特征值的重數(shù)與線性無關特征向量的個數(shù)的關系

關系就是，特征值的重數(shù) ≥ 該特征值的線性無關向量的個數(shù) ≥ 1

量化關系有

特征值的重數(shù)，稱為代數(shù)重數(shù)，等于Jordan矩陣中特征值為λ的Jordan塊的階數(shù)之和

特征向量的個數(shù)，稱為幾何重數(shù)，等于Jordan矩陣中特征值為λ的Jordan塊的個數(shù)

證明

先說結(jié)論

每個矩陣等價于一個標準形

$$A?\left(\begin{array}{c}{E}_{r}0\\ 00\end{array}\right)$$

每個矩陣相似于一個Jordan標準形

A ～ J = ( λ 1 σ λ 2 σ λ 3 σ ? λ n ) n i σ = 0 ? o r ? 1 A\sim J=\begin{pmatrix}& \lambda_1 & \sigma & & & &\\& & \lambda_2 & \sigma & & &\\& & & \lambda_3 & \sigma & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \lambda_n &\\\end{pmatrix}_{n_i}\\\sigma=0~or~1 A～J= ??λ1??σλ2??σλ3??σ??λn??? ?ni??σ=0?or?1

當矩陣A相似的Jordan標準形中的所有的$\sigma$都=0時，Jordan標準形就是對角矩陣，矩陣可對角化，此時的Jordan標準形就是可對角化的對角矩陣$\Lambda$。

也就是每個Jordan塊都是1階的時候，矩陣可以對角化。

此時的量化關系就是，代數(shù)重數(shù)=幾何重數(shù)，n個特征值的特征向量都是線性無關的。

現(xiàn)在來證明一下這個結(jié)論。

為什么當$\sigma =0$的時候，代數(shù)重數(shù)=幾何重數(shù)。

代數(shù)重數(shù)

對于特征值$\lambda =\eta$的重數(shù)，即代數(shù)重數(shù)。就是$\phi (\lambda )=|A?\lambda E|$中$(\eta ?\lambda {)}^k$的k次方。

因為，A與J相似，則A與J的特征多項式相等。

證明：$J?\lambda E=P^{?1}AP?\lambda P^{?1}EP=P^{?1}(A?\lambda E)P$

$|J?\lambda E|=|P^{?1}||A?\lambda E||P|=\frac{1}{|P|}|A?\lambda E||P|$

所以，代數(shù)重數(shù)就是$|J?\lambda E|$中$(\eta ?\lambda {)}^k$的k次方。
∣ J ? λ E ∣ = ∣ λ 1 ? λ σ λ 2 ? λ σ λ 3 ? λ σ ? λ n ? λ ∣ n σ = 0 ? o r ? 1 |J-\lambda E|=\begin{vmatrix} & \lambda_1-\lambda & \sigma & & & &\\ & & \lambda_2-\lambda & \sigma & & &\\ & & & \lambda_3-\lambda & \sigma & &\\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & \lambda_n-\lambda &\\ \end{vmatrix}_{n}\\ \sigma=0~or~1 ∣J?λE∣= ??λ1??λ?σλ2??λ?σλ3??λ?σ??λn??λ?? ?n?σ=0?or?1
$|J?\lambda E|$是一個上對角矩陣，因此，只要看對角線上乘積的結(jié)果，就可以得到$(\eta ?\lambda {)}^k$的k值。

用Jordan塊的方式表示如下

∣ J ? λ E ∣ = ∣ J 1 ? λ E J 2 ? λ E J 3 ? λ E ? J n ? λ E ∣ n |J-\lambda E| =\begin{vmatrix} & J_1-\lambda E & & & & &\\ & & J_2-\lambda E & & & &\\ & & & J_3-\lambda E & & &\\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & J_n-\lambda E &\\ \end{vmatrix}_{n}\\ ∣J?λE∣= ??J1??λE?J2??λE?J3??λE???Jn??λE?? ?n?

對于一個單個的Jordan塊

∣ J i ? λ E ∣ = ∣ λ i ? λ 1 λ i ? λ 1 λ i ? λ 1 ? λ i ? λ ∣ n i n i 是初等因子中 ( λ i ? λ ) n i 的次數(shù) |J_i-\lambda E|=\begin{vmatrix}& \lambda_i-\lambda & 1 & & & &\\& & \lambda_i-\lambda & 1 & & &\\& & & \lambda_i-\lambda & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \lambda_i-\lambda &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\n_i是初等因子中(\lambda_i-\lambda)^{n_i}的次數(shù) ∣Ji??λE∣= ??λi??λ?1λi??λ?1λi??λ?1??λi??λ?? ?ni??ni?是初等因子中(λi??λ)ni?的次數(shù)
介紹到這里我們就可以得出結(jié)論了，對于Jordan標準型，代數(shù)重數(shù)是$|J?\lambda E|$中$(\eta ?\lambda {)}^k$的k次方。而對于Jordan塊，對于${\lambda }_i=\eta$的Jordan塊，${\lambda }_i=\eta$的代數(shù)重數(shù)是Jordan塊的重數(shù)$n_i$；對于對于${\lambda }_i\ne \eta$的Jordan塊，則${\lambda }_i=\eta$的代數(shù)重數(shù)就是0。

因此，代數(shù)重數(shù)就是${\lambda }_i=\eta$的Jordan塊的階數(shù)之和（當然僅靠觀察也可以得出這個結(jié)論）

幾何重數(shù)

對于特征值$\lambda =\eta$的線性無關的特征向量的個數(shù)，即幾何重數(shù)。就是$|A?\eta E|X=O$的齊次方程的基礎解系的個數(shù)，自由變量的個數(shù)。也就是特征多項式$|A?\eta E|$中全為0的行的個數(shù)，幾何重數(shù)=$n?R(A?\eta E)$

這時我們就發(fā)現(xiàn)，$當{\lambda }_i=\eta 時$一個Jordan塊只能得到一個全零行，一個自由變量，一個線性無關的解向量；當${\lambda }_i\ne \eta$時，必然沒有一個全0行
當 λ i = η 時，最后一行全為 0 ∣ J i ? η E ∣ = ∣ η ? η 1 η ? η 1 η ? η 1 ? η ? η ∣ n i = ∣ 0 1 0 1 0 1 ? 0 ∣ n i 當\lambda_i=\eta時，最后一行全為0\\|J_i-\eta E|=\begin{vmatrix}& \eta-\eta & 1 & & & &\\& & \eta-\eta & 1 & & &\\& & & \eta-\eta & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \eta-\eta &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\=\begin{vmatrix}& 0 & 1 & & & &\\& & 0 & 1 & & &\\& & & 0 & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & 0 &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\ 當λi?=η時，最后一行全為0∣Ji??ηE∣= ??η?η?1η?η?1η?η?1??η?η?? ?ni??= ??0?10?10?1??0?? ?ni??

當 λ i ≠ η 時，必然沒有一個全 0 行 ∣ J i ? η E ∣ = ∣ λ i ? η 1 λ i ? η 1 λ i ? η 1 ? λ i ? η ∣ n i 當\lambda_i \ne \eta時，必然沒有一個全0行\(zhòng)\|J_i-\eta E|=\begin{vmatrix}& \lambda_i-\eta & 1 & & & &\\& & \lambda_i-\eta & 1 & & &\\& & & \lambda_i-\eta & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \lambda_i-\eta &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\ 當λi?=η時，必然沒有一個全0行∣Ji??ηE∣= ??λi??η?1λi??η?1λi??η?1??λi??η?? ?ni??

因此，幾何重數(shù)=當${\lambda }_i=\eta$時的Jordan塊的個數(shù)k。

現(xiàn)在我們就得到了，幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)的量化關系
$$\begin{gathered} 幾何重數(shù)=k \\ 代數(shù)重數(shù)=\sum _{i=1}^k{n}_i \\ k是{\lambda }_i=\eta 的Jordan塊的個數(shù) \end{gathered}$$
因此當且僅當所有$n_i=1$的時候，幾何重數(shù)=代數(shù)重數(shù)，矩陣可對角化。

【概念】Jordan 約旦(若爾當)矩陣

https://www.zhihu.com/question/379643506

Jordan矩陣是《矩陣論》《矩陣分析》第一章的內(nèi)容

任意一個矩陣A都相似于一個Jordan矩陣標準形
$$\left(\begin{array}{c}{J}_{1}0\\ 0J_n\end{array}\right)$$
類似于等價一個標準形
$$\left(\begin{array}{c}{E}_{r}0\\ 00\end{array}\right)$$

Jordan 約旦塊

上述Jordan標準型的$J_i$就是一個約旦塊
J i = ( λ i 1 λ i 1 λ i 1 ? 1 λ i ) 其中 λ 1 , λ 2 , ? ? , λ n 就是對應一個 A 的特征值 J_i= \begin{pmatrix} & \lambda_i & 1 & & & &\\ & & \lambda_i & 1 & & &\\ & & & \lambda_i & 1 & &\\ & & & & \ddots & 1 &\\ & & & & & \lambda_i &\\ \end{pmatrix}\\ 其中\(zhòng)lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}就是對應一個A的特征值 Ji?= ??λi??1λi??1λi??1??1λi??? ?其中λ1?,λ2?,?,λn?就是對應一個A的特征值

Smith標準形

( d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) d 3 ( λ ) ? d n ( λ ) ) \begin{pmatrix} & d_1(\lambda) & & & & &\\ & & d_2(\lambda) & & & &\\ & & & d_3(\lambda) & & &\\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & d_n(\lambda) &\\ \end{pmatrix}\\ ??d1?(λ)?d2?(λ)?d3?(λ)???dn?(λ)?? ?

a%b=0，a能被b整除（或說b能整除a）,記作b|a

滿足：

1. 后面的可以整除前面的 $d_n(\lambda )\%d_{n?1}(\lambda )=0或d_{n?1}(\lambda )|d_n(\lambda )$

不變因子

Smith標準形中$d_i(\lambda )$就是不變因子

初等因子

所有不變因子中的關于λ的多項式$(\lambda ?b{)}^k(k>0)$都是初等因子

行列式因子

一個矩陣的所有的k階子式中的首一最大公因式就是，k階行列式因子，$D_k(\lambda )$

首一最大公因子：首項系數(shù)是1的最大公因式，也就是最高次項系數(shù)是1的最大公因式。只能是kλ+b

行列式因子可以轉(zhuǎn)化為不變因子
$$\begin{gathered} d_1(\lambda )=D_1(\lambda ) \\ {d}_k(\lambda )=\frac{D_k(\lambda )}{D_{k?1}(\lambda )} \end{gathered}$$

Jordan標準形的求法

通過初等因子，可以寫出Jordan塊

比如對于$(\lambda ?2{)}^2(\lambda ?1)$可以寫出兩個Jordan塊
$$\left(\begin{array}{c}21\\ 02\end{array}\right)和(1)$$
拼起來，得到 Jordan標準型為
( 2 1 0 0 2 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 2 \quad 1 \quad 0 \\ 0 \quad 2 \quad 0\\0 \quad 0 \quad 1\end{pmatrix} ?210020001? ?
或者
( 1 0 0 0 2 1 0 0 2 ) \begin{pmatrix}1 \quad 0 \quad 0\\ 0 \quad 2 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \quad 2\\\end{pmatrix} ?100021002? ?
Jordan標準形不計排列順序。

初等因子可以通過兩種方式求得，通過初等變換得到Smith標準型，或通過計算行列式因子得到不變因子

1 初等變換法

2 行列式因子法

文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-670092.html

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