1 賽題

B題 城市軌道交通列車時刻表優(yōu)化問題

列車時刻表優(yōu)化問題是軌道交通領(lǐng)域行車組織方式的經(jīng)典問題之一。列車時刻表規(guī)定了列車在每個車站的到達和出發(fā)（或通過）時刻，其在實際運用過程中，通常用列車運行圖來表示。圖 1 為某一運行圖的示例，圖中每一條線表示一趟列車，橫軸表示車站，縱軸表示時間，每一條線反映了一趟列車在不同時刻所處的相對位置，也稱為運行線。比如，圖中紅色運行線表示，列車于 9：02 分從 D 站出發(fā)，于 9：05 分到達 C 站，停留 1分鐘后出發(fā)，于 9：09 分到達 B 站，停留 1 分鐘后出發(fā)，于 10：03 分到達A 站。

實際運營中，在鋪畫列車運行圖之前，首先得先確定列車開行方案，列車開行方案包括列車編組方案、列車停站方案和列車交路計劃三部分。

列車編組方案規(guī)定了列車的車型和編組數(shù)量（即列車的節(jié)數(shù)），在本問題中采用統(tǒng)一的車型和編組數(shù)量。

列車停站方案是規(guī)定列車在哪些站點停站的方案，在本問題中均采用站站停的停站方案（即列車在每個經(jīng)過的車站都會停車）。

列車交路計劃是指列車在規(guī)定的運行線路上往返運行的方式，即規(guī)定了列車在哪些站點之間運行以及開行的數(shù)量。大小交路模式是城軌運營中常用的交路模式，是指城市軌道交通運行線路的長短區(qū)間。通俗講，大交路是指列車跑完全程，小交路是指將全程中的某兩個站作為臨時起點或終點來跑，需要注意的是，只有具有折返能力的車站（能讓列車調(diào)頭的車站）才能作為交路的起點或終點。圖 2 為某大小交路方案示意圖，表示以 A 站為起點的，D 站為終點大交路區(qū)間開行 10 對列車，以 A 站為起點，C 站為終點小交路區(qū)間開行 5 對列車。

在大小交路方案中，大小交路列車開行列數(shù)通常為 1:n 或 n:1 兩種模式，即每開行 n 列大（小）交路列車后，開行一列?。ù螅┙宦妨熊?，并且小交路所經(jīng)過的車站數(shù)量需有一定限制：小交路區(qū)間過短會導(dǎo)致列車的折返頻繁，使運營成本增加；小交路區(qū)間過長則無法體現(xiàn)大小交路運營模式的作用。

在列車開行方案的制定中，需要以最小的企業(yè)運營成本和最大的服務(wù)水平(乘客在車時間和乘客等待時間)來滿足客流的需求，企業(yè)的運營成本包括固定成本（所需車輛的數(shù)量）和變動成本（列車總走行公里）兩部分組成。受到車站通過能力的制約和服務(wù)水平的要求，在一定時間內(nèi)，列車的發(fā)車數(shù)量也有一定的限制。

在制定好列車開行方案后，可根據(jù)該方案同樣以企業(yè)運營成本最小化和服務(wù)水平最大化為目標鋪畫列車運行圖，即確定每趟列車的出發(fā)和到達的具體時刻?，F(xiàn)有的列車時刻表通常為等間隔的平行運行圖，即發(fā)車間隔（如每 5 分鐘開行一趟列車）和在同一站點的停站時間相等。發(fā)車間隔的長短會有一定的限制：發(fā)車間隔過短，則會影響列車運行的安全；發(fā)車間隔過長，則會增長乘客的平均等待時間，從而影響服務(wù)水平。同樣地，停站時間也需受到一定限制，一般來說列車在車站的停站時間正比于在該站上、下車的乘客數(shù)量。另外，需要注意的是，兩列車在同一區(qū)間追蹤運行時，需保留一定的安全間隔（追蹤間隔時間）。

采用大小交路運營模式的列車運行圖，大交路列車和小交路列車一般會交替開行，比如當大交路列車與小交路列車的比例為 2：1 時，則會以每3 列車為一個組合（前 2 列車為大交路列車，第三列車為小交路列車）滾動發(fā)車。

在下列問題中，只需制定單向的列車時刻表即可。

問題一：在滿足客流需求的條件下，以企業(yè)運營成本最小化和服務(wù)水平最大化為目標，制定列車開行方案。即確定大交路區(qū)間列車的開行數(shù)量，小交路的運行區(qū)間以及開行數(shù)量。（輸出格式詳見附件 6）

問題二：在問題一制定的列車開行方案下，同樣以企業(yè)運營成本最小化和服務(wù)水平最大化且盡量滿足客流需求為目標，制定等間隔的平行運行圖。（輸出格式詳見附件 7，并將附件 7 單獨上傳到競賽系統(tǒng)中）

問題三：對于降低企業(yè)運營成本和提高服務(wù)水平，你們團隊有哪些好的方法或建議？基于客流和車站數(shù)據(jù)，提供相應(yīng)的量化分析支持。

2 解題思路

1） 公交車的平均速度為20公里/小時；按某種程度不考慮停車時間，從而也不考慮乘客上下車所用時間，或雖然有不同的停車時間都認為計入平均速度之內(nèi)；
（2） 只討論了18個單位時間段上、下車情況：記上行方向各站點上車總?cè)藬?shù)為a，a,a……，a，上行方向各站點下車總?cè)藬?shù)分別為b，b，b……，b；下行方向在求解也做同樣的設(shè)定.
（3） 定義上下差數(shù)c如下：
……
一般地，
（4）由于公共汽車站在單位時間內(nèi)來站乘車地人數(shù)使一個服從于Poisson分布的隨機變量，設(shè)上、下車總?cè)藬?shù)（或）是此隨機變量的平均值；(…13)
（5）在每個單位時間段中，上、下車總?cè)藬?shù)（或）是均勻分布在時間區(qū)間內(nèi)，即時間區(qū)間等分：，個人依次在每個小區(qū)間中點到達.
（6）在公交車運行中，每一時間段的每一個站點都以最大可能地讓乘客上車，而不顧及后面乘客地利益（即不考慮后面乘客能否上車）.
（7）假設(shè)在行車過程中，不會出現(xiàn)車壞、道路嚴重阻塞等意外事故.
（8）本題所提供的是一個典型工作日的統(tǒng)計表，故具有普通意義.
注意：符號約定中沒有定義而在文中出現(xiàn)的，在第一次出現(xiàn)處均有說明.

本問題是一個給出上、下行兩方向每一個時間段，每一個站點上、下車總?cè)藬?shù)的統(tǒng)計數(shù)，由這些數(shù)據(jù)，按照多種要求和條件來設(shè)計一個便于操作的全天（工作日）的公交車調(diào)度方案，并抽象出一個明確的、完整的數(shù)學(xué)模型.
對于上行方向：
記上車的總?cè)藬?shù)矩陣為，下車的總?cè)藬?shù)矩陣為，在這里的（或）是隨空間（公交車路線）和時間變化的量，因此，根據(jù)問題所提出的公交車行進情況，我們把公交車行進過程中的空間（地點）與時間的情況反映在坐標軸上，即以直角坐標系的橫軸表示各站點距離，縱軸表示各時刻.由此，我們可以做出一個公交車空間與時間的二維運行圖，公交車運行的軌跡在圖上的反映是一簇平行的直線簇，它們的斜率為,即速度的倒數(shù)；（見附圖），平行直線簇可以直觀地反映出公交車行車時各站與時間關(guān)系，以及公交車跨時段的行車情況.（下行方向運行圖類似）

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