一、行列式

1.1 行列式性質

• $|AB|=|A||B|$
• 行列互換其值不變，$|A^T|=|A|$
• $|A^{?}|=|A{|}^{n?1}(由A{A}^{?}=|A|E推導而來)$
• 行列式可拆分：某行\(zhòng)列元素是兩個元素之和，可拆為兩個行列式之和

行列式基本變換

• 行列式行或列互換，其值不變
• 行列式中某行或某列有公因子k，可以提到行列式之外
  • 推論：行列式某行、列為0，行列式為0
• 行列式中某行或列的k倍加到另一行或列，行列式的值不變
• 行列式中的兩行或兩列對應成比例，行列式值為零
  
  

1.2 余子式

余子式和代數(shù)余子式

行列式按照行列展開的展開公式

$|A|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$

一、行列式求解

1.用行列式

2.用矩陣

當$|A|=0$的時候，有$A?=|A|A^{?1}$
由于A^*是由A_ij構成的，所以得出A^*就可以得出所有的A_ij

3.用特征值

設A為三階可逆矩陣，其特征值分別為${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，則A^-1的特征值為${\lambda }_1^{?1},{\lambda }_2^{?1},{\lambda }_3^{?1}$
由$A?=|A|A^{?1}$可知，
${\lambda }_1^{?}={\lambda }_2?{\lambda }_3$
${\lambda }_2^{?}={\lambda }_1?{\lambda }_3$,
${\lambda }_3^{?}={\lambda }_1?{\lambda }_2$

1.3 行列式計算

一、具體形行列式

(1)直接運算

1.行\(zhòng)列和相等類型

行列和相等的矩陣，一般處理方法是將其他行或列依次加到第一行或列，此時第一行或列上的元素相等。
當行列和相等矩陣中的a元素位于副對角線時，應該依次對換各行或者各列。

2.爪形、異爪形行列式

1. 消去其中的一條爪
2. 直接計算

(2)化為12+1個基本行列式

1. 主副對角線行列式

副對角線：$(?1{)}^{\frac{a(a?1)}{2}}{a}_{1,n}{a}_{2,n?1}{a}_{3,n?2}...a_{1,n}$

2. 拉普拉斯展開式

注意副對角拉普拉斯需要加上系數(shù)(-1)^nm
TIPS：對于分塊矩陣的行列式的運算，為主對角線相乘加上(-1)^nm的副對角線

3. 范德蒙行列式

TIPS:

1. 具體形行列式計算時，應該化出盡量多的0
2. 沒有0則對差別最小的元素進行處理

(3)加邊法

某些一開始不適用互換、倍乘、倍加的行列式，可以考慮使用加邊法：將n階行列式添加一行和一列升至n+1階行列式

(4)遞推法

遞推法主要是用于處理一般方法處理不了的異爪型行列式
遞推法主要是找出D_n和D_n-1的遞推關系式，實現(xiàn)遞推，所需條件是：1.D_n比D_n-1只多一階 2.元素分布規(guī)律相同
Tip：

• 在進行消去的時候，應該盡量使得數(shù)行或數(shù)列都為0。在進行運算時應該選擇差別最小的兩行進行操作。在行列和相等的題目中最常見

(5)數(shù)學歸納法

二、抽象行列式

上述的思想十分重要，將方程矩陣化是線性代數(shù)很多題目的求解核心。如果出現(xiàn)了多個約束方程，則可以使用方程組矩陣化

二、矩陣

2.1 概念

穿脫原則:
$(AB{)}^{?}=B^{?}{A}^{?}$, $(AB{)}^T=B^T{A}^T$, $(AB{)}^{?1}=B^{?1}{A}^{?1}$

矩陣等價

如果存在矩陣A、B使得$PAQ=B$，則稱兩個矩陣等價
性質：
反身性、傳遞性、等價性
|A|=k|B|
r(A)=r(B)

2.2 矩陣運算

1.基本運算

相等、加法、數(shù)乘
A是一個階方陣，則A^m=AAA…A為A的m次冪

轉置矩陣

運算規(guī)律：

• $(A^T{)}^T=A$
• $(kA{)}^T=k{A}^T$
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• 如果是方陣，$|A^T|=|A|$

幾種重要矩陣

• 對稱矩陣：A^T=A的矩陣稱為對稱矩陣，A^T=-A的矩陣稱為A的反對稱矩陣
• 滿足A^TA=E(A^T=A^-1)的為正交矩陣，此時A的行或列向量組是標準正交向量組
• 分塊矩陣

2.矩陣乘法

• 結合律(AB)C=A(BC)：比如$A^{T}B{A}^{T}B{A}^{T}B=A^T(B{A}^{T}B{A}^T)B$
• 分配律A(B+C)=AB+AC
• $r(AB)\le min(r(A),r(B))$

矩陣乘法沒有交換律，也就是$AB=BA$
推廣1：由上述可知，存在$A=O$并且$B=O$但是$AB=O$的情況
推廣2：$(AB{)}^3=ABABAB=A^3{B}^3$
推廣3：$AB=AC?A(B?C)=O$, 在$A=O$的情況下無法推導出$B=C$
推廣4：$A^2?B^2=(A?B)(A+B)$

3.向量內積和正交

內積：向量$\alpha$和$\beta$的內積為${\alpha }^T\beta =a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$記作$(\alpha ,\beta )$
正交:${\alpha }^T\beta =0$的時候，向量$\alpha$和$\beta$正交
模：$||\alpha ||=\sqrt{a_i^2}$，若$||\alpha ||$稱$\alpha$為單位向量

4.施密特正交化（又稱正交規(guī)范化過程）

將線性無關向量組的標準正交化公式為:
$${\beta }_1={\alpha }_1$$ $${\beta }_2={\alpha }_2?\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$$
將${\beta }_1,{\beta }_2$單位化得${\eta }_1=\frac{{\beta }_1}{||{\beta }_1||}$,${\eta }_2=\frac{{\beta }_2}{||{\beta }_2||}$

TIPS：

• 對于抽象向量組，需要考慮將向量組矩陣化求解

2.3 矩陣的逆

1.逆矩陣定義

定義：如果AB=BA=E，則稱A是可逆矩陣，并且B是A的逆矩陣，逆矩陣是唯一的，記作A^-1

A可逆的充分必要條件是$|A|=0$
并且A可逆的時候有$A^{?1}=\frac{1}{|A|}{A}^{?}$

2.逆矩陣的性質和公式

1. $(A^{?1}{)}^{?1}=A$
2. $(kA{)}^{?1}=\frac{1}{k}{A}^{?1}$
3. $(AB{)}^{?1}=B^{?1}{A}^{?1}$
4. 若A^T可逆，則$(A^T{)}^{?1}=(A^{?1}{)}^T$
5. $|A^{?1}|=|A{|}^{?1}$

3.逆矩陣的計算

抽象形：

1. 找到矩陣B使得AB=E，則A^-1=B
2. 將A分解為若干個可逆矩陣的乘積，$A=BC\to A^{?1}=C^{?1}{B}^{?1}$

具體形：

1. $A^{?1}=\frac{1}{|A|}{A}^{?}$(適用于規(guī)模位于3階及以下的矩陣)
2. 使用初等行變換求矩陣的逆矩陣，即$[A|E]\to [E|A^{?1}]$

分塊矩陣求逆：

這是根據(jù)$[A|E]\to [E|A^{?1}]$結合方程組推導出來的，$?C^{?1}D{B}^{?1}$可以記作為左乘同行，右乘同列，然后取反

n階對角\副對角矩陣求逆

2.4 伴隨矩陣

需要注意的是，伴隨矩陣內代數(shù)余子式A_ij的位置是在j行i列而非i行j列

性質和重要公式

對任意n階方陣A都有伴隨矩陣A^*，有$A{A}^{?}=A^{?}A=|A|E$并且$|A^{?}|=|A{|}^{n?1}$
當$|A|=0$的時候，有

• $A^{?}=|A|A^{?1}?A^{?1}=\frac{1}{|A|}{A}^{?}?A=|A|(A^{?}{)}^{?1}$
• $(kA)(kA{)}^{?}=|kA|E$，此處的kA可替換為A^-1、A^*
• $|A^{?}|=|A{|}^{n?1}$，可遞推為$(A^{?}{)}^{?}=|A{|}^{n?2}A$，并且有$|(A^{?}{)}^{?}|=|A{|}^{(n?1{)}^2}$
• A^*的秩相關
• $(AB{)}^{?}=B^{?}{A}^{?}$

2.5 初等變換和初等矩陣

1.行列式初等變換和矩陣初等變換的異同

1. 行列式兩行/列互換，行列式值反號；矩陣兩行/列互換，矩陣不變
2. 行列式值乘以k倍，相當于行列式的某行/列乘以k倍；n階矩陣乘以k倍，相當于矩陣中每一行乘k倍
3. 行列式和矩陣的某行/列加上k倍的另外一行/列，行列式和矩陣都不變

2.初等矩陣性質

1. 初等矩陣的轉置仍是初等矩陣
2. 初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣仍然是同一類型初等矩陣
3. 如果A是可逆矩陣，則A可以表示成有限個初等矩陣的乘積

3.判斷正交以及矩陣正交化

TIPS：
若干個初等矩陣相乘，可湊成一個可逆矩陣

2.6 秩

1.定義

2.公式

• A是m x n矩陣，則$0\le r(A)\le min(m,n)$

• $r(kA)=r(A)$

• P和Q是可逆矩陣，則$r(A)=r(PA)=r(PAQ)$，也就是A作初等變換不改變秩的值。同理可知，r(AB)<r(A)，則r(B)<n，也就是B不可逆

• $r(AB)\le min(r(A),r(B))$

• $r(A+B)\le ([A|B])\le r(A)+r(B)$
  

• 設A為m x n矩陣，AB=O，則$r(A)+r(B)\le n$

• 設A為m x n矩陣，$r(A)=r(A^T)=r(A{A}^T)=r(A^{T}A)$(四秩相同)
  
  根據(jù)上述推導可得出，設A為n階方陣
  n=2時，$(A^{?}{)}^{?}=A$
  n>2時，如果A是可逆矩陣，則$(A^{?}{)}^{?}=|A{|}^{n?2}A$
  n>2時，如果A是不可逆矩陣，則$(A^{?}{)}^{?}=O$

• A為n階方陣，A²=A，可得r(A)+r(A+E)=n

• A為n階方陣，A²=E則$r(A+E)+r(A?E)=n$

• 三秩相等：A的秩=A的行秩=A的列秩

3.考法

用階梯型

將矩陣化為階梯型矩陣

2.7 矩陣相關題型

1.$A^n$的題目類型

(1) A是方陣

若A可拆分為$\alpha {\beta }^T$，則r(A)=1，這種情況下，有：
$$A^n=\alpha ({\beta }^T\alpha )({\beta }^T\alpha )....({\beta }^T\alpha ){\beta }^T=[tr(A){]}^{n?1}?A$$

(2)使用$A^2,A^3$推算出規(guī)律

最典型的兩種情況是A²=kA或者A²=kE，
注意：矩陣的行列基本變換可能會破壞該規(guī)律，因此拿到題后，最好先不要進行行列基本變換

(3)A分解為B和C

(4)用初等矩陣求P₁ⁿAP₂^m

如果P₁和P₂是初等矩陣，則P₁ⁿAP₂^m表示對A作n次P₁的初等行變換和m次P₂的初等列變換

(5)用相似理論求Aⁿ(重點)

如果$AB$，也就是A=P^-1BP，則Aⁿ=P^-1BⁿP，
如果$A～\lambda$，則$A_n=P_{?1}{\Lambda }_{n}P$

在題目要求的矩陣A的n次方無法直接求解的時候，使用求特征值和特征向量，求出其相似矩陣，使用相似矩陣代替A來求n階矩陣

2.矩陣方程

矩陣方程式含有未知矩陣的方程

基本化簡手段

1. 消除\提取公因式
2. 移項
3. 使用公式

求解

1.通過左右同乘分解為
2.如果A不可逆，比如AX=B，可以將X和B按列分塊，轉化為求線性方程組
3.如果上面都不行，則應該設未知矩陣$X=(x_{ij})$，直接代入方程到含未知量為x_ij的線性方程組，從而求的X文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-449429.html

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