目錄
線性分組碼：
非線性碼示例：
線性碼示例:
許用碼字間的距離－－碼距：
碼距與碼的檢錯糾錯能力之間的關系：
線性分組碼的基本性質(zhì)：
線性分組碼的最小碼距與最小碼重的關系：
線性分組碼的生成矩陣與監(jiān)督矩陣：
生成矩陣：
系統(tǒng)碼的生成矩陣：
監(jiān)督矩陣：
方程的矩陣形式：
定義監(jiān)督矩陣為：
生成矩陣與監(jiān)督矩陣的有關性質(zhì)：
錯誤圖樣：描述錯誤及位置的一個矢量：
伴隨式(校正子)：
線性分組碼的標準陣、陪集首和陪集：
漢明碼:
系統(tǒng)碼結(jié)構(gòu)的漢明碼的構(gòu)建:
擴展?jié)h明碼：
線性分組碼的糾錯能力分析:
線性分組碼：
非線性碼示例：
線性碼示例：
許用碼字間的距離－－碼距：
碼距與碼的檢錯糾錯能力之間的關系：
碼字間的最小距離：最小碼距定義為：
線性分組碼的基本性質(zhì)：
性質(zhì)1 若要線性分組碼能夠檢測出任一碼字中的小于等于? 位的誤碼，則應滿足 
性質(zhì)2 若要線性分組碼能夠檢出并糾正任一碼字中的小于等于? 位的誤碼，則應滿足
性質(zhì)3 若要線性分組碼能夠檢出任一碼字中的e ?位誤碼，同時能夠糾正其中 ?t? 位的誤碼，則應滿足 ：
線性分組碼的最小碼距與最小碼重的關系：
線性分組碼每個碼字中“1”的碼元的個數(shù)定義為該碼字的重量，簡稱為碼重；碼字集中碼重最小的碼字的重量定義為最小碼重。
線性分組碼的最小碼距等于其非零碼字的最小碼重。
線性分組碼的生成矩陣與監(jiān)督矩陣：
差錯控制編碼一般可表示為：
特別地，對線性分組碼
表示為矩陣形式
生成矩陣：
生成矩陣定義為：
系統(tǒng)碼的生成矩陣：
系統(tǒng)碼的特點：
系統(tǒng)碼的編碼輸出結(jié)構(gòu)：
監(jiān)督矩陣：
在線性分組碼的碼生成方程組中的監(jiān)督位為
因為
可得
方程的矩陣形式：
定義監(jiān)督矩陣為：
監(jiān)督矩陣確定了碼字沒有錯誤的必要條件
生成矩陣與監(jiān)督矩陣的有關性質(zhì)：
系統(tǒng)碼結(jié)構(gòu)的生成矩陣與監(jiān)督矩陣結(jié)構(gòu)
（1）生成矩陣G中的每一行都是一個許用碼字；
（2）生成矩陣G的秩等于k，生成矩陣中的個獨立的行向量碼字構(gòu)成碼字子空間的一組基；
（3）生成矩陣G和監(jiān)督矩陣H滿足如下的關系
錯誤圖樣：描述錯誤及位置的一個矢量：
對于定義在二元域上的碼字，知道了錯誤的位置等效于知道了錯誤。
伴隨式(校正子)：
1位誤碼與伴隨式之間的關系，1位誤碼的所有圖樣：
糾錯能力分析：
a、假定只出現(xiàn)1位誤碼，若收到碼字
??? 計算伴隨式：
查表可知該伴隨式對應錯誤圖樣
糾錯
獲得正確的碼字
b、假定出現(xiàn)2位誤碼，例如收到碼字
該碼字由許用碼字
出現(xiàn)2位誤碼得到。
計算伴隨式
查表可知該伴隨式對應錯誤圖樣
糾錯操作
并不能獲得正確的碼字
出現(xiàn)2位誤碼時伴隨式的計算結(jié)果可分解為
與出現(xiàn)錯誤圖樣
所得的伴隨式相同
應為該伴隨式已經(jīng)用于對應1位誤碼
的錯誤圖樣，因而不能糾正該2位誤碼
兩位誤碼已經(jīng)超出了該分組碼的糾錯能力范圍。
線性分組碼的標準陣、陪集首和陪集：
所有可正確譯碼的接收碼字可用如下的矩陣表示：
該矩陣稱為線性分組碼（n,k）的標準陣。標準陣中第一列的每個元素稱為一個陪集首,? 標準陣的每一行為該行陪集首所對應的陪集 。
?綜上，對于標準陣中的陪集首，有特定的伴隨式與其對應
一般地，記接收碼字為
示例：分析生成矩陣如下的(6,3)線性分組碼的標準陣等特性
由生成矩陣可得許用碼字集為
?確定可糾錯的誤碼圖樣
?可糾正的錯誤圖樣的選擇：? (1)具有不同伴隨式的圖樣；? (2)通常正常工作的通信系統(tǒng)誤碼出現(xiàn)少的概率較大，選擇可糾正的錯誤圖樣通常從1比特的錯誤圖樣開始。
標準陣
?
錯誤圖樣與伴隨式的關系
漢明碼:
如果線性分組碼(n,k)滿足碼字長度
，信息位 
的參數(shù)條件，則稱這種碼為漢明碼。
漢明碼的編碼效率
?
所以當碼字足夠長時，漢明碼是一種高效碼。
漢明碼的糾錯能力分析:
漢明碼碼字長度:
信息位長度:
監(jiān)督位長度:
伴隨式個數(shù)?:
其中全零的伴隨式用于對應無誤碼的狀態(tài)
其余的
個伴隨式可分別對應
種錯誤圖樣。
因為合理的通信系統(tǒng)設計應使得一個碼字中誤碼位數(shù)少的概率大于誤碼位數(shù)大的概率。
因此伴隨式應用于對應誤碼位數(shù)少的錯誤圖樣。
漢明碼長度為
。漢明碼的非零伴隨式全部用于對應1位誤碼，所以漢明碼能糾正所有的1位誤碼。
系統(tǒng)碼結(jié)構(gòu)的漢明碼的構(gòu)建:
監(jiān)督矩陣共有n列，其中第i列對應碼字第i位錯誤圖樣的伴隨式，系統(tǒng)碼結(jié)構(gòu)的監(jiān)督矩陣右側(cè)的子陣必須是一個單位陣。
監(jiān)督矩陣的n個不同組合的列除了構(gòu)成單位陣的n-k列外，其余的k列可任意的排列。 確定監(jiān)督矩陣之后，可得生成矩陣如下
示例：設計一個
的漢明碼
構(gòu)建監(jiān)督矩陣
由此可得
?
可得生成矩陣：
擴展?jié)h明碼：
已知普通漢明碼可糾正所有1位誤碼，所以最小碼距
?當同時出現(xiàn)第 i 位和第 j 兩位不同的誤碼時，有
因為Sk已經(jīng)用于對應第 k 位誤碼的伴隨式，因此該伴隨式用于糾錯時將產(chǎn)生錯誤。即兩位或兩位以上誤碼無法發(fā)現(xiàn)，因此
?
綜合上面有關最小碼距的關系式，且碼距必須為整數(shù)，因此
擴展?jié)h明碼可通過增加1位編碼的監(jiān)督位長度，使得該碼可以糾正任意的1位錯誤，同時發(fā)現(xiàn)任意的2位錯誤。
擴展?jié)h明碼的監(jiān)督矩陣
其中
是原來普通漢明碼的監(jiān)督矩陣。
當出現(xiàn)任意的1位，如第 j 位誤碼時
伴隨式等于監(jiān)督矩陣的第 j 列，可發(fā)現(xiàn)出錯并可糾正。
若第 i 和 j 位同時出錯，伴隨式
其中的最后1位為零。由此可判斷出現(xiàn)了2位錯誤。擴展?jié)h明碼通過增加1位監(jiān)督為，使得碼字間的最小距離
線性分組碼的糾錯能力分析:
漢明界：漢明界確定了一個參數(shù)為(n,k)的線性分組碼可能獲得的最大糾錯能力。有關漢明界有如下的定理：
線性分組碼(n,k)能夠糾正碼字中任意的小于等于? 位誤碼的圖樣數(shù)小于
。
若能夠糾正 t? 個及以下的全部錯誤的線性分組碼滿足條件
則稱這種線性分組碼為完備碼。 漢明碼是一種完備碼。
普洛特金界：普洛特金界確定了線性分組碼(n,k)差錯控制能力的上限。
線性分組碼(n,k)的最小碼距dmin小于由下式確定的所謂的普洛特金界
文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-465610.html
文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-465610.html
到了這里，關于信息論復習—線性分組碼的基本性質(zhì)的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
