性質(zhì) 1　設(shè) $n$ 階矩陣 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 的特征值為 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_n$，則 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+?+{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+?+a_{nn}$。

證明　不妨設(shè)矩陣 $\mathbf{A}$ 的特征多項(xiàng)式為
f ( λ ) = ∣ A ? λ E ∣ = ∣ a 11 ? λ a 12 ? a 1 n a 21 a 22 ? λ ? a 2 n ? ? ? a n 1 a n 2 ? a n n ? λ ∣ = k 0 + k 1 λ + ? k n λ n (1) f(\lambda) = |\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \\ \end{vmatrix} = k_0 + k_1 \lambda + \cdots k_n \lambda^n \tag{1} f(λ)=∣A?λE∣= ?a11??λa21??an1??a12?a22??λ?an2??????a1n?a2n??ann??λ? ?=k0?+k1?λ+?kn?λn(1)
因?yàn)榫仃?$\mathbf{A}$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_n$ 是特征方程 $f(\lambda )=0$ 的 $n$ 個(gè)解，所以上式 $(1)$ 可以寫成
$$f(\lambda )=({\lambda }_1?\lambda )({\lambda }_2?\lambda )?({\lambda }_n?\lambda )\text{\hspace{1em}(2)}$$
根據(jù)韋達(dá)定理可知，上式 $(2)$ 中 ${\lambda }^{n?1}$ 的系數(shù) $k_{n?1}={\lambda }_1+{\lambda }_2+?+{\lambda }_n$。

因?yàn)樵谛辛惺?$|\mathbf{A}?\lambda \mathbf{E}|$ 中，除主對(duì)角線對(duì)應(yīng)的項(xiàng)以外，其他項(xiàng)展開后關(guān)于 $\lambda$ 的最高項(xiàng)均小于等于 $n?2$ 次；所以，若要得到 ${\lambda }^{n?1}$ 項(xiàng)，只能通過(guò)主對(duì)角線對(duì)應(yīng)的項(xiàng)得到。主對(duì)角線對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為
$$(a_{11}?\lambda )(a_{22}?\lambda )?(a_{nn}?\lambda )\text{\hspace{1em}(3)}$$
因?yàn)樯鲜?$(3)$ 中 ${\lambda }^{n?1}$ 的系數(shù)即式 $(1)$ 中 ${\lambda }^{n?1}$ 的系數(shù) $k_{n?1}$，根據(jù)韋達(dá)定理，有 $k_{n?1}=a_{11}+a_{22}+?+a_{nn}$。

綜上所述，有
$${\lambda }_1+{\lambda }_2+?+{\lambda }_n=k_{n?1}=a_{11}+a_{22}+?+a_{nn}$$
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