1 題目
2022 年，中國一年的包裹已經(jīng)超過 1000 億件，占據(jù)了全球快遞事務(wù)量的一半以上。近幾年，中國每年新增包裹數(shù)量相當(dāng)于美國整個國家一年的包裹數(shù)量， 十年前中國還是物流成本最昂貴的國家，當(dāng)前中國已經(jīng)建立起全世界最強大、最先進的快遞物流體系。在包裹的打包環(huán)節(jié)，選取合適的包裝耗材非常重要。由于包裹的基數(shù)大，因此每個包裹耗材成本的略微降低，也能帶來極大的經(jīng)濟效益。圖 1 是一些紙箱實物樣式，圖 2 是某種三維裝箱示意圖。

附件 1 的裝箱數(shù)據(jù)中給出了訂單數(shù)據(jù)和耗材數(shù)據(jù)。根據(jù)以上背景，請你們的團隊完成以下問題：

問題1： 針對附件1裝箱數(shù)據(jù)中給出的訂單數(shù)據(jù)和耗材數(shù)據(jù)，對每個訂單，分別用箱子或袋子去裝，請設(shè)計出合適的裝載方案，要求使用耗材數(shù)量越少越好， 在耗材數(shù)量相同時，耗材總體積越小越好。給出每種耗材的使用總數(shù)和耗材總體積。

問題2： 針對附件1的數(shù)據(jù)，現(xiàn)在需要優(yōu)化耗材的尺寸，請給出耗材尺寸的優(yōu)化方案。要求優(yōu)化后耗材的種數(shù)不變，只是改變耗材尺寸；對問題1中成功裝載的物品，優(yōu)化后的方案使用的箱子或袋子數(shù)盡量減少；總體積不能超過原方案的總體積；在耗材數(shù)量相同時，耗材總體積越小越好。給出優(yōu)化后的每種耗材的具體尺寸、使用總數(shù)和耗材總體積。

問題 3： 以上兩個問題假設(shè)貨物與耗材都為剛性的，若貨物與耗材存在柔性或者可輕微擠壓的屬性時，請重新完成問題 1、2。根據(jù)實際情況，這里考慮耗材伸展時，長、寬、高都不超過原尺寸的 5%。

提示：

1、需要分別給出箱裝(全使用箱子作為耗材)、袋裝(全使用袋子作為耗材) 以及兩種耗材同時使用的方案。
2、物品長寬高可以任意互換，如case1中第一種物品可看成長170、寬110、高27，也可看成長110、寬170、高27。
3、用袋子裝物品時，能夠裝下的判定標(biāo)準(zhǔn)為同時滿足如下兩個條件： 袋子長+袋子高≥物品長+物品高；袋子寬+袋子高≥物品寬+物品高。
4、在附件1裝箱數(shù)據(jù)中，case序號相同的看作同一訂單，同一訂單的物品可以裝在同一箱(袋)子里，不同訂單的物品一定裝在不同箱(袋)子里。
5、對附件1裝箱數(shù)據(jù)中的某訂單物品，若耗材無論如何不能裝下，則不需要考慮該物品。
6、耗材的重量暫不考慮。
7、表1是訂單表示例，表2是耗材信息表，更詳細的數(shù)據(jù)見附件1。

表1 部分訂單表（示例）

case ?L（長）?? ?W（寬）?? ?H（高）?? ?num
1?? ?170?? ?110?? ?27?? ?7
1?? ?210?? ?200?? ?30?? ?1
2?? ?105?? ?105?? ?100?? ?2
2?? ?135?? ?110?? ?110?? ?5
3?? ?208?? ?140?? ?18?? ?5
3?? ?90?? ?90?? ?75?? ?1
4?? ?115?? ?65?? ?35?? ?1
5?? ?250?? ?190?? ?53?? ?3
6?? ?140?? ?140?? ?48?? ?2
6?? ?225?? ?80?? ?35?? ?2
7?? ?292?? ?166?? ?87?? ?1
7?? ?320?? ?240?? ?70?? ?1
8?? ?228?? ?148?? ?26?? ?2
表 2 耗材信息表

耗材名稱?? ?耗材類型?? ?長?? ?寬?? ?高?? ?重量
普通1號袋?? ?袋?? ?250?? ?190?? ?1?? ?10
普通2號袋?? ?袋?? ?300?? ?250?? ?1?? ?8
普通3號袋?? ?袋?? ?400?? ?330?? ?1?? ?15
普通4號袋?? ?袋?? ?450?? ?420?? ?1?? ?23
普通1號自營紙箱?? ?箱?? ?165?? ?120?? ?55?? ?45
普通2號自營紙箱?? ?箱?? ?200?? ?140?? ?70?? ?67
普通3號自營紙箱?? ?箱?? ?200?? ?150?? ?150?? ?103
普通4號自營紙箱?? ?箱?? ?270?? ?200?? ?90?? ?132
普通5號自營紙箱?? ?箱?? ?300?? ?200?? ?170?? ?179

?以上是問題三的求解答案。

2 . 3?問題三分析

問題三是對于前兩個問題的優(yōu)化：對于問題一：問題一中所用到的貪心算法的基礎(chǔ)

上引入了貨物以及耗材的柔性變量，需要考慮貨物和耗材的擠壓和伸展行為。對于這個

問題我們可以在上面模型的基礎(chǔ)上引入變量或者說約束條件，如假設(shè)貨物的彈性、耗材

3的最大伸展量等。在考慮貨物柔性或可輕微擠壓的屬性時，可以將原來的約束條件修改

為：每個訂單必須滿足所有選用的包裝材料的體積不超過選定的包裝方式的容量，并且

對于每個包裝材料，其長、寬、高均不能超過原來的尺寸的?0.05。對于問題二：在原有

模型的基礎(chǔ)上，考慮貨物與耗材的柔性屬性，即當(dāng)貨物或耗材具有柔性或可輕微擠壓的

屬性時，在計算占用空間時應(yīng)將長、寬、高都限制在原尺寸的?0.05?以內(nèi)。對于每個產(chǎn)

品，將其長、寬、高分別除以?d2,?得到三個比例系數(shù)?r1, r2, r3,?然后將它們相乘即可得到

占用的空間。

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