實對稱矩陣的奇異值等于特征值
首先，來看一下什么叫作矩陣的奇異值，根據(jù)課本上的定義1
定理1： 實對稱矩陣的奇異值等于其特征值.
證明： 對于實對稱矩陣
A
A
A, 其特征值為
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n
λ1?,λ2?,...,λn?. 由某個定理可知（自己查找一下），
A
2
A^2
A2的特征值為
λ
1
2
,
λ
2
2
,
.
.
.
,
λ
n
2
\lambda_1^2,\lambda_2^2,...,\lambda_n^2
λ12?,λ22?,...,λn2?. 根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)，
A
H
A
=
A
2
A^HA=A^2
AHA=A2. 定理，得證.
實對稱矩陣的SVD分解
定理2： 實對稱矩陣SVD分解的左右奇異向量相等.
證明： 對于實對稱矩陣
A
A
A, 其特征值為
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n
λ1?,λ2?,...,λn?，根據(jù)定理1, 也是其奇異值. 對應(yīng)的單位化后的特征向量為
u
1
,
u
2
,
.
.
.
,
u
n
u_1,u_2,...,u_n
u1?,u2?,...,un?. 那么有,
A
[
u
1
,
u
2
,
.
.
.
,
u
n
]
=
[
u
1
,
u
2
,
.
.
.
,
u
n
]
d
i
a
g
(
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
)
A[u_1,u_2,...,u_n]=[u_1,u_2,...,u_n]diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)
A[u1?,u2?,...,un?]=[u1?,u2?,...,un?]diag(λ1?,λ2?,...,λn?). 令
U
=
[
u
1
,
u
2
,
.
.
.
,
u
n
]
,
Σ
=
d
i
a
g
(
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
)
U=[u_1,u_2,...,u_n], \Sigma=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)
U=[u1?,u2?,...,un?],Σ=diag(λ1?,λ2?,...,λn?), 則
A
U
=
U
Σ
AU=U\Sigma
AU=UΣ, 且
U
H
U
=
I
U^HU=I
UHU=I是酉矩陣，那么
A
=
U
Σ
U
H
A=U\Sigma U^H
A=UΣUH, 定理得證.
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