昨天簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)了一下離散時(shí)間信號(hào)是什么以及系統(tǒng)的概念、系統(tǒng)要做的工作和系統(tǒng)中幾個(gè)簡(jiǎn)單的原件，今天跟著昨天的內(nèi)容繼續(xù)學(xué)習(xí)。

一、離散時(shí)間系統(tǒng)的分類：

為什么要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類呢，這就像是我們對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類一樣，有些函數(shù)有的性質(zhì)其他函數(shù)沒有，相同的，也可能后者有著前者沒有的性質(zhì)，所以，我們要對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類，同理，系統(tǒng)也一樣，一個(gè)系統(tǒng)如果有特定的性質(zhì)，那么這個(gè)性質(zhì)是對(duì)所有的輸入信號(hào)都必須滿足，如果說，這個(gè)性質(zhì)只對(duì)某些輸入信號(hào)滿足，那他就不具有這個(gè)性質(zhì)，所以，就有了一個(gè)常用的判斷一個(gè)系統(tǒng)是否具有某個(gè)性質(zhì)的方法：舉反例，如果舉得出來，那這個(gè)系統(tǒng)就沒有這個(gè)性質(zhì)。

其實(shí)，系統(tǒng)的分類方法很多，比如說有：

1、靜態(tài)-動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

2、時(shí)不變-時(shí)變系統(tǒng)

3、線性-非線性系統(tǒng)

4、因果-非因果系統(tǒng)

5、穩(wěn)定-不穩(wěn)定系統(tǒng)

其實(shí)，這些在字面意思上就已經(jīng)很清楚了，但是還是稍微的解釋一下：

1、靜態(tài)：在任意時(shí)刻n的輸出至多依賴于同一時(shí)刻的輸入樣布，和過去、將來的樣本無關(guān)，那就是靜態(tài)或者無記憶的，后面我們會(huì)有一種遞歸的概念，下一時(shí)刻和上一時(shí)刻是相關(guān)的，顯然，靜態(tài)系統(tǒng)沒有這個(gè)概念

2、動(dòng)態(tài)，那這就很好理解了，動(dòng)態(tài)就是系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出完全由區(qū)間n-N到n的輸入樣本決定，就是說他是有記憶的，那就是個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，而如果我們的N是無窮大，那就說系統(tǒng)是無限記憶。

顯然，N=0的情況就是靜態(tài)系統(tǒng)。

3、時(shí)不變、時(shí)變：這個(gè)更好理解了，系統(tǒng)的輸入輸出特性不隨著時(shí)間變化，那就是時(shí)不變，相反的，那就是時(shí)變系統(tǒng)，就這么理解，我們有個(gè)輸入信號(hào)x(n)，輸入到一個(gè)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出是y(n)，假設(shè)還有一個(gè)和x(n)相同的，但是是提前了k個(gè)單位的信號(hào)：x(n-k)，系統(tǒng)的輸出是y(n-k)，那么我們就可以比較，如果說，y(n-k)和y(n)的特性是相同的，那這個(gè)系統(tǒng)他就是時(shí)不變的，但如果這兩個(gè)的特性不一樣了，那這個(gè)系統(tǒng)就是時(shí)變的。

4、線性、非線性：

這兩個(gè)是很重要的一個(gè)分類方法，其他的分類方法在后面的學(xué)習(xí)中我看到的很少，或者說，幾乎沒有。

什么是線性呢，書上說的是滿足疊加性的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)，或者你就這么理解：有兩個(gè)輸入信號(hào)x1、x2和任意常數(shù)a，b，那么這兩個(gè)信號(hào)的疊加性就是這樣的：

相應(yīng)的，對(duì)于一個(gè)弛豫系統(tǒng)，如果說，零輸入?yún)s是非零輸出，那這個(gè)系統(tǒng)就是非線性系統(tǒng)。

5、因果、非因果：

其實(shí)這個(gè)系統(tǒng)他和靜態(tài)和動(dòng)態(tài)我感覺差不多，因果不就是依賴于當(dāng)前和過去的輸入么，那他和動(dòng)態(tài)就很像，同樣的，非因果它之和當(dāng)前輸入信號(hào)有關(guān)，和之前的輸入信號(hào)無關(guān)，這和靜態(tài)就很像。

6、穩(wěn)定、不穩(wěn)定：

當(dāng)然，誰都希望自己的程序是穩(wěn)定運(yùn)行的，不是三天兩頭的出毛病，穩(wěn)定也是這么個(gè)意思，就是系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理要非常穩(wěn)定。

這里我把書上對(duì)這兩種系統(tǒng)進(jìn)行一個(gè)解答：

一個(gè)任意的弛豫系統(tǒng)稱為有界輸入-有界輸出(BIBO)穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)，每個(gè)有界輸入會(huì)產(chǎn)生有限的輸出，這就相當(dāng)于區(qū)間極大值和極小值問題也就是說，輸入信號(hào)之后，系統(tǒng)輸出的信號(hào)值有上下界，那么這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，但如果我們輸出的是無界的信號(hào)，輸出也是無界的信號(hào)，那這個(gè)系統(tǒng)肯定就是不穩(wěn)定系統(tǒng)。

二、離散時(shí)間系統(tǒng)的相連接：

昨天的最后，我們展示了，加法器、、乘法器（常數(shù)、信號(hào)）、單位延遲元件、單位超前元件等，他們都有著各自的功能，但是，一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)往往需要多個(gè)元件組合而成，并不是說，我們用最簡(jiǎn)單的幾個(gè)元件就能夠?qū)崿F(xiàn)一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的功能，所以這就用到了復(fù)雜系統(tǒng)元件的相連接。其實(shí)這個(gè)沒啥好講的，得具體問題具體分析。

好了，把一些基礎(chǔ)性的東西講完了，現(xiàn)在我們來到了很重要的一部分：線性時(shí)不變系統(tǒng)(LTI)

一、線性系統(tǒng)的分析：

對(duì)于給定的信號(hào)，系統(tǒng)的輸出這么分析呢，主要有這么兩種辦法：

1、基于系統(tǒng)輸入輸出方法的直接求解，

2、輸入信號(hào)分解，分別處理后再將響應(yīng)相加。

LTI系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的一般形式是：

這個(gè)后面的差分方程求解中會(huì)用到。

第二種的話，就是我們把一個(gè)輸入信號(hào)x(n)給他分解成多個(gè)基本信號(hào)成分的加權(quán)和：

當(dāng)我們對(duì)每個(gè)信號(hào)用系統(tǒng)進(jìn)行處理之后，再加起來就成了輸入是x(n)的輸出。

有個(gè)很簡(jiǎn)單的方法，如果說，我們對(duì)輸入信號(hào)的特性并沒有做限制，那就把輸入信號(hào)分解成單位沖激序列的加權(quán)和，這樣是比較方便的。

那么，怎么樣才能把輸入信號(hào)分解成單位沖激序列的加權(quán)和呢，我們得先求解系統(tǒng)對(duì)單位采樣序列的響應(yīng)，然后用線性系統(tǒng)的特性來求解對(duì)于給定輸入信號(hào)的輸出公式：

那么我們對(duì)于一個(gè)輸入信號(hào)x(n)：

選取基本的信號(hào)：

其中，

這樣的話，將兩者相乘：，這樣我們就構(gòu)成了一個(gè)只在n=k處值為x(k)以外，其他值都是0的序列，同理的，我們就可以構(gòu)建多個(gè)只在特定位置（如n=k）處有值而其他位置均為0的序列，那么顯而易見，我們就通過這個(gè)方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)一個(gè)線性系統(tǒng)的劃分：

我用一個(gè)矩陣的形式來表示一下，就是，假設(shè)我們有個(gè)線性系統(tǒng)，輸入信號(hào)是,用上述方法給拆分成單位沖激響應(yīng)之后，就有了如下形式：

這其中，每一行都是一個(gè)進(jìn)行了加權(quán)的單位沖激序列，當(dāng)然，我這就是簡(jiǎn)單的一寫，書上有個(gè)更加好的例子，我給稍微改了一下：

有一個(gè)有限長(zhǎng)序列：

我們看到，在這個(gè)序列中，-2，-1，0，2，3這五個(gè)數(shù)值非零，也就是說，在-2，-1，0，1，3這五個(gè)時(shí)刻的值是非0的，所以，我們就需要在k=這5個(gè)時(shí)刻的沖激，最后得到的x(n)就是這樣子的：

其實(shí)我更喜歡上面那個(gè)用矩陣表示的，因?yàn)槲矣X得那個(gè)好看一些。

二、LTI對(duì)任意輸入的響應(yīng)的計(jì)算：

這里，，就要說到今日最重要的一個(gè)內(nèi)容：卷積和

我們用LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)x(n)和單位采樣沖激h(n)來給出LTI的響應(yīng):y(n):

說法就是輸入x(n)和沖激響應(yīng)h(n)的卷積產(chǎn)生輸出y(n)。

那么，卷積怎么計(jì)算呢？這才是今天的重點(diǎn)內(nèi)容，但是其實(shí)也簡(jiǎn)單，四個(gè)步驟：反轉(zhuǎn)、移位，乘積、求和，直接看圖最簡(jiǎn)單了：

?就用書上的例子吧：

,

讓我們來計(jì)算：

1、反轉(zhuǎn)：我們把h給反轉(zhuǎn)了：

?

2、移位、乘積：

n=0的時(shí)候，響應(yīng)序列：

依次計(jì)算n=-1,1,2,3,4,5的響應(yīng)序列：

3、求和：把上述的響應(yīng)序列全給加起來，我們就得到了LTI系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果。

后面還會(huì)學(xué)到一種和卷積很相似的運(yùn)算，但是兩者的意義是不一樣的，不能把兩者給搞混淆了。

其實(shí)，上次聽課的時(shí)候我就以及了解了卷積的一個(gè)知識(shí)，但是我還沒有學(xué)到那里，所以一直在糾結(jié)到底寫不寫他，但是，想了想，時(shí)頻現(xiàn)在都在用，寫寫無妨：時(shí)域的卷積是想加形式，頻率域的卷積是相乘形式，這兩者通過轉(zhuǎn)化，實(shí)際上是一樣的效果。我想簡(jiǎn)單的寫一下卷積，emm，試試看唄，能寫出來更好，寫不出來的話，numpy也提供了卷積操作np.convolve(x,h)直接用也行。

import numpy as np
x=np.array([1,2,1,-1])
#單位沖激響應(yīng)
h=np.array([1,2,3,1])
y=np.zeros(len(x)+len(h)-1,dtype=int)
for i in range(len(x)):
    for j in range(len(h)):
        y[i+j]+=x[i]*h[j]
print(y)
print(np.convolve(x,h))

結(jié)果是一樣的，這我就放心了。

然后，我找了個(gè)圖，我覺得這個(gè)對(duì)算法的講解比較好：

?其實(shí)，從這個(gè)算法看出來的就是，對(duì)h每次提前一個(gè)單位。

后面呢這個(gè)就可以更好的解釋了：

這兩個(gè)方法其實(shí)是等價(jià)的：

上面的圖和我的代碼就是用的第一種情況，在實(shí)際計(jì)算機(jī)中會(huì)方便很多，要是你用手算的話，那就1-4步老老實(shí)實(shí)的去計(jì)算。

好了，卷積的計(jì)算就說完了，但是卷積有哪些性質(zhì)呢？

1、恒等性、位移性：

當(dāng)我們采用單位采樣序列的時(shí)候，我們的卷積是這個(gè)樣子滴：

神奇吧，就相當(dāng)于提前了k個(gè)單位

2、交換律、結(jié)合律、分配：

和數(shù)學(xué)中的交換結(jié)合類似，就是符號(hào)變了變，之后，我們?cè)谑褂镁矸e的時(shí)候，通常用的是*：

交換：

結(jié)合：

分配：

從結(jié)合律可以得到一個(gè)很有意思的性質(zhì)：如果我們有L個(gè)沖激響應(yīng)為的線性時(shí)不變系統(tǒng)級(jí)聯(lián)在一起，那么就有一個(gè)等價(jià)的LTI系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)等于這些沖激響應(yīng)的L-1重卷積：

同樣的，我們也可以把這個(gè)性質(zhì)給反轉(zhuǎn)過來，一個(gè)LTI系統(tǒng)必然可以分解成為級(jí)聯(lián)的子系統(tǒng)。

相似的，從分配率中也可以得到的一個(gè)性質(zhì)：多個(gè)沖激響應(yīng)的組合可以成為一個(gè)大的沖激響應(yīng)，而一個(gè)大的沖激響應(yīng)是可以轉(zhuǎn)換成若干個(gè)小的沖激響應(yīng)的。

因果LTI系統(tǒng)：

之前我們就講解了因果系統(tǒng)，這是一個(gè)什么樣子的系統(tǒng)呢？同一片博客，應(yīng)該是有印象的，因果系統(tǒng)就是某一時(shí)刻的輸出依賴之前的輸出，時(shí)刻的輸出依賴的是時(shí)刻的信號(hào)。

emm，就用書上給的例子吧，我也想不出來啥好的自己舉例：

有這么一個(gè)LTI系統(tǒng)，我們知道其在時(shí)刻的輸出：

然后，我們把這個(gè)輸出轉(zhuǎn)換成兩組，一組包含當(dāng)前和過去的值，另一組則包含將來的值：

?好長(zhǎng)一堆是吧，但是仔細(xì)看，第一項(xiàng)其實(shí)是輸人信號(hào)的當(dāng)前和過去的值，第二項(xiàng)則是未來的值，怎么看的？延遲和提前。這就好理解多。

這樣的話，我們就發(fā)現(xiàn)，要讓上面的輸出成為只依靠當(dāng)前和過去，就讓，這樣子，這個(gè)輸出就滿足了因果關(guān)系，那么我們就由此得出因果LTI系統(tǒng)：要使一個(gè)LTI系統(tǒng)是因果的，其沖激響應(yīng)在n為負(fù)值時(shí)必須是0。

這就很簡(jiǎn)單的出現(xiàn)了倆個(gè)序列：

1、因果序列：n小于0時(shí)，所有值為0

2、非因果序列：n小于0和n大于0時(shí)的值不為0

先解釋一個(gè)詞：BIBO穩(wěn)定：BIBO穩(wěn)定是指一個(gè)系統(tǒng)在輸入和輸出都是有限的條件下，系統(tǒng)的輸出也是有限的，且系統(tǒng)的輸出在無窮遠(yuǎn)處不會(huì)無限增長(zhǎng)。簡(jiǎn)單來說，BIBO穩(wěn)定性是指系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)不會(huì)無限增長(zhǎng)或震蕩，而是在某個(gè)范圍內(nèi)有限制地變化。

保持系統(tǒng)穩(wěn)定的沖要條件：如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是絕對(duì)可加的，那么他是穩(wěn)定的。

在系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)候，系統(tǒng)輸入端的任何有限長(zhǎng)激勵(lì)，產(chǎn)生的輸出實(shí)際上是瞬時(shí)的，也就是其幅度隨著時(shí)間衰減并且直至最終消失。實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h來說，我們?yōu)榱讼到y(tǒng)的穩(wěn)定，當(dāng)n趨近于無限的時(shí)候，必須是按著指數(shù)衰減的方式衰減到0的。

今天的最后，我們?cè)俳榻B兩個(gè)系統(tǒng)，他們很簡(jiǎn)單，但是明天的復(fù)習(xí)著重就是他們兩個(gè)：

有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)：Finite Impulse Response (FIR)

無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)：Infinite Impulse Response (IIR)

從名字就能看的出來，F(xiàn)IR就是一個(gè)有限的區(qū)間，這個(gè)區(qū)間外面的數(shù)值他就一定是0，而IIR呢，就沒有這個(gè)區(qū)間的概念了。

一般來說，我們只會(huì)關(guān)注因果FIR：

這就像個(gè)窗口一樣，我們只會(huì)關(guān)心窗口為M大小的系統(tǒng)，也就是說，我們說FIR系統(tǒng)又這長(zhǎng)為M個(gè)樣本的有限存儲(chǔ)空間。

IIR呢：

我們?cè)谶@里說的是系統(tǒng)是有無限存儲(chǔ)的，顯然，這很扯，哪有那么多的存儲(chǔ)空間給你干那事去。

好了，今天的復(fù)習(xí)就到這里了，明天繼續(xù)，希望明天有足夠的時(shí)間去把這一章給復(fù)習(xí)完。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-457335.html

到了這里，關(guān)于數(shù)字信號(hào)處理6的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！