線性代數(shù)之矩陣秩的求法
K階子式的定義
在m×n的矩陣A中，任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n)，位于這些行和列交叉處的 個(gè)元素，在不改變?cè)写涡虻那闆r下組成的矩陣叫做矩陣A的k階子式。
不難發(fā)現(xiàn)矩陣A有個(gè)
個(gè)k階子式。
?比如有矩陣A 
比如取第1行，第3行，第1列，第4列交叉上的元素組成的子式即為其一個(gè)2階子式。即按照如下劃線操作 ：
即其中的一個(gè)2階子式是： 
矩陣秩的定義
設(shè)在m×n的矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式全等于0，則D是該矩陣的最高階非零子式。非零子式的最高階數(shù)即叫做矩陣的秩 記作R(A) r是rank的縮寫。不難發(fā)現(xiàn)矩陣的秩有如下特點(diǎn)：
- ?R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。
- r(A) = m 取了所有的行，叫行滿秩
- r(A) = n 取了所有的列，叫列滿秩
- r(A) < min{m,n}則叫做降秩
- A是方陣，A滿秩的充要條件是A是可逆的(轉(zhuǎn)換為A的行列式不等于0，所以可逆)
- r(A) = r的充要條件是有一個(gè)r階子式不為0，所有r+1階子式為0
- 矩陣A（m乘n階）左乘m階可逆矩陣P，右乘n階可逆矩陣Q，或者左右乘可逆矩陣PAQ不改變其秩。
- 對(duì)矩陣實(shí)施(行、列）初等變換不改變矩陣的秩
- 階梯形矩陣的秩 r(A)等于非零行的行數(shù)。
- A的秩等于A轉(zhuǎn)置的秩
- 任意矩陣乘可逆矩陣，秩不變
矩陣秩的求法
定義法
該方法是根據(jù)矩陣的秩的定義來(lái)求，如果找到k階子式為0，而k-1階不為0，那么k-1即該矩陣的秩。
#Sample1（示例一），求下列矩陣的秩：
A=
針對(duì)矩陣A，我們先找它的一個(gè)3階子式看看是否為0，比如我們找的是
很顯然該三階子式等于-1≠0，所以該矩陣的秩是3。
因?yàn)楫?dāng)前矩陣沒(méi)有4階子式子，所以3是該矩陣的最高階。
#Sample2（示例二）：已知矩陣A
，如果R(A)<3,求a。
Step1：這種已知矩陣的秩求參數(shù)的題目需要借助秩的定義。因?yàn)楫?dāng)前矩陣A是3階的，而R(A)又小于3，那么A的三階子式(即A本身)為0。
Step2：可按照行(列)將第2、3行(列)都加到第1行(列)上去，然后提取公因子a+2,
Step3：再以第1行（列）為軸，消除其它行(列)進(jìn)而得到
Step4：（a+2）
=0 所以a=-2或者a=1。
類似的,#Sample3（示例三）如果如下的矩陣A的秩R(A)等于3那么k等多少呢？
思路:該題的思路跟上例類似，不過(guò)這里解出的k（k=1或者k=-3）需要帶回原矩陣?yán)锖蓑?yàn)下，而k=1時(shí)R(A)=1和題目的條件沖突，所以k只能為-3。
階梯型數(shù)非零行數(shù)
分兩步:
第一步先將原矩陣化簡(jiǎn)成階梯型矩陣
第二步數(shù)新矩陣的非零行行數(shù)，該函數(shù)即對(duì)應(yīng)原矩陣的秩。
#Sample4（示例四）：示例，求如下矩陣A的秩
Step1：第1行的-2倍加到第2行上去、第1行的1倍加到第三行上去，于是得到
Step2：針對(duì)上述矩陣，將第2行加到第3行上去，于是得到
Step3：此時(shí)我們已經(jīng)能輸出非0行的函數(shù)即2，所以矩陣A的秩是2。
階梯型畫臺(tái)階
我們可以借助階梯的圖形化方式勾出臺(tái)階數(shù)，見(jiàn)下圖示例#Sample5（示例五）：
?
注：1 畫階梯(臺(tái)階下的元素全為0)數(shù)臺(tái)階，臺(tái)階水平方向可跨多列，垂直(列)方向不能跨多行（即一次只能有1個(gè)臺(tái)階）。文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-443245.html
2 該方法本質(zhì)上屬于階梯型，只是操作時(shí)以圖形化數(shù)臺(tái)階的方式。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-443245.html
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