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一、問題重述

1.1?問題背景

由于無人機集群在遂行編隊飛行時, 應(yīng)盡可能的避免外界干擾, 因此需要盡可能的保持電磁靜默減少電磁波信號的發(fā)射.為保持編隊隊形, 擬采用純方位無源定位的方法調(diào)整無人機的位置, 即由編隊中某幾架無人機發(fā)射信號, 其余無人機被動接收信號, 從中提取出方向信息進行定位, 來調(diào)整無人機的位置.其中, 無人機所接收到的方向信息約定為：該無人機與任意兩架發(fā)射信號無人機連線之間的夾角.編隊中每架無人機均有固定編號, 且在編隊中與其他無人機的相對位置關(guān)系保持不變.

1.2?問題重述

本文將要解決以下幾個問題：

問題一：編隊由10架無人機組成, 構(gòu)成圓形編隊, 其中9架無人機均勻分布在某一圓周上, 令一架無人機位于圓心.無人機基于自身感知高度信息, 均保持在同一高度上飛行.建立數(shù)學(xué)模型, 解決以下問題：

1、 位于圓心的無人機和編隊中另2架無人機發(fā)射信號, 其余位置略有偏差的無人機被動接收信號.當(dāng)發(fā)射信號的無人機位置無偏差且編號已知時, 建立被動接收信號的無人機的定位模型.

2、某位置略有偏差的無人機接收到編號為FY00和FY01的無人機發(fā)射的信號, 另接收到編隊中若干編號位置的無人機發(fā)射的信號.若發(fā)射的無人機位置無偏差, 除FY00和FY01外, 還需要幾架無人機發(fā)射信號, 才能實現(xiàn)無人機的有效定位?

3、按編隊要求, 1架無人機位于圓心, 另外9架無人機均勻分布在半徑為100m的圓周上.當(dāng)初始時刻無人機的位置略有偏差時, 每次選擇編號為FY00的無人機和圓周上最多3架無人機遂行發(fā)射信號, 其余無人機接收通過多次調(diào)整, 最終使9架無人機均勻分布在某個圓周上.其中無人機的初始位置如題所示.

問題二：當(dāng)無人即集群使其他編隊隊形, 例如錐形編隊飛行, 其中直線上相鄰兩架無人機間距相等.設(shè)計純方位無源定位情形下, 無人機的位置調(diào)整方案.

?文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-520001.html

二、問題分析

2.1 問題一思路分析

對本文提出的有關(guān)無人機定位問題，我們逐一做如下分析：

問題一主要圍繞十架無人機形成圓形編隊且保持同一高度飛行時, 通過若干無人機發(fā)射的信號實現(xiàn)純方位無源定位的問題, 那么此時只需要考慮平面上的圓周問題就可以了.根據(jù)問題一的假設(shè), 剩下的九架飛機盡量均勻分布在圓周上, 對于位置準確的無人機, 其位置僅與無人機的編號有關(guān), 而對于位置略有偏差的無人機, 他們距離圓心無人機的距離以及角度都是暫時不知道的. 我們需要對下述三種情況進行分析：

1. 當(dāng)位于圓心無人機（FY00）和編隊中已知編號且位置無偏差的兩架無人機發(fā)射信號, 建立被動接收信號無人機的定位模型. 對該問題, 我們有兩種想法進行求解, 一種是建立極坐標, 根據(jù)已知的方向信息, 按照被動無人機是否在已知無人機位置中間的情況劃分, 利用平面上三角形的正弦定理, 聯(lián)立方程, 得到最終的結(jié)果；另一種是利用三角測量定位法, 通過求解一個最小二乘問題求得無人機的位置.
2. 與上一問相比, 該問題中我們無法得知除FY00和FY01外其余發(fā)射信號的無人機的編號, 無法直接利用三角測量定位法進行求解. 因此使用交叉定位方法進行求解, 我們逐一增加位置略有偏移的發(fā)射無人機的數(shù)目, 直到可以確定無人機的位置.
3. 第三小問需要對初始時刻位置存在偏差的無人機的位置進行調(diào)整.由前兩問已知實現(xiàn)無人機的有效定位, 至少需要圓周上兩架無人機發(fā)送信號.由于發(fā)送信號的無人機位置存在偏差, 因此我們可以利用貪婪策略使得無人機每次進行位置調(diào)整的誤差最小.

2.2 問題二的思路分析

問題二是一個動態(tài)規(guī)劃問題.與問題一不同的是, 問題二的無人機一定在同一高度飛行, 因此, 我們需要利用動態(tài)規(guī)劃模型, 尋找使得無人機在調(diào)整過程中偏差盡可能小的方案.

三、模型假設(shè)

????針對本文提出的問題，我們做了如下模型假設(shè)：

假設(shè)1：題目中的無人機略有偏差時, 還大體在理想位置, 不存在偏離超

過XX范圍的無人機；

假設(shè)2：假設(shè)每架無人機標號都是固定的, 且明確知道哪些無人機發(fā)射信號；

四、符號說明

????本文常用符號見下表, 其它符號見文中說明

五、模型的建立與求解

5.1 問題一的建模與求解

5.1.1 使用極坐標求解具體位置

假設(shè)圓周的半徑為, 以無人機FY00為極點, 以FY00為端點且經(jīng)過FY01的射線為極軸建立極坐標系.不失一般性, 假設(shè)在圓周上的其中一架發(fā)射信號無人機為FY01, 轉(zhuǎn)化為極坐標后, 其對應(yīng)的極坐標為 ). 由于發(fā)射信號的無人機都是位置準確的, 所以另一架發(fā)射信號無人機的位置是根據(jù)編號固定的, 編號為FY0K, 由于理想狀態(tài)下, 所有無人機均勻分布在圓周上, 則其對應(yīng)的坐標為 , 其中

接著, 假設(shè)接受信號的無人機ρ的極坐標位置為（x,θ）, 由于剩下無人機的位置略有偏差, 所以兩個參數(shù)都需要進行確定. 接著, 我們?nèi)ゼ僭O(shè)它與三架發(fā)射信號的無人機的夾角. 假設(shè)ρ與FY00、FY01之間的夾角為α1, 與FY00、FY0K之間的夾角為α2, 與FY01、FY0K之間的夾角為α3.接下來需要通過已知信息來確定出相應(yīng)接收信號無人機的極坐標（x,θ）.

我們將略有偏差的無人機與確定的無人機位置相連, 利用正弦定理, 通過聯(lián)立方程組來解得極坐標 （x,θ）. 下面由于牽扯到角度, 還需要對K的不同值進行分類討論：

（情況i）當(dāng)K=2時, 兩個外圍確定的無人機之間沒有其他無人機：分布情況可視化如下圖5.1所示：

圖5.1 兩個外圍確定的無人機之間沒有其他無人機分布圖

由上圖5.1可知：若α1≤α2，(綠色所示位置), 我們考察FY00、FY01、FY0K構(gòu)成的三角形與FY00、FY02、FY0K構(gòu)成的三角形, 根據(jù)正弦定理可得：

?解得：

?根據(jù)圖5.1可知：若α1>α2，(藍色所示位置), 我們考察FY00、FY01、FY0K構(gòu)成的三角形與FY00、FY02、FY0K構(gòu)成的三角形, 根據(jù)正弦定理可得：

?解得：

?情況ii）當(dāng)K=3,4,5時, 我們需要根據(jù)α3的大小判斷有偏差的無人機是否夾在兩個確定位置的無人機中間：分布情況可視化分析如圖5.2所示

圖5.2?情況ii無人機分布情況可視化分析?

?圖5.2中：若α3<π/2 且 α2=α3+α1此時無人機并不處于兩架飛機之間, 和上一種情況一致, 列出方程為:

?（其他兩種略過）

情況iii）當(dāng)5<k≤9時, 情況與11-K(1<K5)時相對應(yīng), 只需將1<k≤5時方程中的用替換即可.

5.1.2 三角測量定位法求解具體位置

在第1小問中，根據(jù)已知信息，我們可以利用基于角度的測量方法三角測量定位法求出無人機的定位。三角定位原理主要根據(jù)一個測量目標點以及兩個已知坐標的參考點可形成一個三角形，借助三角形中參考邊的長度，測量兩參考點與目標點形成的角度，即可找到目標點的距離及坐標。

根據(jù)題設(shè)，選定已知三個發(fā)射信號的無人機坐標分別為：FY00（0,0），F(xiàn)Y01（R，0），F(xiàn)Y0K（cosθ，Rsinθ），其中K≠0,1，在本問中θ=Kα。則其三角定位模型如下圖5.3所示：

?圖5.3?無人機分布三角定位模型

篇幅公式過多，這里就不再一一贅述，可以看文末。

5.1.4 第三問模型建立與求解

該問題要求我們在無人機位置有偏差時，根據(jù)無人機接收到的位置信息通過多次調(diào)整，使得除編號為0的無人機外，另外9架無人機最終均勻分布在某個圓周上。由于圓周的半徑不需要取一個固定值，通過已知無人機的極坐標信息，由編號為：2，5，8的無人機確定一個以98為半徑，為圓心的圓周。再將其余編號無人機調(diào)整到該圓周上，并使其均勻分布即可實現(xiàn)題目中無人機位置要求。具體實現(xiàn)策略如下：

由編號為：2，5，8的無人機確定一個以98為半徑，（0,0）為圓心的圓周，模型可視化如下圖5.3所示

?

圖5.3 2，5，8的無人機組成的圓模型

1. 將編號為：3，4，6，7，9的無人機調(diào)整到以98為半徑，（0,0）為圓心的圓周上。

圖5.4 3，4，6，7，9的無人機組成的圓模型

以編號為6的無人機為例，由于編號2，5的無人機均在圓周上，將編號為6的無人機與圓心連線與圓周的交點設(shè)為6’。當(dāng)6’在圓周上時，∠26’5的大小不變且可求出。當(dāng)調(diào)整編號為6的無人機位置至∠26’5與相等時，∠26’5可判斷出編號為6的無人機位于圓周上。通過上述方法可將編號3，4，7，9的無人機調(diào)整到圓周上。

令圓周上的所有無人機均勻分布，可視化分析如下圖5.5所示：

?

圖5.5 圓周上的所有無人機均勻分布

以上圖為例，當(dāng)無人機6在移動時，我們規(guī)定∠562保持不變，則可保證無人機6始終在圓周上。在圓周上移動無人機6，當(dāng)∠560為70°時，此時無人機6即位于目標位置。同理可將其余無人機移動至目標位置。其余無人機均可由類似方法進行調(diào)整，從而使無人機在圓周上均勻分布。

5.2問題二的模型建立與求解

5.2.1 問題分析

由于問題二中無人機不一定保持同一高度飛行，因此在建立模型時，我們盡可能選擇相鄰三個無人機發(fā)射信號，通過測量其邊長與50m的差距，來衡量無人機位置的偏差。因此，針對上述問題可以采用動態(tài)規(guī)劃模型進行求解。

5.2.2模型的建立與求解

在問題二中無人機初始時刻坐標未知，當(dāng)其編隊隊形為錐形時，仍利用無源定位的位置信息對隊形進行調(diào)整。在該問題中，由于初始位置未知，我們無法直接通過無源定位的未知信息測量出每個無人機的位置。因此，需要通過相鄰無人機之間距離以及角度來衡量無人機的位置偏差以及編隊中存在的對稱關(guān)系，對無人機的位置進行調(diào)整。我們可以通過貪婪策略，每次盡可能少的選擇發(fā)射信號的無人機個數(shù)對其余無人機位置進行調(diào)整。

????具體調(diào)整方案如下：

1）.選擇發(fā)射信號無人機為：FY02, FY03，

后面的找時間再更新，具體的可以看下方名片

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到了這里，關(guān)于2022數(shù)學(xué)建模國賽B題思路分析的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！