_3 a1?,a2?,a3?,則平面方程作 ( ∑ i = 1 3 a i x i ) + b = 0 (\sum_{i=1}^{3}a_ix_i)+b=0 (∑i=13?ai?xi?)+b=0
n n n維向量空間
- 設(shè)集合 D = { 1 , 2 , ? ? , n } D=\{1,2,\cdots,n\} D={1,2,?,n}
- n n n維向量的全體構(gòu)成的集合 R 3 \mathbb{R}^3 R3={ x = ( x 1 , x 2 , ? ? , x n ) T ∣ ? i ∈ D , x i ∈ R \bold{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T|\forall{i}\in{D},x_i\in\mathbb{R} x=(x1?,x2?,?,xn?)T∣?i∈D,xi?∈R}叫做 n n n維向量空間
n n n維空間的 n ? 1 n-1 n?1維超平面
- n n n維向量的集合{ x = ( x 1 , x 2 , ? ? , x n ) T ∣ ( ∑ i = 1 n a i x i ) + b = 0 \bold{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T|(\sum_{i=1}^{n}a_ix_i)+b=0 x=(x1?,x2?,?,xn?)T∣(∑i=1n?ai?xi?)+b=0}叫做 n n n維向量空間 R n \mathbb{R}^n Rn中的 n ? 1 n-1 n?1維超平面
到了這里，關(guān)于LA@n維向量@解析幾何向量和線性代數(shù)向量的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
