目錄
數(shù)學(xué)期望與方差
離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
注意
連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望?
????????方差
常用隨機(jī)變量服從的分布
?二項(xiàng)分布
正態(tài)分布
隨機(jī)向量與隨機(jī)變量的獨(dú)立性
隨機(jī)向量
隨機(jī)變量的獨(dú)立性
協(xié)方差
協(xié)方差的定義
協(xié)方差的意義
協(xié)方差矩陣
數(shù)學(xué)期望與方差
離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是指該變量的所有可能取值乘以其對應(yīng)的概率的總和。數(shù)學(xué)期望可以用以下公式表示：
E(X) = Σ(x * P(X=x))
其中，E(X)表示隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，x表示X的取值，P(X=x)表示X取值為x的概率。
換句話說，數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量所有可能取值的加權(quán)平均值，其中權(quán)重是對應(yīng)取值的概率。
注意
對概率大的取值，該值出現(xiàn)的機(jī)會就大，也就是在計(jì)算取值的平均時其權(quán)重就大，因此用概率作為一種“權(quán)重”做加權(quán)計(jì)算平均值
舉個栗子：
1.假設(shè)買彩票有 0.2 的概率中 500 萬，0.3 的概率中 1 萬，0.5 的概率中 0.1 萬，
那可能的收益不可能用 500+1+0.1 來平均一下，肯定要考慮概率值
500x0.2 +1x0.3 + 0.1x0.5
2.假設(shè)有一個離散型隨機(jī)變量X，其可能取值為1、2和3，對應(yīng)的概率分別為0.3、0.4和0.3。那么X的數(shù)學(xué)期望可以計(jì)算如下：
E(X) = (1 * 0.3) + (2 * 0.4) + (3 * 0.3) = 0.3 + 0.8 + 0.9 = 2
所以，這個隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為2。
連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望?
?對于連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方式與離散型隨機(jī)變量略有不同。數(shù)學(xué)期望仍然表示隨機(jī)變量的加權(quán)平均值，但在連續(xù)型情況下，需要使用積分來進(jìn)行計(jì)算。
連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望可以表示為：
E(X) = ∫(x * f(x)) dx
其中，E(X)表示隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，x表示X的取值，f(x)表示X的概率密度函數(shù)（PDF）。
簡單來說，數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量X乘以其概率密度函數(shù)的積分。
舉個例子，假設(shè)有一個連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度函數(shù)為f(x) = 2x，其中x的取值方差范圍為0到1。那么X的數(shù)學(xué)期望可以計(jì)算如下：
E(X) = ∫(x * 2x) dx
? ? = 2 * ∫(x^2) dx
? ? = 2 * [(x^3)/3]，在0到1的范圍內(nèi)積分
? ? = (1^3)/3 - (0^3)/3
? ? = 1/3
方差
隨機(jī)變量X的方差反映了X與其數(shù)學(xué)期望E(X)的偏離程度，如果X取值集中在E(X)附近，則
方差D(X)較?。蝗绻鸛取值比較分散，則方差D(X)較大。
通用方差公式：
常用隨機(jī)變量服從的分布
?二項(xiàng)分布
- 伯努利概型
做了n次試驗(yàn)，且滿足
(1) 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，即A發(fā)生或A不發(fā)生
(2) n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣
(3) 每次試驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)行的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的
這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)
例如： 將一骰子擲4次，觀察出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)——4重伯努利試驗(yàn)
定理：在n重伯努利試驗(yàn)中，用p表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，記n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次，則
?
- 二項(xiàng)分布
若隨機(jī)變量X的分布律為
則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記為X~b(n,p)
注意
- 二項(xiàng)分布的背景是：n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X~b(n,p),其中p為一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率
- 當(dāng)n=1時的二項(xiàng)分布X~b(1,p)，又稱為0-1分布（例如，扔一次硬幣，觀察正面朝上的次數(shù)）
正態(tài)分布
正態(tài)分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量分布
若隨機(jī)變量X的概率密度為
則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ、σ^2^的正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ^2^)。其中μ，σ(σ>0)為常數(shù)
右圖可見，μ決定了圖形的中心位置，當(dāng)μ取不同值時，圖形沿著x軸平移，而不改變其形狀。
注意
自然界和生活中很多事件都服從正態(tài)分布或者近似服從正態(tài)分布的，比如人的身高、體重、收入等?
隨機(jī)向量與隨機(jī)變量的獨(dú)立性
隨機(jī)向量
線性代數(shù)中，我們把標(biāo)量 x 推廣到向量，就是它有多個分量。
同樣我們把單個隨機(jī)變量可以推廣到隨機(jī)向量，就是它有多個分量，這樣就有了隨機(jī)向量的
概念了。
以二元隨機(jī)向量為例：
隨機(jī)變量的獨(dú)立性
兩個隨機(jī)變量如果相互獨(dú)立的話，它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于它們的分別的概率密度函數(shù)
乘積
推廣到多個隨機(jī)變量相互獨(dú)立
f?(x~1~,?x~2~ ,..,?x~n~ ) =?f?(x~1~)?f?(x~2~ )...?f?(x~n~?)
這和隨機(jī)事件的形式上是統(tǒng)一的，f 換成符合 P 就可以了
注意
在實(shí)際問題中，判斷兩個隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立，往往不是用數(shù)學(xué)定義去驗(yàn)證。而常常是由隨機(jī)變量的實(shí)際意義去考證它們是否相互獨(dú)立。如擲兩枚骰子的試驗(yàn)中，兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，兩個彼此沒有聯(lián)系的工廠一天產(chǎn)品中各自出現(xiàn)的廢品件數(shù)等都可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。
?
協(xié)方差
協(xié)方差的定義
設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)變量（二元隨機(jī)向量），稱
為X與Y的協(xié)方差，記為cov(X,Y)
由定義可推導(dǎo)得出協(xié)方差的常用計(jì)算公式：
注意
對比方差與協(xié)方差的計(jì)算公式：
- 方差：D(X)=E(X^2^)-[E(X)]^2^，協(xié)方差：cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
- 隨機(jī)變量X與其自身的協(xié)方差就是X的方差
協(xié)方差的意義
- 協(xié)方差反映的是X與Y之間協(xié)同發(fā)展變化的趨勢
- 協(xié)方差刻畫了兩個隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系
協(xié)方差矩陣
對于 n 維的向量 X，它的協(xié)方差就構(gòu)成了一個協(xié)方差矩陣，第一個是 X~1~ 和 X~1~ 的協(xié)方
差， 第一行第二列是 X~1~ 和 X~2~ 的協(xié)方差，第一行第 n 列是 X~1~和 X~n~ 的協(xié)方差。協(xié)方差矩陣
的對角線上是各變量的方差。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-671816.html
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