一、級(jí)數(shù)

• 級(jí)數(shù)是表示函數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具，特別是可以利用收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)逼近一些無(wú)理數(shù)，使它們的求值變得更方便。

1. 級(jí)數(shù)符號(hào)求和

• 前面曾討論過(guò)有限級(jí)數(shù)求和的函數(shù) sum，sum 處理的級(jí)數(shù)是以一個(gè)向量形式表示的，并且只能是有窮級(jí)數(shù)，對(duì)于無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，sum 是無(wú)能為力的。
• 求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和需要符號(hào)表達(dá)式求和函數(shù) symsum，其調(diào)用格式如下：

	symsum(s,v,n,m)

• 其中，$s$ 表示一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，是一個(gè)符號(hào)表達(dá)式。$v$ 是求和變量，$v$ 省略時(shí)使用系統(tǒng)的默認(rèn)變量。$n$ 和 $m$ 是求和的開(kāi)始項(xiàng)和末項(xiàng)。
• 例如，我們求下列定積分。
• （1） $s_1=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+?+\frac{1}{n^2}+?$
• （2） $s_2=1?\frac{1}{2}+\frac{1}{3}?\frac{1}{4}+?+(?1{)}^{n+1}\frac{1}{n}+?$
• （3） $s_3=x+2x^2+3x^3+?+n{x}^n+?$
• （4） $s_4=1+4+9+16+?+10000$
• 程序如下：

>> n=sym('n');
>> x=sym('x');
>> s1=symsum(1/n^2,n,1,inf)            	%求s1
 
s1 =
 
pi^2/6
 
>> s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf)    	%求s2。未指定求和變量，默認(rèn)為n
 
s2 =
 
log(2)
 
>> s3=symsum (n*x^n,n,1,inf)           	%求s3。此處的求和變量n不能省略   
 
s3 =
 
piecewise(abs(x) < 1, x/(x - 1)^2)
 
>> s4=symsum(n^2,1,100)              	%求s4。計(jì)算有限級(jí)數(shù)的和
 
s4 =
 
338350
 

• 其中，s3 的結(jié)果表示 $\left|x\right|<1$ 時(shí)，級(jí)數(shù)和 s3$=\frac{x}{(x?1{)}^2}$。

2. 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)

• 泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)將一個(gè)任意函數(shù)表示為一個(gè)冪級(jí)數(shù)，并且，在許多情況下，只需要取冪級(jí)數(shù)的前有限項(xiàng)來(lái)表示該函數(shù)，這對(duì)于大多數(shù)工程應(yīng)用問(wèn)題來(lái)說(shuō)，精度已經(jīng)足夠。
• MATLAB 提供了 taylor 函數(shù)將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，其調(diào)用格式如下：

	taylor (f,v,a)
	taylor (f, v,a, Name, Value)

• 該函數(shù)將函數(shù) $f$ 按變量 $v$ 展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù) $v$ 的默認(rèn)值與 symvar 函數(shù)指示的默認(rèn)變量相同。參數(shù) $a$ 指定將函數(shù) $f$ 在自變量 $v=a$ 處展開(kāi)，$a$ 的默認(rèn)值是 0。
• 第二種格式用于運(yùn)算時(shí)設(shè)置相關(guān)選項(xiàng)，Name 和 Value 成對(duì)使用，Name 為選項(xiàng)，Value 為 Name 的值。Name 有以下 3 個(gè)可取字符串。
• （1） 'ExpansionPoint'：指定展開(kāi)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)值為標(biāo)量或向量。未設(shè)置時(shí)，展開(kāi)點(diǎn)為 0。
• （2） 'Order'：指定截?cái)嚯A，對(duì)應(yīng)值為一個(gè) 正整數(shù)。未設(shè)置時(shí)，截?cái)嚯A為 6，即展開(kāi)式的最高階為 5。
• （3） 'OrderMode'：指定展開(kāi)式采用絕對(duì)階或相對(duì)階，對(duì)應(yīng)值為 ‘Absolute’（絕對(duì)階）或 ‘Relative’（相對(duì)階）。未設(shè)置時(shí)取 ‘Absolute’。
• 例如，我們求函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式。
• （1） 求 $\sqrt{1?2x+x^3}?\sqrt[3]{1?3x+x^2}$ 的 5 階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式。
• （2） 將 $\sqrt{1?2x+x^3}?\sqrt[3]{1?3x+x^2}$ 在 $x=1$ 處按 5 次多項(xiàng)式展開(kāi)。
• 程序如下：

>> x=sym('x');
>> f1=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3);
>> f2=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);
>> taylor(f1)					%求（1）
 
ans =
 
(239*x^5)/72 + (119*x^4)/72 + x^3 + x^2/6
 
>> taylor(f2,x,1,'Order',6)		%求（2）。展開(kāi)到x-1的5次冪時(shí)應(yīng)選擇x=6
 
ans =
 
2*(x - 1)^3 - 2*(x - 1)^2 - 2*(x - 1)^5 + 3
 

二、方程符號(hào)求解

• 除了常規(guī)的代數(shù)方程以及常微分方程數(shù)值求解的方法，MATLAB 還提供了 solve 和 dsolve 函數(shù)，可以用符號(hào)運(yùn)算求解代數(shù)方程和常微分方程。

1. 代數(shù)方程符號(hào)求解

• 代數(shù)方程是指未涉及微積分運(yùn)算的方程，相對(duì)比較簡(jiǎn)單。在 MATLAB 中，求解符號(hào)表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函數(shù) solve 實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式如下：
• ① solve(s)：求解符號(hào)表達(dá)式 $s$ 的代數(shù)方程，求解變量為默認(rèn)變量。
• ② solve(s,v)：求解符號(hào)表達(dá)式 $s$ 的代數(shù)方程，求解變量為 $v$。
• ③ solve(s1,s2,...,sn],[v1,v2,...,vn])：求解符號(hào)表達(dá)式 $s_1,s_2,\dots ,s_n$ 組成的代數(shù)方程組，求解變量分別為 $v_1,v_2,\dots ,v_n$。
• 例如，我們求解下列方程。
• （1） $\frac{1}{x+2}+\frac{4x}{x^2?4}=1+\frac{2}{x?2}$
• （2） $x?\sqrt[3]{x^3?4x?7}=1$
• （3） $2\sin (3x?\frac{\pi }{4})=1$
• （4） $x+x{e}^x?10=0$
• 程序如下：

>> syms x
>> f=1/(x+2)+4*x/(x^2-4)==1+2/(x-2)				%定義（1）中函數(shù)
 
f =
 
1/(x + 2) + (4*x)/(x^2 - 4) == 2/(x - 2) + 1
 
>> x=solve(f)									%解方程（1）
 
x =
 
1
 
>> syms x
>> f=x-(x^3-4*x-7)^(1/3)==1						%定義（2）中方程
 
f =
 
x - (x^3 - 4*x - 7)^(1/3) == 1

>> x=solve(f)									%解方程（2）
 
x =
 
3
 
>> syms x
>> f=2*sin(3*x-pi/4)==1							%定義（3）中方程

f =
 
2*sin(3*x - pi/4) == 1
 
>> x=solve(f)									%解方程（3）
 
x =
 
 (5*pi)/36
(13*pi)/36
 
>> syms x
>> f=x+x*exp(x)-10								%定義（4）中方程
 
f =
 
x + x*exp(x) - 10
 
>> x=solve(f,x)									%解方程（4）。僅標(biāo)出方程的左端
 
x =
 
1.6335061701558463841931651789789
 

• 例如，我們求解下列方程。
• （1） $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=28\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x}=4\end{array}$
• （2） $\{\begin{array}{c}x+y=98\\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=2\end{array}$
• （3） $\{\begin{array}{c}{u}^3+v^3=98\\ u+v=2\end{array}$
• （4） $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=5\\ 2x^2?3xy?2y^2=0\end{array}$
• 程序如下：

>> syms x y
>> f1=1/x^3+1/y^3==28	%定義（1）中方程
 
f1 =
 
1/x^3 + 1/y^3 == 28
 
>> f2=1/x+1/y==4	%定義（1）中方程
 
f2 =
 
1/x + 1/y == 4
 
>> [x,y]=solve([f1,f2],[x,y])	%解方程組（1）
 
x =
 
  1
1/3
 
 
y =
 
1/3
  1
 
>> syms x y
>> f1=x+y==98	%定義（2）中方程
 
f1 =
 
x + y == 98
 
>> f2=x^(1/3)+y^(1/3)==2	%定義（2）中方程
 
f2 =
 
x^(1/3) + y^(1/3) == 2
 
>> [x,y]=solve([f1,f2],[x,y])	%解方程組（2）
 
x =
 
Empty sym: 0-by-1
 
 
y =
 
Empty sym: 0-by-1

• 對(duì)方程組 （2），MATLAB 給出了無(wú)解的結(jié)論，顯然錯(cuò)誤，請(qǐng)看完全與其同構(gòu)的方程組（3）。輸入程序如下：

>> syms u v
>> f1=u^3+v^3==98	%定義（3）中方程
 
f1 =
 
u^3 + v^3 == 98
 
>> f2=u+v==2	%定義（3）中方程
 
f2 =
 
u + v == 2
 
>> [u,v]=solve([f1,f2],[u,v])	%解方程組（3）
 
u =
 
 5
-3
 
 
v =
 
-3
 5
 
>> syms x y
>> f1=x^2+y^2==5	%定義（4）中方程
 
f1 =
 
x^2 + y^2 == 5
 
>> f2=2*x^2-3*x*y-2*y^2==0	%定義（4）中方程
 
f2 =
 
2*x^2 - 3*x*y - 2*y^2 == 0
 
>> [x,y]=solve([f1,f2],[x,y])	%解方程組（4）
 
x =
 
 1
-2
 2
-1
 
 
y =
 
-2
-1
 1
 2
 

• 在應(yīng)用 MATLAB 求解方程組時(shí)，應(yīng)充分發(fā)揮其功能。當(dāng) MATLAB 給出無(wú)解或未找到所期望的解時(shí)，不要認(rèn)為原方程組就真正無(wú)解了，還需要用其他方法試探著求解。
• 如果知道方程組在某點(diǎn)附近有解，不妨用方程組的數(shù)值求解函數(shù) fsolve 試探求解，一般能找到所期望的解。

2. 常微分方程符號(hào)求解

• 在 MATLAB 中，用大寫(xiě)字母 D 表示導(dǎo)數(shù)。例如，Dy 表示 $y^{\prime }$，D2y 表示 $y"$，Dy(0)=5 表示 $y^{\prime }(0)=5$。D3y+D2y+Dy -x+5=0 表示微分方程 $y"+y"+y^{\prime }x+5=0$。
• 符號(hào)常微分方程求解可以通過(guò)函數(shù) dsolve 來(lái)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式如下：

	dsolve(e,c,v)

• 該函數(shù)求解常微分方程 $e$ 在初值條件 $c$ 下的特解。參數(shù) $v$ 描述方程中的自變量，省略時(shí)按默認(rèn)原則處理，若沒(méi)有給出初值條件 $c$，則求方程的通解。
• dsolve 函數(shù)在求常微分方程組時(shí)的調(diào)用格式如下：

	dsolve(e1,e2,…,en,c1,…,cn,v)

• 該函數(shù)求解常微分方程組 e1,…,en 在初值條件 c1,…,cn 下的特解，若不給出初值條件，則求方程組的通解。$v$ 給出求解變量，如果沒(méi)有指定自變量，則采用默認(rèn)自變量 $t$。
• 例如，我們求下列定積分。
• （1） 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x^2+y^2}{2x^2}$ 的通解。
• （2） 求 $x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2xy=e^x$ 的通解。
• （3） 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x^2}{1+y^2}$ 的特解，$y(2)=1$。
• （4） 求 $\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4x?2y\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x?y\end{array}$ 的通解。
• 程序如下：

>> y=dsolve('Dy-(x^2+y^2)/x^2/2','x')		%解（1）。方程的右端為0時(shí)可以不寫(xiě)
 
y =
 
-x*(1/(C1 + log(x)/2) - 1)
                         x
 
>> y=dsolve('Dy*x^2+2*x*y-exp(x)','x')		%解（2）

y =
 
-(C1 - exp(x))/x^2
 
>> y=dsolve('Dy-x^2/(1+y^2)','y(2)=1','x')	%解（3）
 
y =
 
(((x^3/2 - 2)^2 + 1)^(1/2) + x^3/2 - 2)^(1/3) - 1/(((x^3/2 - 2)^2 + 1)^(1/2) + x^3/2 - 2)^(1/3)
 
>> [x,y]=dsolve('Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y','t')	%解方程組（4）
  
x =
 
C1/2 + 2*C2*exp(3*t)
  
y =
 
C1 + C2*exp(3*t)
 

• 在 MATLAB 中，dsolve 函數(shù)一律使用顯式方式表示結(jié)果，有時(shí)解的表達(dá)式很冗長(zhǎng)。必要時(shí)可作化簡(jiǎn)處理。

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