和矩陣函數(shù)不同的是，函數(shù)矩陣本質(zhì)上是一個(gè)矩陣，是以函數(shù)作為元素的矩陣。
矩陣函數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)矩陣，是以矩陣作為自變量的函數(shù)。
函數(shù)矩陣和數(shù)字矩陣的運(yùn)算法則完全相同。
不過矩陣的元素
a
i
j
(
x
)
a_{ij}(x)
aij?(x) 需要是閉區(qū)間
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上的實(shí)函數(shù)。
可逆：
A
(
x
)
B
(
x
)
=
B
(
x
)
A
(
x
)
=
I
A(x)B(x)=B(x)A(x)=I
A(x)B(x)=B(x)A(x)=I
B
(
x
)
是
A
(
x
)
的逆矩陣
B(x)是A(x)的逆矩陣
B(x)是A(x)的逆矩陣，記為
A
?
1
(
x
)
A^{-1}(x)
A?1(x)
若
A
(
x
)
的元素
a
i
j
(
x
)
在
x
=
x
0
點(diǎn)均有極限
a
i
j
,
則
A
(
x
)
有極限
,
記為
l
i
m
x
→
x
0
A
(
x
)
=
A
(
x
0
)
。
若A(x)的元素a_{ij}(x)在x=x_0點(diǎn)均有極限 a_{ij}, \\ 則A(x)有極限,記為\underset{x\rightarrow x_0}{lim}A(x)=A(x_0)。
若A(x)的元素aij?(x)在x=x0?點(diǎn)均有極限aij?,則A(x)有極限,記為x→x0?lim?A(x)=A(x0?)。
則下面的等式成立
（
1
）
l
i
m
x
→
x
0
(
A
(
x
)
±
B
(
x
)
)
=
A
±
B
（
2
）
l
i
m
x
→
x
0
(
k
A
(
x
)
)
=
k
A
（
3
）
l
i
m
x
→
x
0
(
A
(
x
)
B
(
x
)
)
=
A
B
\begin{align*} &（1）\underset{x\rightarrow x_0}{lim}(A(x)\pm B(x))=A\pm B\\ &（2）\underset{x\rightarrow x_0}{lim}(kA(x))=kA \\ &（3）\underset{x\rightarrow x_0}{lim}(A(x)B(x))=AB \\ \end{align*}
?（1）x→x0?lim?(A(x)±B(x))=A±B（2）x→x0?lim?(kA(x))=kA（3）x→x0?lim?(A(x)B(x))=AB?
看上去沒有特別的地方，就是對(duì)每個(gè)元素進(jìn)行求導(dǎo)積分即可。只是需要注意矩陣沒有交換律。
積分的運(yùn)算也差不多，對(duì)每個(gè)函數(shù)分別積分就行了。
線性向量微分方程
線性向量就是指的 n 階常數(shù)矩陣 A。
定理一：
A
是一個(gè)
n
階常數(shù)矩陣，則微分方程組
d
x
(
t
)
d
t
=
A
x
(
t
)
滿足初始條件為
x
(
t
0
)
=
x
0
時(shí)，它的解為
x
=
e
A
(
t
?
t
0
)
x
0
A 是 一個(gè) n 階常數(shù)矩陣 ，則微分方程組\\ {\large \frac{dx(t)}{dt}}=Ax(t)\\ 滿足初始條件為\large x(t_0)=x_0時(shí)，它的解為\\ \large x=e^{A(t-t_0)}x_0\\
A是一個(gè)n階常數(shù)矩陣，則微分方程組dtdx(t)?=Ax(t)滿足初始條件為x(t0?)=x0?時(shí)，它的解為x=eA(t?t0?)x0?文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-759081.html
定理二：
設(shè)
A
是一個(gè)
n
階常數(shù)矩陣，則微分方程組
d
x
(
t
)
d
t
=
A
x
(
t
)
+
f
(
t
)
滿足初始條件
x
(
t
0
)
=
x
0
的解為
x
=
e
A
(
t
?
t
0
)
x
0
+
∫
t
0
t
e
A
(
t
?
τ
)
f
(
τ
)
d
τ
設(shè)A 是 一個(gè) n 階常數(shù)矩陣 ，則微分方程組\\ {\large \frac{dx(t)}{dt}}=Ax(t) + f(t)\\ 滿足初始條件x(t_0)=x_0的解為\\ \large x=e^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^te^{A(t-\tau)}f(\tau)d\tau
設(shè)A是一個(gè)n階常數(shù)矩陣，則微分方程組dtdx(t)?=Ax(t)+f(t)滿足初始條件x(t0?)=x0?的解為x=eA(t?t0?)x0?+∫t0?t?eA(t?τ)f(τ)dτ
（看著像高數(shù)里面的微分方程，但是又不太像。）
文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-759081.html
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