層次分析法概述

層次分析法是由美國運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty于20世紀(jì)七十年代創(chuàng)立的一種系統(tǒng)分析與決策的綜合評價(jià)方法，是在充分研究了人類思維過程的基礎(chǔ)上提出的較為合理的解決定性問題定量化的處理過程。
層次分析法的主要特點(diǎn)是通過建立遞階層次結(jié)構(gòu)，把人類的判斷轉(zhuǎn)化到若干因素兩兩之間的重要度的比較上，從而把難于量化的定性判斷轉(zhuǎn)化為可操作的重要度的比較上面。在許多情況下，決策者可以直接使用層次分析法進(jìn)行決策，極大提高了決策的有效性、可靠性和可行性，但其本質(zhì)是一種思維方式，它把復(fù)雜問題分解成多個(gè)組成因素，又將這些因素按支配關(guān)系分別形成遞階層次結(jié)構(gòu)，通過兩兩比較的方法確定決策方案相對重要度的總排序。

評價(jià)類問題概述

• 概念：評價(jià)類問題是指從多個(gè)評價(jià)對象中選擇出最優(yōu)者或?qū)Χ鄠€(gè)評價(jià)對象進(jìn)行優(yōu)先級排序。
• 解決方法：解決評價(jià)類問題可以通過打分的方式進(jìn)行。
• 評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重：每一個(gè)評價(jià)都有可能有多個(gè)不同的評價(jià)指標(biāo)，而不同評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重往往不相同，因此需要科學(xué)地確定不同指標(biāo)的權(quán)重，所有指標(biāo)的權(quán)重之和為1。

評價(jià)類問題的三要素

• 首先確定評價(jià)的目標(biāo)是什么；
• 接著確定有哪些可以選擇的評價(jià)對象；
• 最后需要確定有哪些評價(jià)指標(biāo)。

在實(shí)際情況中，評價(jià)指標(biāo)往往沒有事先確定，因此需要自行確定評價(jià)指標(biāo)。

評價(jià)指標(biāo)的確定方法有：根據(jù)問題的背景材料、生活常識(shí)以及相關(guān)資料的查找。

通過查找資料確定評價(jià)指標(biāo)時(shí)，首先查找知網(wǎng)、萬方和百度學(xué)術(shù)等專業(yè)平臺(tái)，接著再查找其他資料。一個(gè)好用的查找引擎是蟲部落。

在確定影響某因素的諸因子在該因素終所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各個(gè)因子對該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因?yàn)榭紤]不周全、顧此失彼而使決策者剔除與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能剔除一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。
——司守奎《數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用教材》

層次分析法步驟（重點(diǎn)）

層次分析法的核心思想就是由于同時(shí)確定多個(gè)指標(biāo)的權(quán)重或不同方案的指標(biāo)得分不方便，因此需要通過兩個(gè)指標(biāo)或不同方案同一指標(biāo)之間兩兩比較的方法來確定各自的權(quán)重。

（以下步驟均假設(shè)評價(jià)對象和評價(jià)指標(biāo)都已經(jīng)完全確定）

1. 作出層次結(jié)構(gòu)圖：根據(jù)所選定的評價(jià)對象和評價(jià)指標(biāo)作出層次結(jié)構(gòu)圖，圖中包含目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層三個(gè)要素，如下圖所示：
   
2. 作出指標(biāo)判斷矩陣：假設(shè)共有N個(gè)評價(jià)指標(biāo)，則首先建立一個(gè)N×N的方陣，稱為判斷矩陣。方陣的每一行和每一列均表示一個(gè)指標(biāo)。方陣中第i行第j列的元素表示的是第i個(gè)評價(jià)指標(biāo)相對于第j個(gè)評價(jià)指標(biāo)的重要程度，可以取1-9之間的整數(shù)或它們的倒數(shù)。后面的步驟中可以通過這個(gè)矩陣獲取每個(gè)指標(biāo)的權(quán)重。

備注：在實(shí)際應(yīng)用中，判斷矩陣的元素是“由相關(guān)專家填寫”，但是在建模比賽中只能依靠自身進(jìn)行填寫。因此推薦不加說明地直接給出判斷矩陣。

正互反矩陣：線性代數(shù)中的一個(gè)概念。該矩陣中第j行第i列的元素和第i行第j列的元素互為倒數(shù)，因此稱該矩陣為正互反矩陣。矩陣對角線上的元素均為1。

3. 作出得分判斷矩陣：假設(shè)共有M個(gè)評價(jià)方案，則對于每一個(gè)指標(biāo)，都需要建立一個(gè)M×M的方陣，同樣也稱為判斷矩陣。方陣的每一行與每一列均表示一個(gè)方案，第i行第j列的元素表示第i個(gè)方案在該指標(biāo)下相對于第j個(gè)方案的滿意程度，同樣只能取1-9之間的整數(shù)或它們的倒數(shù)。該方陣的性質(zhì)與指標(biāo)判斷矩陣的性質(zhì)相同。后面的步驟中可以通過這些方陣計(jì)算不同方案在該指標(biāo)下的得分。
4. 對每一個(gè)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)和調(diào)整：由于上面步驟填寫的判斷矩陣可能存在互相矛盾的地方，因此需要檢驗(yàn)判斷矩陣的矛盾程度，也就是進(jìn)行判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)（一般情況下很少出現(xiàn)完全理想的一致矩陣）：

備注：實(shí)際建模過程中，最好不要直接給出一個(gè)一致性矩陣，這樣就顯得太假了一些。

①計(jì)算判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI：CI=(最大特征值-n)/(n-1)，其中n為矩陣的階數(shù)。

②查表得到平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI：通過下表，確定n在一定取值時(shí)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI：

備注：實(shí)際情況中n一般不超過10，對于n超過10的情況可以考慮使用多級評價(jià)體系進(jìn)行評價(jià)。

③最后計(jì)算一致性比例CR：CR=CI/RI。

如果CR<0.1，則認(rèn)為矩陣的一致性可以接受；否則需要對矩陣進(jìn)行一定程度的修正調(diào)整。

修正的方向：一致性比例為0的矩陣稱為一致矩陣，其各行各列之間呈倍數(shù)關(guān)系。修正的方向即將不一致矩陣盡可能朝該方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

5. 計(jì)算指標(biāo)權(quán)重和不同方案的指標(biāo)得分：

首先需要對權(quán)重進(jìn)行歸一化：將矩陣中的每一個(gè)元素除以其所在列的元素之和即得到歸一化后的元素。

對于一致矩陣，進(jìn)行歸一化后的矩陣中任意一列的元素即代表不同指標(biāo)的權(quán)重或不同方案對于某一指標(biāo)的得分；對于非一致矩陣，則需要進(jìn)行下面的處理：

①算術(shù)平均法：對進(jìn)行歸一化后的矩陣中各列權(quán)重取算術(shù)平均值作為最終的權(quán)重。

②幾何平均法：對進(jìn)行歸一化后的矩陣中各列權(quán)重取幾何平均值作為最終的權(quán)重。

③特征值法：首先求出判斷矩陣的最大特征值和對應(yīng)的特征向量，然后對該特征向量進(jìn)行歸一化即可得到最終的權(quán)重。（該方法在建模比賽中使用最多）

備注：實(shí)際使用中，出于對模型的穩(wěn)健性考慮，建議同時(shí)使用三種方法并取平均值。

6. 列出最終的得分表格并計(jì)算最終的得分：

表格的第一列表示所有評價(jià)指標(biāo)，第二列為所有指標(biāo)的對應(yīng)權(quán)重，后面的各列分別表示一個(gè)評價(jià)方案。

根據(jù)不同指標(biāo)的權(quán)重和各個(gè)評價(jià)方案在某個(gè)指標(biāo)上的得分計(jì)算最終的方案得分并進(jìn)行排序比較即可。

層次分析法局限性

• 層次分析法中可選的評價(jià)對象和評價(jià)指標(biāo)個(gè)數(shù)都不能過多（最多不能超過15個(gè)，最好限制在10個(gè)以下）；
• 如果在某些指標(biāo)下已經(jīng)存在一些客觀數(shù)據(jù)可以用于評價(jià)的情況，則不適合使用層次分析法進(jìn)行評價(jià)。

層次分析法拓展模型

• 一個(gè)指標(biāo)下對應(yīng)多個(gè)子指標(biāo)的情況：使用多級的層次分析法進(jìn)行逐級求解即可。
• 一個(gè)指標(biāo)只對應(yīng)一部分評價(jià)對象：將該指標(biāo)不對應(yīng)的評價(jià)對象的權(quán)重設(shè)置為0即可。

一些個(gè)人看法

層次分析法使用過程中可能遇到的問題：

1. 確定評價(jià)指標(biāo)：確定評價(jià)目標(biāo)和可選評價(jià)方案總體不難，但是評價(jià)指標(biāo)的選擇需要根據(jù)題目背景、生活常識(shí)等，可能還需要查找資料，因此在查找資料方面可能會(huì)遇到一些問題。但是，由于指標(biāo)個(gè)數(shù)越多，該方法在建模中使用的主觀性越強(qiáng)，對后面結(jié)果的準(zhǔn)確性影響越大，因此不建議使用太多的指標(biāo)，所以只根據(jù)題目條件和生活常識(shí)確定指標(biāo)也許也夠了。
2. 繪制算法流程圖和層次結(jié)構(gòu)圖：這里需要使用億圖圖示等軟件進(jìn)行繪圖，但是總體難度應(yīng)該不大。
3. 當(dāng)指標(biāo)個(gè)數(shù)過多怎么辦：此時(shí)需要使用多級層次分析法。首先可以使用聚類算法將原始指標(biāo)劃分到多個(gè)類中，然后再對每個(gè)類使用層次分析法。
4. 層次分析法可以用于調(diào)整模型：例如當(dāng)用熵權(quán)法或灰色關(guān)聯(lián)分析求出權(quán)重后，可以用層次分析法對權(quán)重進(jìn)行一定的修正，這樣不僅增加了模型的豐富性，而且調(diào)整后的模型效果也會(huì)更好。

層次分析法本身的一些問題：文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-464733.html

1. 不推薦使用層次分析法確定權(quán)重：層次分析法可能應(yīng)用的三個(gè)方面分別是：進(jìn)行評價(jià)、確定權(quán)重和指標(biāo)篩選。但是，由于實(shí)際建模過程中所有的判斷矩陣都是由自己構(gòu)建，因此具有很強(qiáng)的主觀性和很大的誤差，而用其確定權(quán)重需要使用計(jì)算結(jié)果進(jìn)行后續(xù)計(jì)算，會(huì)更加影響后續(xù)計(jì)算結(jié)果，因此不推薦使用層次分析法確定權(quán)重。
2. 不推薦使用層次分析法進(jìn)行指標(biāo)篩選：關(guān)于指標(biāo)篩選，完全可以使用更好的方法（如Lasso回歸）或查找資料進(jìn)行指標(biāo)篩選，因?yàn)閷哟畏治龇ǖ闹饔^性太強(qiáng)，說白了使用層次分析法差不多還是在進(jìn)行主觀篩選，因此不推薦使用層次分析法進(jìn)行指標(biāo)篩選。
3. 何時(shí)使用層次分析法：當(dāng)我們只能主觀地從多個(gè)方案中選出最好的（層次分析法的基本模型），或者只能主觀地確定指標(biāo)的權(quán)重時(shí)才使用，否則盡可能不使用層次分析法。

到了這里，關(guān)于數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)筆記（1）：層次分析法（AHP）（附有詳細(xì)使用步驟）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！