?模型簡(jiǎn)介

? 本質(zhì)

既要XXX，又要XXX

? 回顧：(非)線性規(guī)劃都是一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，例如工業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品，追求最大化利潤(rùn)等等。

? 例如：某工廠生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅰ和產(chǎn)品Ⅱ，有關(guān)數(shù)據(jù)如下，若只追求最大化利潤(rùn)，得到模型：

? 多目標(biāo)

現(xiàn)在設(shè)有3個(gè)目標(biāo)：

? 1.盡量使產(chǎn)品Ⅰ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量；

? 2.盡可能充分利用設(shè)備，但不希望加班

? 3.盡可能使利潤(rùn)不少于56萬

? 翻譯翻譯

? 目標(biāo)1是“不超過”，也就是盡量“?”

? 目標(biāo)2是“充分利用又不加班”，也就是盡量“=”

? 目標(biāo)3是“不少于”，也就是盡量“?”

? “盡可能”的意思是，能滿足最好

? 若滿足不了，就要在多個(gè)目標(biāo)中做出取舍

? 隱藏條件：原材料有限，生產(chǎn)總消耗無法超出原材料

? 解題思路

? 需要衡量每個(gè)目標(biāo)的完成情況；

? 如果三個(gè)目標(biāo)有一定沖突，要在主觀上區(qū)分三個(gè)目標(biāo)的重要性；

? 使得整體的完成情況盡量好。

? 多目標(biāo)規(guī)劃難在哪？

? 極端例題：盡量保證每天吃的肉不少5斤，且盡可能保持體重在100斤以下

? “既要”“又要”，但有時(shí)難以同時(shí)滿足所有目標(biāo)

? 如何衡量每個(gè)目標(biāo)的完成情況

? 正偏差變量為實(shí)際值超過目標(biāo)值的部分，

? 負(fù)偏差變量為實(shí)際值未達(dá)到目標(biāo)值的部分，（為整數(shù)）

? 第3個(gè)目標(biāo)要求不少于目標(biāo)值，意味著負(fù)偏差變量越小越好

? 約束必須滿足么？

? 生產(chǎn)用的原材料用完了就沒了，所以“原材料有限”為絕對(duì)約束，必須滿足

? 有些目標(biāo)例如盡可能使利潤(rùn)不少于56萬，對(duì)追求的目標(biāo)值允許有偏差，稱為目標(biāo)約束

? 目標(biāo)太多，難以都滿足，應(yīng)該先滿足誰？

? 多個(gè)目標(biāo)可能難以同時(shí)滿足，到底哪個(gè)更重要？需要確定優(yōu)先因子

? 模型建立的基本原理：將目標(biāo)約束轉(zhuǎn)化為偏差變量表示的目標(biāo)函數(shù)和等式約束

?適用賽題

? 生產(chǎn)規(guī)劃：

使XXX最少/多/利潤(rùn)最大，且盡可能XXX，盡量XXX，在…基礎(chǔ)上優(yōu)化XXX;

?典型例題

? 某工廠生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅰ和產(chǎn)品Ⅱ，有關(guān)數(shù)據(jù)如下，

? 1.盡量使產(chǎn)品Ⅰ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量；

? 2.盡可能充分利用設(shè)備，但不希望加班

? 3.盡可能使利潤(rùn)不少于56萬

? 需要衡量每個(gè)目標(biāo)的完成情況，并區(qū)分三個(gè)目標(biāo)的重要性，使得整體的完成情況盡量好

? 引入三個(gè)概念：正負(fù)偏差變量，絕對(duì)約束和目標(biāo)約束，優(yōu)先因子

?三個(gè)概念

? 概念一：正負(fù)偏差變量，衡量每個(gè)目標(biāo)的完成情況

? 該目標(biāo)是“盡可能使利潤(rùn)不少于56萬”，超了好還是差了好？當(dāng)然超了好！而且超再多也不怕

? 即正偏差變量是多少，都無所謂；

? 而該目標(biāo)追求“盡量不少于”，意味著負(fù)偏差變量越小越好

? 目標(biāo)函數(shù)（根據(jù)偏差變量）

? 第1個(gè)目標(biāo)要求不超過目標(biāo)值，意味著正偏差變量 越小越好

? 利用優(yōu)先因子，從題目要求的目標(biāo)3中獲得目標(biāo)函數(shù)：

? 第3個(gè)目標(biāo)要求不少于目標(biāo)值，意味著負(fù)偏差變量越小越好

? 利用優(yōu)先因子，從題目要求的目標(biāo)3中獲得目標(biāo)函數(shù)：

? 第2個(gè)目標(biāo)的子目標(biāo)

? 第2個(gè)目標(biāo)中其實(shí)包含兩個(gè)子目標(biāo)： “充分利用設(shè)備”和“不希望加班”

? 正偏差變量代表加班時(shí)間， 負(fù)偏差變量代表沒有充分利用設(shè)備的時(shí)間

? “充分利用設(shè)備”意味著總生產(chǎn)時(shí)間不少于10，即? 10

? “不希望加班”意味著總生產(chǎn)時(shí)間不大于10，即? 10

? 同時(shí)滿足這兩條，就是對(duì)這兩個(gè)子目標(biāo)取交集，所以目標(biāo)2寫做： = 10

? 所以第2個(gè)目標(biāo)要求等于目標(biāo)值，意味著正負(fù)偏差都盡量小

? 利用優(yōu)先因子，從題目要求的目標(biāo)2中獲得目標(biāo)函數(shù)：

? 第2個(gè)目標(biāo)細(xì)化

? 上一頁(yè)中，目標(biāo)函數(shù)min( + )是基于目標(biāo)2中的兩個(gè)子目標(biāo)重要性相同的前提

? 現(xiàn)實(shí)中，“充分利用設(shè)備”和“不希望加班”還是存在重要性的差別

? 假如題目中提到“近期訂單較多”之類的語句，那么“不希望加班”的重要性就較低

? 此時(shí)可給 和再分別賦權(quán)重，稱為權(quán)系數(shù)，以區(qū)分重要性，例如目標(biāo)函數(shù)改為：

? 意味著“不加班”的重要性較低，讓步于“充分利用設(shè)備”

? 本課程例題不考慮該類情況，依舊使用min ( + )

? 補(bǔ)充：類似的情況，比如在銷售時(shí)有“盡量把所有產(chǎn)品都賣完” 的目標(biāo)，但不同產(chǎn)品利潤(rùn)不一樣，現(xiàn)實(shí)中當(dāng)然是先盡量把利潤(rùn)高的賣完，這種目標(biāo)就可根據(jù)利潤(rùn)比來給同一個(gè)目標(biāo)下的不同偏差變量設(shè)定權(quán)重

? 概念二：絕對(duì)約束和目標(biāo)約束

? 絕對(duì)約束

是模型中自帶的約束條件，必須滿足，否則是不可行解

? 例如 ? 11，使用材料的數(shù)量不能超過總量（總不能憑空變出來材料吧）

? 目標(biāo)約束

是模型中對(duì)不等式右端追求的值允許有偏差

? 以目標(biāo)3為例：盡可能使利潤(rùn)不少于56萬，也就是?? = ? 56

? “盡可能”三個(gè)字意味著允許有偏差，也就是多于56或少于56都行

? “偏差”就是加入正負(fù)偏差變量，變成： 8+ 10+=56

? 利用正負(fù)偏差變量，從目標(biāo)3中獲得等式約束條件(加上不足的減去多余的)

? 利用實(shí)際值與目標(biāo)值之間存在“偏差”，即正負(fù)偏差變量，多退少補(bǔ)

? 把目標(biāo)函數(shù)中的不等式約束變成了等式約束

? 實(shí)際值加上未達(dá)到的部分、減去超過的部分，就等于目標(biāo)值

? 概念三：優(yōu)先因子

? 三個(gè)目標(biāo)：1.盡量使產(chǎn)品Ⅰ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量；2.盡可能充分利用設(shè)備，但不希望加

班； 3.盡可能使利潤(rùn)不少于56

? 這三者可能難以同時(shí)滿足，到底哪個(gè)更重要？

? 例如，根據(jù)文獻(xiàn)或題目要求等，目標(biāo)1最重要，設(shè)最重要的目標(biāo)的優(yōu)先因子是p1

? 目標(biāo)2第二重要，設(shè)其優(yōu)先因子是p2

? 目標(biāo)3第三重要，設(shè)其優(yōu)先因子是p3

? 那么三個(gè)目標(biāo)重要性就是目標(biāo)1>目標(biāo)2>目標(biāo)3

? 注意：不同的求解方法下，優(yōu)先因子的作用是不同的

? 序貫算法中，優(yōu)先因子只是用來區(qū)分目標(biāo)的相對(duì)重要性，不需要其具體數(shù)值

? 而在線性加權(quán)法中，需要確定具體數(shù)值（該方法過于簡(jiǎn)單、適用性小，不建議使用）

? 序貫算法的具體操作會(huì)在第四部分代碼求解時(shí)講解

? 總結(jié)

? 題目：某工廠生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅰ和產(chǎn)品Ⅱ，有關(guān)數(shù)據(jù)如下，有3個(gè)目標(biāo)：

? 1.盡量使產(chǎn)品Ⅰ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量；

? 2.盡可能充分利用設(shè)備且不加班；

? 3.盡可能使利潤(rùn)不少于56萬

? 解題基本步驟

? 根據(jù)目標(biāo)約束寫出等式約束條件；

? 根據(jù)正負(fù)偏差變量和優(yōu)先因子，得到不同目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)；

? 別忘了題目還有絕對(duì)約束： ? 11，因?yàn)樯a(chǎn)材料有限

因?yàn)槠钪泻衳所以目標(biāo)函數(shù)中是含有x變量的，得出最后求解偏差的式子

?代碼求解

? 求解多目標(biāo)規(guī)劃

? 通用解法：

? 根據(jù)優(yōu)先因子的先后次序，將問題分解成單目標(biāo)規(guī)劃

? 三個(gè)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)都可視為單目標(biāo)的線性規(guī)劃

? 常用解法：序貫算法

? 根據(jù)模型中各個(gè)目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)（優(yōu)先因子），確定各目標(biāo)的求解次序（盡量減少主觀性不設(shè)置數(shù)值只設(shè)置p1，p2，p3等）

? 求第一級(jí)單目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)值記為

? 以第一級(jí)單目標(biāo)等于最優(yōu)值為新的約束，求第二級(jí)目標(biāo)最優(yōu)值，記為

? 依次遞推，直到所有目標(biāo)都求完，或不存在可行解為止

? 多目標(biāo)規(guī)劃還涉及帕累托解等概念，以后補(bǔ)充。

? 代碼分析

? 求第一級(jí)目標(biāo)（i=1）時(shí)

? 目標(biāo)函數(shù)和約束條件，對(duì)于三個(gè)目標(biāo)的偏差變量都沒有約束

? 代碼中用小于等于一個(gè)很大的數(shù)來表示。但既然說沒有約束，那不寫這三個(gè)約束不就行了么？

? 為的是后面有約束時(shí)只要更新不等式右邊的數(shù)值即可，而不必增加新的約束，便于簡(jiǎn)化代碼

? 求第二級(jí)目標(biāo)（i=2）時(shí)

? 因?yàn)榈谝患?jí)求得最優(yōu)值= 0 ，把該條作為新約束加入約束條件里

? 因?yàn)槊恳粋€(gè)目標(biāo)都是最小化偏差變量，所以新加入的約束寫作? 0，等價(jià)于= 0

? 思考：為什么取“?”等價(jià)于“=”？既然等價(jià)，為什么不直接寫= 0？

? 這樣做是為了代碼簡(jiǎn)潔統(tǒng)一，只要更新不等式右邊的數(shù)值即可

? 此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)和約束條件：

? 求第三級(jí)目標(biāo)（i=3）時(shí)

? 第二級(jí)求得最優(yōu)解+= 0，把該條加入約束條件里

? 與上一頁(yè)所講的一樣，同樣以小于等于代替等于

? 此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)和約束條件：

? 求解結(jié)果

? 三級(jí)都求完了，迭代結(jié)束，求得滿意解為 = 2, = 4。得數(shù)為整數(shù)，如果是小數(shù)可以使用整數(shù)規(guī)劃，多加一個(gè)約束條件，向下取整以保證滿足約束條件

? 在優(yōu)先考慮盡量使產(chǎn)品Ⅰ產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅱ，其次盡可能充分利用設(shè)備且不加班，最后盡可能使利潤(rùn)不少于56萬的情況下，應(yīng)該安排每天生產(chǎn)2臺(tái)設(shè)備Ⅰ，4臺(tái)設(shè)備Ⅱ。

? 注意多目標(biāo)規(guī)劃求得的叫做“滿意解”而不是“最優(yōu)解”

? 多目標(biāo)規(guī)劃沒有最優(yōu)的概念

? 因?yàn)樵谇蠼膺^程中，三個(gè)目標(biāo)的重要性的設(shè)定是具有主觀性的，比賽時(shí)應(yīng)盡量避免主觀性

? 假如改變?nèi)齻€(gè)目標(biāo)的重要性排序，那么求解結(jié)果也會(huì)變

本節(jié)課涉及的優(yōu)化變量optimvar、優(yōu)化問題optimproblem概念

MATLAB官方講解：

https://ww2.mathworks.cn/help/optim/ug/optimvar.html

https://ww2.mathworks.cn/help/optim/ug/optim.problemdef.optimizationproblem.solve.html?searchHighlight=solve&s_tid=srchtitle_solve_2

當(dāng)前模型：

? 代碼實(shí)現(xiàn)

clc, clear
% 使用優(yōu)化變量、優(yōu)化問題來求解
% 創(chuàng)建優(yōu)化變量x，dp和dm，類似于利用C++的類optimvar來創(chuàng)建對(duì)象x，dp，dm
% 可以用來為目標(biāo)函數(shù)和問題約束創(chuàng)建表達(dá)式；optimvar是matlab自帶的關(guān)鍵詞，意思是要定義優(yōu)化變量x（里外統(tǒng)一）
x = optimvar('x',2,'LowerBound',0);   % 定義兩個(gè)變量x，最小值lowerbound（matlab自帶關(guān)鍵詞）都為0
dp = optimvar('dp',3,'LowerBound',0); % 定義3個(gè)正偏差變量dp，最小值都為0
dm = optimvar('dm',3,'LowerBound',0); % 定義3個(gè)負(fù)偏差變量dm，最小值都為0

% 創(chuàng)建求最小值的優(yōu)化問題p；optimproblem（自帶）創(chuàng)建優(yōu)化類問題
p=optimproblem('ObjectiveSense','min'); %objectivesense表示設(shè)置的問題類型(一個(gè)屬性)，本句表示求解問題的最小值
%還有其他屬性，可自行查詢

% 設(shè)置優(yōu)化問題的約束條件
p.Constraints.cons1 = ( 2*x(1)+x(2)<=11 );  %constraints（關(guān)鍵詞）表示約束條件；cons1為約束條件的第一條，也可表示第一次寫入約束條件（可以寫一條，也可以寫多條，多條時(shí)換行即可，不需要加符號(hào)）
% 注意，表示相等關(guān)系用的符號(hào)是"=="
p.Constraints.cons2=[x(1)-x(2)+dm(1)-dp(1)==0       
                     x(1)+2*x(2)+dm(2)-dp(2)==10
                     8*x(1)+10*x(2)+dm(3)-dp(3)==56];

% 設(shè)置目標(biāo)函數(shù)obj
obj=[dp(1); dm(2)+dp(2); dm(3)];
% 單級(jí)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值goal，初始設(shè)為足夠大的數(shù)
% 非常寬松的約束就等于沒有約束，確保第一級(jí)的正常運(yùn)算
goal=100000*ones(3,1);  %三行一列的矩陣，每個(gè)數(shù)都是100000

for i=1:3
    % 重要：更新上一級(jí)的最優(yōu)值，作為該級(jí)的約束條件;
    p.Constraints.cons3=[obj<=goal]; %增加一個(gè)新約束，<=在此處只有=的作用，有小于好處是在迭代中直接更改右邊的數(shù)值，簡(jiǎn)化編程過程，而小于號(hào)無影響是因?yàn)樯弦患?jí)已經(jīng)求出來的就是最優(yōu)解
    p.Objective=obj(i);
    [sx,fval]=solve(p);     % 針對(duì)優(yōu)化問題使用solve，會(huì)自動(dòng)選擇求解方式*****很好用
    fprintf('第%d級(jí)目標(biāo)求解為：\n',i)
    fval, xx=sx.x, sdm=sx.dm, sdp=sx.dp %sx.x表示最優(yōu)解中x的數(shù)值，sx中還含有其他參數(shù)
    goal(i)=fval;  %更新迭代
end

代碼中的solve()用來求解優(yōu)化類問題，會(huì)自動(dòng)判斷問題類型并調(diào)用默認(rèn)求解器

求每一級(jí)目標(biāo)（i=1，2，3）時(shí)相應(yīng)變化的約束條件見PPT

三級(jí)都求完了，迭代結(jié)束，求得滿意解為。即應(yīng)該安排每天生產(chǎn)2臺(tái)設(shè)備Ⅰ，4臺(tái)設(shè)備Ⅱ。

注意多目標(biāo)規(guī)劃求得的叫做“滿意解”而不是“最優(yōu)解”，多目標(biāo)規(guī)劃的最終解沒有最優(yōu)的概念。因?yàn)樵谇蠼膺^程中，三個(gè)目標(biāo)的重要性的設(shè)定是具有主觀性的，假如改變?nèi)齻€(gè)目標(biāo)的重要性排序，那么求解結(jié)果也會(huì)變。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-594120.html