前置定理 1 設 A \boldsymbol{A} A 為 n n n 階對稱矩陣，則必有正交矩陣 P \boldsymbol{P} P，使 P ? 1 A P = P T A P = Λ \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda} P?1AP=PTAP=Λ，其中 Λ \boldsymbol{\Lambda} Λ 是以 A \boldsymbol{A} A 為 n n n 個特征值為對角元的對角矩陣。
前置定理 2 若可逆矩陣 P \boldsymbol{P} P、 Q \boldsymbol{Q} Q 使 P A Q = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B} PAQ=B，則 R ( A ) = R ( B ) R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) R(A)=R(B)。
證明見 “矩陣的秩的性質”。
推論 1 設 A \boldsymbol{A} A 為 n n n 階對稱矩陣， λ \lambda λ 是 A \boldsymbol{A} A 的特征方程的 k k k 重根，則矩陣 A ? λ E \boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E} A?λE 的秩 R ( A ? λ E ) = n ? k R(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}) = n - k R(A?λE)=n?k，從而對應特征值 λ \lambda λ 恰有 k k k 個線性無關的特征向量。
證明 根據前置定理 1 可知，對稱矩陣 A \boldsymbol{A} A 與對角矩陣 Λ = diag ? ( λ 1 , ? ? , λ n ) \boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) Λ=diag(λ1?,?,λn?) 相似，從而有 A ? λ E \boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E} A?λE 與 Λ ? λ E = diag ? ( λ 1 ? λ , ? ? , λ n ? λ ) \boldsymbol{\Lambda} - \lambda \boldsymbol{E} = \operatorname{diag}(\lambda_1 - \lambda, \cdots, \lambda_n - \lambda) Λ?λE=diag(λ1??λ,?,λn??λ) 相似。
當 λ \lambda λ 是 A \boldsymbol{A} A 的 k k k 重根時， λ 1 , ? ? , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1?,?,λn? 這 n n n 個特征值中有 k k k 個等于 λ \lambda λ，有 n ? k n-k n?k 個不等于 λ \lambda λ，從而對角矩陣 Λ ? λ E \boldsymbol{\Lambda} - \lambda \boldsymbol{E} Λ?λE 中的對角元恰有 k k k 個等于 0 0 0，于是 R ( Λ ? λ E ) = n ? k R(\boldsymbol{\Lambda} - \lambda \boldsymbol{E}) = n - k R(Λ?λE)=n?k。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-614013.html
根據前置定理 2，因為對稱矩陣 A \boldsymbol{A} A 與對角矩陣 Λ = diag ? ( λ 1 , ? ? , λ n ) \boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) Λ=diag(λ1?,?,λn?) 相似，所以 R ( A ? λ E ) = R ( Λ ? λ E ) = n ? k R(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}) = R(\boldsymbol{\Lambda} - \lambda \boldsymbol{E}) = n - k R(A?λE)=R(Λ?λE)=n?k。得證。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-614013.html
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