碼字總結(jié)不易，老鐵們來個三連：點贊、關(guān)注、評論
作者：[左手の明天]
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版權(quán)聲明：本文為博主原創(chuàng)文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版權(quán)協(xié)議，轉(zhuǎn)載請附上原文出處鏈接和本聲明。
現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機(jī)的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機(jī)因素可以忽略，或者隨機(jī)因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機(jī)因素對研究對象的影響必須考慮，就應(yīng)建立隨機(jī)模型。
討論如何用隨機(jī)變量和概率分布描述隨機(jī)因素的影響，建立隨機(jī)模型——概率模型
隨機(jī)模型-確定性因素和隨機(jī)性因素
確定性模型
研究的對象通常包含隨機(jī)因素，但是如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，而隨機(jī)因素可以忽略，或者隨機(jī)因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。
隨機(jī)性模型
隨機(jī)因素對研究對象的影響必須考慮，就應(yīng)該建立隨機(jī)性模型。
目錄
概率論基本知識
1、古典概型
2、隨機(jī)變量及其分布
3、數(shù)學(xué)期望的概念和計算
?4、MATLAB中相關(guān)的的概率命令
概率模型的典型案例
傳送系統(tǒng)的效率
背景
模型分析
模型假設(shè)
模型建立
?模型解釋?
模型評注
報童的訣竅
問題提出
模型分析
?模型假設(shè)?
模型建立
模型求解
結(jié)果解釋?
模型評注?
模型應(yīng)用
隨機(jī)存貯策略
問題提出
模型假設(shè)
模型分析
模型建立
模型求解
模型評注?
軋鋼中的浪費(fèi)
問題提出
模型假設(shè)
模型分析
模型建立
模型求解
?模型應(yīng)用
隨機(jī)人口模型
問題提出
?模型假設(shè)
模型建立
模型求解
模型評注
看這看這
概率論基本知識
1、古典概型
條件概率：在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率
例：現(xiàn)有100個零件，其中95個長度合格，94個直徑和格，92個兩個尺寸都合格。任取一個，發(fā)現(xiàn)長度合格，問直徑合格的概率。
設(shè)A=‘長度合格’，B=‘直徑合格’
全概率公式和貝葉斯公式
?設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個劃分，且有P(Bi)>0， ?i=1,2,…,n,則對E的任一事件A，有:
例：某電子設(shè)備制造廠所用的某種晶體管是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：
設(shè)這三家的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的,且無區(qū)別的標(biāo)志?，F(xiàn)在倉庫中隨機(jī)地抽取一只晶體管,
(1)求它是次品的概率；
(2)若已知取到的是次品,問此次品是哪個廠生產(chǎn)的可能性更大？
2、隨機(jī)變量及其分布
二項分布
貝努利試驗
設(shè)隨機(jī)試驗E只有兩種可能的結(jié)果：A及，且 P(A)=p，（0<p<1), 將試驗E獨立地重復(fù)進(jìn)行n次， 簡稱n重貝努利試驗(Bernoulli)。 n重貝努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)服從二項分布
泊松分布
n重貝努利試驗中小概率事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.
指數(shù)分布
背景：指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命，動物的壽命，電話問題中的通話時間，服務(wù)時間等。
正態(tài)分布
背景：如果決定試驗結(jié)果X的是大量隨機(jī)因素的總和，假設(shè)各個因素之間近似獨立，并且每個因素的單獨作用相對均勻地小，那么X的分布近似正態(tài)分布。?
3、數(shù)學(xué)期望的概念和計算
描述了隨機(jī)變量的概率取值中心—均值
?4、MATLAB中相關(guān)的的概率命令
?
?MATLAB工具箱對每一種分布都提供5類函數(shù)，其命令字符為：
概率密度：pdf
概率分布：cdf
逆概率分布：inv
均值與方差：stat
隨機(jī)數(shù)生成：rnd
當(dāng)需要一種分布的某一類函數(shù)時，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是標(biāo)量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可.
如對均值為mu、標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布，舉例如下：
- 1．密度函數(shù)：p=normpdf(x,mu,sigma) ? ? (當(dāng)mu=0,sigma=1時可缺省)
?在MATLAB中輸入以下命令：
x=-6:0.01:6;
y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2);
plot(x,y,x,z)
- 2．概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)
- 3．逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). ? ? ?即求出x ，使得P{X<x}=P，此命令可用來求分位數(shù).
例3 有10臺機(jī)床,每臺發(fā)生故障的概率為0.08,而10臺機(jī)床工作獨立,每臺故障只需一個維修工人排除.問至少要配備幾個維修工人,才能保證有故障而不能及時排除的概率不大于5%。
解：隨機(jī)變量X示發(fā)生故障的機(jī)床的臺數(shù)，則?
?
- 4．均值與方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)
?例5 ? ?求正態(tài)分布N(3,5^2)的均值與方差
命令為：[m,v]=normstat(3,5)
結(jié)果為：m=3,v=25
- 5．隨機(jī)數(shù)生成：normrnd(mu,sigma,m,n).產(chǎn)生m×n階的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣.
例6 ?命令：M=normrnd(0,3,100,1)
概率模型的典型案例
傳送系統(tǒng)的效率
背景
工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。?
在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率的途徑。
構(gòu)造一個衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo)，并建立模型來描述工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系。
模型分析
- 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng) 假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。
- 工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻不會一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個周期內(nèi)任一時刻的可能性相同。
- 可以用一個周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)。
模型假設(shè)
1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產(chǎn)相互獨立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；
2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能的；
3）一周期內(nèi)m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達(dá)第一個工作臺的掛鉤都是空的；
4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng)。
模型建立
定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)（記作s,待定）與生產(chǎn)總數(shù) n（已知）之比，記作 D=s/n
為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個方便？
一周期內(nèi)有m個掛鉤通過每一工作臺的上方
設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則 p=1-q
設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則
設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則 r=1-u
模型解釋?
傳送帶效率(一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）
若(一周期運(yùn)行的)掛鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺數(shù)n, 則?
?定義E=1-D (一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）
?
模型評注
提高效率的途徑：增加m
方法一：增加一周期內(nèi)通過工作臺的鉤子數(shù)，比如再增加m個鉤子，此時鉤子的總數(shù)為2m，其他條件不變：
方法二：在原來放置1只鉤子處放置2只鉤子，稱為一個鉤對，今一周期內(nèi)通過m個鉤對，任一鉤對被一名工人觸到的概率為1/m不被觸到的概率為1-1/m，于是任一鉤對為空的概率為
?鉤對上只掛上1件產(chǎn)品的概率為
?一周期內(nèi)通過的m個鉤對(2m個鉤子)中，空鉤的平均數(shù)
?于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)為
?未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)為
?
?
報童的訣竅
問題提出
報童每天清晨從報社購進(jìn)報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。每份報紙
a (零售價) > b(購進(jìn)價) > c(退回價)
售出一份報紙賺 a-b；退回一份報紙賠 b-c，請為報童籌劃一下，每天購進(jìn)多少份報紙，可使收入最大？
模型分析
報童每天購進(jìn)的報紙?zhí)?，賣不完，將要賠錢。
報童每天購進(jìn)的報紙?zhí)?，不夠賣，會少賺錢。
模型假設(shè)?
調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為 r 的概率 f(r)， r=0,1,2…
設(shè)每天購進(jìn)報紙 n 份，日平均收入為 G(n)
模型建立
已知售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c
模型求解
通常需求量r的取值和購進(jìn)量n都相當(dāng)大，將r視為連續(xù)型隨機(jī)變量更便于分析與計算。
?
結(jié)果解釋?
模型評注?
a-b: 售出一份賺的錢，b-c : 退回一份賠的錢，最優(yōu)購進(jìn)量n應(yīng)使賣不完和賣完的概率之比，恰好等于賣出?一份所賺的錢與退回一份所賠的錢之比。顯然當(dāng)報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進(jìn)的份額就應(yīng)越多。
模型應(yīng)用
若每份報紙的購進(jìn)價為b=0.75，售出價為a=1元，退回價為c=0.6，需求量服從均值為=500份，均方差為=50份的正態(tài)分布，問報童每天應(yīng)購進(jìn)多少報紙才能使收入最高？
隨機(jī)存貯策略
問題提出
商店在一周中的銷售量是隨機(jī)的。每逢周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。訂貨依據(jù)的一種簡單策?略是制定一個下界 s和一個上界S。當(dāng)周末庫存小于s?時訂貨，否則不訂貨。且訂貨量使得下周初的存量達(dá)到 S，這種策略稱為(s, S)隨機(jī)存貯策略。
只考慮訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購進(jìn)費(fèi)，制訂(s, S)存貯策略,使(平均意義下)總費(fèi)用最小。
存貯策略(s, S)的優(yōu)劣與總費(fèi)用(平均意義下)，銷售量 的隨機(jī)規(guī)律及單項費(fèi)用有關(guān)。
模型假設(shè)
- 每次訂貨費(fèi)c0, 每件商品購進(jìn)價c1,每件商品一周貯存費(fèi)c2,每件商品缺貨損失費(fèi)c3 ?(c1<c3)
- 每周銷售量 r 隨機(jī)、連續(xù)，概率密度 p(r)
- 周末庫存量x, 訂貨量 u, 周初庫存量 x+u
- 一周的銷售是集中在周初進(jìn)行的，每周貯存量按 x+u-r?計算
模型分析
按照(s, S)策略的要求：
- 當(dāng)周末存貯量x≥s時，=0，
- 當(dāng)周末存貯量x<s時，>0，且x+=S，
確定s，S應(yīng)以總費(fèi)用最小為標(biāo)準(zhǔn)，因為r隨機(jī)，所以貯存量與缺貨量也是隨機(jī)的，致使一周的貯存費(fèi)和缺貨費(fèi)等也是隨機(jī)的。所以目標(biāo)函數(shù)應(yīng)取一周總費(fèi)用的期望值。
模型建立
?
模型求解
- ?1）設(shè) x<s, 求 u 使 J(u) 最小，確定S
由上式可知，S可通過概率比確定，而它使得平均費(fèi)用最小。
若購進(jìn)價c1一定時，貯存費(fèi)c2越小，缺貨費(fèi)c3越大，則S應(yīng)越大，這是符合常識的。
- ?2）對庫存 x，確定訂貨點s
模型評注?
在這個模型中，貯存費(fèi)用的計算是比較困難的，因為一般地，貯存費(fèi)應(yīng)與貯存時間有關(guān)，所以應(yīng)對一周內(nèi)貯存量的變化情況作出適當(dāng)?shù)募俣ā?/p>
按照模型假設(shè)4，設(shè)x=0, 貯存量Q在一周內(nèi)的變化情況,如圖所示
軋鋼中的浪費(fèi)
問題提出
把粗大的鋼坯變成合格的鋼材通常需要兩道工序。
第一道是粗軋(熱軋)， 形成鋼材的雛形。
第二道是精軋(冷軋)，得到規(guī)定的長度成品材。
粗軋時由于受設(shè)備、環(huán)境等眾多因素的影響，得到的鋼材的長度是隨機(jī)的，大體上呈正態(tài)分布，其均值可以在軋制過程中由軋機(jī)調(diào)整，而均方差則是由設(shè)備的精度決定的，不能隨意改變。
如果粗軋后的鋼材長度大于規(guī)定長度，則精軋切掉多余部分，造成浪費(fèi)。
如果粗軋鋼材長度小于規(guī)定長度，則整根報廢，造成更大的浪費(fèi)。
顯然應(yīng)綜合考慮這兩種因素，使得總的浪費(fèi)最小。
模型假設(shè)
設(shè)成品材的規(guī)定長度為l和粗軋后鋼材長度的均方差，?確定粗軋后鋼材長度的均值m，使得當(dāng)軋機(jī)調(diào)整到m進(jìn)行粗軋，再通過精軋以得到的成品材時總的浪費(fèi)最小。
模型分析
記粗軋時可以調(diào)整的均值為 m，則粗軋得到的鋼材長度x為正態(tài)隨機(jī)變量，記作 x~N(m, )
模型建立
選擇合適的目標(biāo)函數(shù)，并用已知的和待確定的量l, ,?m，把目標(biāo)函數(shù)表示出來。
粗軋一根鋼材總浪費(fèi)=切掉多余部分的浪費(fèi)+整根報廢的浪費(fèi)
粗軋N根鋼材，所用鋼材總長度mN，其中可以軋成成品材的只有PN根，成品材長度l PN。于是
浪費(fèi)總長度mN-lPN，粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)的長度為
得到一根成品材平均浪費(fèi)的長度為
?
略去常數(shù)l，選取目標(biāo)函數(shù)為
?實際上，J（m）恰好是平均每得到一根成品材所需鋼材的長度
?
模型求解
?模型應(yīng)用
例 設(shè)l=2(米), =20(厘米)，求m使浪費(fèi)最小。
?例 設(shè)l=2(米), =10(厘米)，求 m 使浪費(fèi)最小.
?
模型假定粗軋鋼材長度小于規(guī)定長度l→整根報廢，實際上這種鋼材還常常軋成較小規(guī)格如長為 l1(<l)的成品材，只有當(dāng)x<l1時才整根報廢。即粗軋鋼材長度在規(guī)定長度[l1, l]內(nèi)降級使用，減免浪費(fèi)。如何建立目標(biāo)函數(shù)？
?
若先軋N根鋼材，則成品材有NP根，降級材有NP1根，設(shè)每一根降級材可折合(<1)根成品材，那么選用每一根成品材浪費(fèi)的平均長度為目標(biāo)函數(shù)J，則
?
隨機(jī)人口模型
問題提出
已知初始人口并且給定了生育率、死亡率等數(shù)據(jù)后，可以按照確定性模型確切地預(yù)測未來的人口。
但是事實上，一個人的出生與死亡可以說是隨機(jī)事件，無法準(zhǔn)確預(yù)測。
之所以應(yīng)用確定性模型描述人口的發(fā)展，是因為考察的是一個國家或地區(qū)的數(shù)量很大的人口，用對總數(shù)而?言的平均生育率、死亡率代替出生、死亡的概率，將?人口作為連續(xù)型隨機(jī)變量處理。
如果研究的對象是一個村落或一個家族的人口，數(shù)量不大，需作為離散型隨機(jī)變量看待時，就要利用隨機(jī)人口模型來描述其變化過程了。
?模型假設(shè)
1)出生一人的概率與成正比，記；出生二人及二人以上的概率為o()。?
2)死亡一人的概率與成正比，記；死亡二人及二人以上的概率為o()。
3)出生和死亡是相互獨立的隨機(jī)事件。
模型建立
?按照全概率公式
?
?這是一組遞推微分方程，求解困難且不必要。
轉(zhuǎn)而求解X(t)的期望和方差。
模型求解
模型評注
這個隨機(jī)模型得到的人口期望值的結(jié)果與最簡單的確定性指數(shù)增長模型的結(jié)果相對應(yīng)。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-430184.html
本模型更積極的意義是可以描述一般的生滅過程, 如?電梯的升降、各種排隊系統(tǒng)等。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-430184.html
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