牛頓-萊布尼茨公式
牛頓-萊布尼茨公式在微分與積分以及不定積分與定積分之間架起了一座橋梁，因此，這個公式又被稱為微積分基本公式。
微積分基本公式的簡單推導(dǎo)
在看微積分基本公式之前，我們先來看一個有點(diǎn)特殊的函數(shù)，積分上限函數(shù)
ψ
（
x
）
=
∫
x
a
f
(
t
)
d
t
\psi （x） =\int_{x}^{a}f(t)dt
ψ（x）=∫xa?f(t)dt
這個函數(shù)利用其自變量移動定積分的上限，因此，它的函數(shù)值就是函數(shù) f(x)在區(qū)間[a,x] 上的定積分。
最終整理一下，我們可以得到這樣一個公式：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
?
F
(
a
)
\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)
∫ab?f(x)dx=F(b)?F(a)
這就是著名的牛頓-萊布尼茨公式，也就是微積分基本公式了。
微積分基本公式的使用
求
∫
0
1
e
x
d
x
\int_{0}^{1}e^xdx
∫01?exdx
解：這道題在上一篇文章“用定義法求不定積分”中就出現(xiàn)了，文章中用定義法求定積分可以說是相當(dāng)麻煩了。而現(xiàn)在我們有了微積分基本公式，會發(fā)現(xiàn)這道題變得非常簡單。
微積分基本公式使用的條件
這一公式使用的條件很簡單，只要求被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)。
一旦積分區(qū)間不連續(xù)，或者是積分限出現(xiàn)了無窮大，那么這個定積分就變成了反常積分，關(guān)于反常積分，我也會單獨(dú)寫一篇文章。
用定義法求解定積分
用定義法來求定積分是一件比較麻煩的事，以后我們也不會用定義法求定積分。但是我們可以通過用定義法求定積分來提高我們對微積分的認(rèn)識。
比如求積分：求
∫
0
1
e
x
d
x
\int_{0}^{1}e^xdx
∫01?exdx
解：這個定積分的含義就是在 [0,1] 這個區(qū)間上， 曲線
y
=
e
x
y=e^x
y=ex 與 x 軸圍成的圖形的面積。但這個面積并非常見的幾何圖形，因此我們并不好直接求解。
注意到，如果我們從積分區(qū)間中任取一段區(qū)間，這段區(qū)間上的函數(shù)圖像與x軸圍成的圖像有點(diǎn)像是梯形，如果真的能把它看成梯形的話，那就好辦多了。剛好，之前學(xué)微分的時(shí)候?qū)W過，在一個足夠小的區(qū)間里，可以用一段直線來代替曲線。
而在足夠小的距離內(nèi)，一小段斜線與一小段水平線沒有什么區(qū)別。因?yàn)檫B續(xù)的函數(shù)總能找到一個足夠小的自變量變化量使得函數(shù)值的變化量足夠小。于是，我們的任務(wù)就變成了求一連串矩形的面積之和。
下面我們用數(shù)學(xué)語言來描述這個過程。
首先，我們要把 [0,1] 這個區(qū)間等分成n份。
容易求得，這個式子的值為 e-1 .這也就是這個定積分的結(jié)果了。
這還僅僅是一個簡單函數(shù)的積分，過程就如此復(fù)雜了，如果是復(fù)雜一點(diǎn)的函數(shù)，可以想象過程有多么復(fù)雜。
至此，我們可以總結(jié)出用定義法求定積分的基本步驟：
-
細(xì)分積分區(qū)間，為了簡便，一般選擇等分；
-
計(jì)算各區(qū)間對應(yīng)的矩形面積；
-
求和；文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-472413.html
-
取極限，即無限分割。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-472413.html
到了這里，關(guān)于考研數(shù)二第十四講 牛頓-萊布尼茨公式與用定義法求解定積分的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
