方差和標(biāo)準(zhǔn)差：

一個(gè)隨機(jī)變量，的值的變化程度可以用方差計(jì)算：

?；其中?是期望。

另外一種等價(jià)表達(dá)式：

? ? ?其中為均值，N為總體例數(shù)

我們舉個(gè)例子：

服從均一分布，取值為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 ，每種值的概率是20%，可算出期望是0.3，那么方差就是：

標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差是

此處為了方便，計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，分母是N，計(jì)算的是總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差。（在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)闃颖臼浅闃訕颖?，?jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，分母應(yīng)是N-1，也就是說(shuō)計(jì)算的是樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。）

協(xié)方差：

協(xié)方差可以用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量的線性相關(guān)性，并且可以化簡(jiǎn)到容易計(jì)算的形式（化簡(jiǎn)過(guò)程有問(wèn)題可以找下證明或者舉個(gè)例子親自算一下）：

我們舉第一個(gè)例子：?

服從均一分布，取值為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 ，每種值的概率是20%，可算出期望是0.3，標(biāo)準(zhǔn)差是；

服從均一分布，取值為10000，20000，30000，40000，50000 ，每種值的概率是20%，可算出期望是30000，標(biāo)準(zhǔn)差是；

假設(shè)?和??線性相關(guān)，此時(shí)?，那么取0.1取10000的概率為0.2，取0.1取20000、30000、40000、50000的概率都為0，以此類推。

和的協(xié)方差就是：

我們?cè)倥e第二個(gè)例子：

把上個(gè)例子中的隨機(jī)變量改變，隨機(jī)變量不改變。

服從均一分布，取值為1，2，3，4，5?，每種值的概率是20%，可算出期望是3，標(biāo)準(zhǔn)差是；

假設(shè)?和??線性相關(guān)，此時(shí)?，那么取0.1取1的概率為0.2，取0.1取2、3、4、5的概率都為0，以此類推。

和的協(xié)方差就是：

兩個(gè)例子對(duì)比一下，兩個(gè)例子中的兩個(gè)隨機(jī)變量都是線性相關(guān)的，求出來(lái)的協(xié)方差都大于0，但是兩個(gè)協(xié)方差的數(shù)值有較大差異，相差了10000倍。

皮爾遜相關(guān)系數(shù)：

皮爾遜相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)隨機(jī)變量?和?的協(xié)方差與標(biāo)準(zhǔn)差之商：

我們可以計(jì)算上述兩個(gè)例子里的皮爾遜相關(guān)系數(shù)：

第一個(gè)例子：

第二個(gè)例子：

皮爾遜相關(guān)系數(shù)都為1。

協(xié)方差、皮爾遜相關(guān)系數(shù)與線性相關(guān)

完全線性相關(guān)、線性相關(guān)、線性獨(dú)立、完全獨(dú)立：

如果變量可以用表示成?，那么兩個(gè)隨機(jī)變量完全線性相關(guān)，否則不是完全線性相關(guān)。不是完全線性相關(guān)的兩個(gè)變量有可能線性相關(guān)，有可能線性獨(dú)立。如果兩個(gè)變量有一定的線性關(guān)系，那么兩個(gè)變量線性相關(guān)；如果和沒(méi)有任何關(guān)系（完全獨(dú)立）或者左右對(duì)稱的線性關(guān)系可以抵消掉，那么兩個(gè)變量線性獨(dú)立。我們舉一些例子。

完全線性相關(guān)的例子：

如果，點(diǎn)集如散點(diǎn)圖所示，那么概率矩陣和計(jì)算協(xié)方差如下，協(xié)方差為4大于0（綠色部分值的加和），皮爾遜系數(shù)為1：

? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??

線性相關(guān)的例子：

如果，點(diǎn)集如散點(diǎn)圖所示，那么概率矩陣和計(jì)算協(xié)方差如下，協(xié)方差為12大于0，皮爾遜系數(shù)為0.98：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

線性獨(dú)立的例子：

仍然是，取不同的數(shù)值再算一下，點(diǎn)集如散點(diǎn)圖所示，協(xié)方差為0，皮爾遜系數(shù)為0，此時(shí)左右對(duì)稱的線性關(guān)系可以抵消掉：

? ? ? ? ? ? ? ? ?

線性獨(dú)立的另外一個(gè)例子，點(diǎn)集如散點(diǎn)圖所示，此時(shí)和??完全獨(dú)立，協(xié)方差為0，皮爾遜系數(shù)為0：

? ? ? ? ? ? ? ? ??

通過(guò)上述例子可以看出，當(dāng)兩變量線性獨(dú)立時(shí)，協(xié)方差一定等于0；當(dāng)協(xié)方差等于0時(shí)，兩變量也一定線性獨(dú)立，但是并不代表兩變量完全獨(dú)立（完全獨(dú)立的例子）。

下圖是皮爾遜相關(guān)系數(shù)的一個(gè)圖示便于理解：

?總結(jié)

如果兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)一致，也就是說(shuō)如果其中一個(gè)大于自身的期望值，另外一個(gè)也大于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是正值。如果兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)相反，即其中一個(gè)大于自身的期望值，另外一個(gè)卻小于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是負(fù)值。

協(xié)方差和皮爾遜相關(guān)系數(shù)都可以衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性（注意只是線性相關(guān)性），協(xié)方差受隨機(jī)變量數(shù)值大小的影響，而皮爾遜相關(guān)系數(shù)不受隨機(jī)變量數(shù)值大小的影響。所以兩隨機(jī)變量的協(xié)方差越大并不代表這兩個(gè)變量越線性相關(guān)，而兩隨機(jī)變量的皮爾遜相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越大這兩個(gè)變量越線性相關(guān)。

協(xié)方差的范圍是；協(xié)方差<0時(shí)，線性負(fù)相關(guān)；協(xié)方差>0時(shí)，線性正相關(guān)；協(xié)方差=0時(shí)，線性獨(dú)立。皮爾遜相關(guān)系數(shù)的范圍是；當(dāng)為-1時(shí)，完全線性負(fù)相關(guān)；當(dāng)為1時(shí)，完全線性正相關(guān)；當(dāng)>-1且<0時(shí)，線性負(fù)相關(guān)，絕對(duì)值越大越線性負(fù)相關(guān)；當(dāng)>0且<1時(shí)，線性正相關(guān)，絕對(duì)值越大越線性正相關(guān)；當(dāng)=0時(shí)，線性獨(dú)立。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-493866.html

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