解方程組

一、從空間映射的角度研究方程組

對(duì)于如下方程組：

$$\begin{gathered} a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b1 \\ {a}_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b2 \\ .... \\ {a}_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...+a_{mn}{x}_n=bm \end{gathered}$$

這是一個(gè)$n$元方程組，一共包含$m$個(gè)方程，將其轉(zhuǎn)換成矩陣乘法形式：

[ a 11 ? a 12 ? . . . ? a 1 n a 21 ? a 22 ? . . . ? a 2 n . . . a m 1 ? a m 2 ? . . . ? a m n ] [ x 1 x 2 . . . x n ] = [ b 1 b 2 . . . b m ] \left [ \begin{matrix} a_{11}~a_{12}~...~ a_{1n}\\ a_{21}~a_{22}~...~ a_{2n} \\...\\a_{m1}~a_{m2}~...~ a_{mn}\end{matrix} \right ]\left[\begin{matrix} x_1 \\x_2\\...\\x_n\end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} b_1 \\b_2\\...\\b_m\end{matrix} \right] ?a11??a12??...?a1n?a21??a22??...?a2n?...am1??am2??...?amn?? ? ?x1?x2?...xn?? ?= ?b1?b2?...bm?? ?

令 A = [ a 11 ? a 12 ? . . . ? a 1 n a 21 ? a 22 ? . . . ? a 2 n . . . a m 1 ? a m 2 ? . . . ? a m n ] A = \left [ \begin{matrix} a_{11}~a_{12}~...~ a_{1n}\\ a_{21}~a_{22}~...~ a_{2n} \\...\\a_{m1}~a_{m2}~...~ a_{mn}\end{matrix} \right ] A= ?a11??a12??...?a1n?a21??a22??...?a2n?...am1??am2??...?amn?? ?, x = [ x 1 x 2 . . . x n ] x = \left[\begin{matrix} x_1 \\x_2\\...\\x_n\end{matrix} \right] x= ?x1?x2?...xn?? ?, b = [ b 1 b 2 . . . b m ] b = \left[\begin{matrix} b_1 \\b_2\\...\\b_m\end{matrix} \right] b= ?b1?b2?...bm?? ?

由此轉(zhuǎn)變成了矩陣乘法形式：$Ax=b$，由此而理解就是：已知目標(biāo)空間向量$b$，和描述空間映射的矩陣$A$,我們?nèi)ふ椅挥谠臻g中映射過(guò)來(lái)的向量$x$

二、方程解的個(gè)數(shù)

如果方程有解，即滿(mǎn)足$Ax=b$，向量$b$就是矩陣$A$的各個(gè)列向量的線性組合，換句話(huà)說(shuō)$b$在矩陣$A$的列空間上，才滿(mǎn)足方程組有解。

為了后續(xù)進(jìn)一步探索，再次明確幾個(gè)名詞的含義：

秩$r$ :矩陣列空間的維度，也是映射后向量集合構(gòu)成子空間的維度。

$m$：矩陣的行數(shù)，也是目標(biāo)空間的維度

$n$:矩陣的列數(shù)，就是映射前原空間的維度

明確了這些，我們繼續(xù)進(jìn)行討論：

1. r = m = n

描述的是一個(gè)方陣，而且是滿(mǎn)秩矩陣。這首先意味著原空間和列空間維數(shù)相等，都是$R^r$空間，映射的過(guò)程不存在空間的壓縮;同時(shí)目標(biāo)空間和列空間等維，也都是$R^r$空間，意味著目標(biāo)空間$R^m$(也就是$R^r$)中的任意一個(gè)向量都在矩陣A的列空間上，這意味著什么?意味著在這種情況下，方程組一定有解，且僅有一個(gè)解。
在等式推導(dǎo)上，由于滿(mǎn)秩方陣A可逆，我們對(duì)方程組$Ax=b$左右兩側(cè)同時(shí)乘以$A$的逆矩陣$A^{?1}$，就能得到解向量的表達(dá)式:
$Ax=b\to A^{?1}Ax=A^{?1}b\to x=A^{?1}b$

2. r = n < m

$r=n$意味著，映射后的列空間和原空間的維數(shù)相等，都是$n$，即如果在列空間上任選一個(gè)向量$b$，在原空間中與之對(duì)應(yīng)的解向量$x$是唯一的。但是請(qǐng)注意，由于$r<m$，列空間的維度小于目標(biāo)空間的維度，列空間僅僅是目標(biāo)空間$R^m$的一個(gè)子空間，因此問(wèn)題來(lái)了，如果我們?cè)谀繕?biāo)空間中挑選的$b$向量不在列空間上，那么方程就無(wú)解。因此在這種情況下，方程組要么無(wú)解，要么有唯一解，區(qū)分的原則就是$b$向量是否在$A$的列空間上。

3. r = m < n

$r=m$意味著目標(biāo)空間是一個(gè)$R^m$空間，而列空間和目標(biāo)空間維數(shù)相等，同樣是$R^m$空間，同樣說(shuō)明目標(biāo)空間里的所有向量都位于矩陣$A$的列空間上，因此方程組一定有解。而同時(shí)有$r<n$，意味著列空間的維度小于原空間的維度，即映射存在空間的壓縮。因此A是一個(gè)多對(duì)一的空間壓縮矩陣，方程組有解，且解有無(wú)數(shù)個(gè)。

4. r < m 且 r < n

這種情況包含了2、3小點(diǎn)的情況，具體的說(shuō)$r$是原空間和目標(biāo)空間的子空間，此時(shí)既可能無(wú)解也可能無(wú)解。

三、方程組解求法

當(dāng)方程組有唯一解的時(shí)候，他的解就是一個(gè)向量: x = [ x 1 x 2 . . . x n ] x = \left[\begin{matrix} x_1 \\x_2\\...\\x_n\end{matrix} \right] x= ?x1?x2?...xn?? ?，這是唯一的表達(dá)方式。
但是如果方程組有無(wú)數(shù)種解，顯然我們無(wú)法將其全部羅列出來(lái)，具體應(yīng)該如何表達(dá)呢?我們還是從解的集合意義出發(fā):
當(dāng)方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解的時(shí)候，實(shí)質(zhì)上就構(gòu)成了一個(gè)解的空間。我們的目標(biāo)就是要找到這個(gè)解空間的描述方式，我們的思路是:
首先任意找一個(gè)滿(mǎn)足方程組的解，也就是解空間中的一個(gè)任意點(diǎn)，我們稱(chēng)其為特殊解: $x_p$，此時(shí)滿(mǎn)足$A{x}_p=b$。
然后我們轉(zhuǎn)而去考慮零空間。根據(jù)定義，零空間中的任意點(diǎn)$x_{。}$滿(mǎn)足，那么此時(shí)就有。這意味著什么?意味著解空間中任意一個(gè)解向量與零空間中任意一個(gè)向量相加的結(jié)果也是解向量，用向量相加的幾何意義來(lái)描述就是:零空間里的某個(gè)向量沿著這個(gè)特解向量x,進(jìn)行移動(dòng)，移動(dòng)后的結(jié)果是另外一個(gè)解向量。那么整個(gè)零空間沿著這個(gè)特殊解向量$x_p$進(jìn)行移動(dòng)，其結(jié)果就是我們要找的解空間了。

**解法：**求解齊次線性方程組的解，也就是求解零空間。然后求出原方程組的一個(gè)特解。二者相加即可。具體的求法請(qǐng)百度或者參考教材，這里就不過(guò)多陳述了。

解，也就是求解零空間。然后求出原方程組的一個(gè)特解。二者相加即可。具體的求法請(qǐng)百度或者參考教材，這里就不過(guò)多陳述了。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-521340.html

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