目錄

一、基本介紹

二、利用層次分析法解決評(píng)價(jià)類問(wèn)題

2.1判斷矩陣

2.2判斷矩陣一致性檢驗(yàn)

?2.3計(jì)算權(quán)重

?2.4算數(shù)平均法求權(quán)重

?2.5幾何平均法求權(quán)重

?2.6特征值求權(quán)重

三、總結(jié)?

一、基本介紹

層次分析法是評(píng)價(jià)類模型中的一種常見(jiàn)算法，它是用來(lái)根據(jù)多種準(zhǔn)則，或是說(shuō)因素從候選方案中選出最優(yōu)的一種數(shù)學(xué)方法，例如我們?cè)谏钪袝?huì)遇到各種各樣的問(wèn)題，比如各個(gè)高校的對(duì)比，旅游景點(diǎn)的選擇，都需要我們來(lái)根據(jù)一定的權(quán)重來(lái)進(jìn)行決策，在進(jìn)行選擇，進(jìn)行決策時(shí)我們所想的種種因素都是相互關(guān)聯(lián)和制約的，比如兩所高校的教學(xué)水平，風(fēng)景等。層次分析法就是解決這種決策系統(tǒng)的一種方法。將復(fù)雜的決策系統(tǒng)層次化，通過(guò)逐層比較各種關(guān)聯(lián)因素的重要性來(lái)為分析以及最終的決策提供定量的依據(jù)。

下面來(lái)看一個(gè)小例子（引用清風(fēng)老師視頻例子）：小明暑假想去補(bǔ)課班，現(xiàn)在面臨A和B兩個(gè)補(bǔ)課班選擇，那么面臨一個(gè)問(wèn)題，小明是去A還是B呢？這是一種評(píng)價(jià)類問(wèn)題，可以用打分來(lái)解決。 小明最關(guān)系補(bǔ)課班里的學(xué)習(xí)氛圍（0.4）、桌椅設(shè)備（0.3）、補(bǔ)習(xí)人數(shù)（0.2）、學(xué)習(xí)環(huán)境（0.1）。括號(hào)里為小明認(rèn)為的重要程度，其和為1。

小明根據(jù)走訪調(diào)查列出一個(gè)權(quán)重表格：

A最終得分為0.515=0.7×0.4+0.5×0.3+0.3×0.2+0.25×0.1，同理B最終得分為0.485，所以小明最后選擇了A補(bǔ)習(xí)班。

二、利用層次分析法解決評(píng)價(jià)類問(wèn)題

2.1判斷矩陣

解決評(píng)價(jià)類問(wèn)題首先要想到以下三個(gè)問(wèn)題：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.評(píng)價(jià)的目標(biāo)是什么? 2.為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)有幾種可選的方案? 3.評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則或者指標(biāo)

例如小明想去旅游，初步選擇為蘇杭，北戴河，桂林，根據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)形成評(píng)價(jià)體系來(lái)確定一個(gè)旅游方案。

前兩個(gè)問(wèn)題是顯而易見(jiàn)的，第三個(gè)問(wèn)題需要我們通過(guò)題目和上網(wǎng)來(lái)搜集資料來(lái)確定，?假如我們通過(guò)搜集資料確定了以下五個(gè)指標(biāo)：

1.景點(diǎn)景色? 2.旅游花費(fèi)? 3.居住環(huán)境? 4.飲食情況? 5.交通便利程度?

同樣，根據(jù)第一章的小例子，制作一個(gè)權(quán)重表格，如下

表格里面的指標(biāo)權(quán)重是不可以隨便填寫的，在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。

所以，最終決定通過(guò)兩兩比較來(lái)進(jìn)行劃分權(quán)重，具體如下圖：

?這里權(quán)重表格中的主對(duì)角線為1（景色和景色相比同等重要），通過(guò)對(duì)小明的提問(wèn)完成左側(cè)表格。首先小明說(shuō)花費(fèi)比景色略微重要（介為同等重要1和稍微重要之間就是2），其次對(duì)于景色和居住的重要程度相比，景色要比居住重要一點(diǎn)（稍微重要和明顯重要一點(diǎn)），由此可見(jiàn)：

?通過(guò)小明的十次回答，將表格補(bǔ)充完成，如下：

如圖所示的表格實(shí)際上是一個(gè)5×5的方陣記為A，元素為

?實(shí)際上，上面這個(gè)矩陣就是層次分析法的判斷矩陣。

2.2判斷矩陣一致性檢驗(yàn)

上一小節(jié)已經(jīng)得出了一個(gè)權(quán)重表格，那么如何根據(jù)表格得到三個(gè)地點(diǎn)的權(quán)重呢？首先如何計(jì)算蘇杭，北戴河，桂林的景色的權(quán)重得分？

?根據(jù)上一小節(jié)的判斷矩陣的由來(lái)，同理列出如下表格：

?同理我們填寫出其他表格：

?注意，在填寫這個(gè)判斷矩陣的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)一個(gè)值得注意的地方，如圖

?由上圖的不一致現(xiàn)象得出了一個(gè)一致矩陣的概念

得出一致矩陣的特點(diǎn)：各行各類成倍數(shù)關(guān)系。

所以在使用判斷矩陣求權(quán)重之前，必須先對(duì)其進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。下圖是進(jìn)行一致性檢驗(yàn)原理。

?一致性檢驗(yàn)步驟：

?2.3計(jì)算權(quán)重

一致矩陣計(jì)算權(quán)重如下（因?yàn)槊啃忻苛谐杀稊?shù)關(guān)系只計(jì)算第一列即可）：

?判斷矩陣求權(quán)重如下（因?yàn)槠洳怀杀壤P(guān)系所以計(jì)算三次）：

?通過(guò)求得三組權(quán)重來(lái)求算數(shù)平均：

?2.4算數(shù)平均法求權(quán)重

?用數(shù)學(xué)方法表示為

?2.5幾何平均法求權(quán)重

與算數(shù)平均法求權(quán)重基本相同。同樣分三步：

?2.6特征值求權(quán)重

?

假如我們的判斷矩陣一致性可以接受，那么我們可以仿照一致矩陣權(quán)重的求法。
第一步:求出矩陣A的最大特征值以及其對(duì)應(yīng)的特征向量
第二步:對(duì)求出的特征向量進(jìn)行歸一化即可得到我們的權(quán)重

?最后我們將特征值法求的權(quán)重填入表格：

?對(duì)于上圖中的指標(biāo)權(quán)重我們利用最開始的那個(gè)權(quán)重表格來(lái)求解如圖：

利用matlab求得上圖權(quán)重為?

?將特征值法求的權(quán)重放入大表格里面：

?其他位置同理。求得完整表格如圖

三、總結(jié)?

?層次分析法：

第一步：分析系統(tǒng)中各因素之間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)。

第二步：對(duì)于同一層次的各元素關(guān)于.上一層次中某一-準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造兩兩比較? 矩陣(判斷矩陣)。

第三步：由判斷矩陣計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重,并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)（計(jì)算權(quán)重的三種方法算數(shù)平均、幾何平均、特征值）。

以往的論文利用層次分析法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，都是采用其中某一種方法求權(quán)重，而不同的計(jì)算方法可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果有所偏差。為了保證結(jié)果的穩(wěn)健性，本文采用了三種方法分別求出了權(quán)重，再根據(jù)得到的權(quán)重矩陣計(jì)算各方案的得分，并進(jìn)行排序和綜合分析，這樣避免了采用單一方法所產(chǎn)生的偏差，得出的結(jié)論將更全面、更有效。

注：本文章是通過(guò)學(xué)習(xí)清風(fēng)老師的講解記錄的筆記。

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到了這里，關(guān)于清風(fēng)數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)筆記（一）層次分析法的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！