前提

一維的無人機系統(tǒng)，考慮起點的狀態(tài)以及終點的狀態(tài)，所以只考慮一個X軸，考慮這個軸上的參數(shù)的變化?，F(xiàn)將X(t)進行多項式的參數(shù)化。最高次數(shù)可以自己選擇，看提供的自由度。


通過初始條件來求得以上方程的解，但是因為給出的兩個解，最后肯定會求得很多的解，那么困難的一點就是如何從所得的解當(dāng)中求得一個最優(yōu)的解。

翻譯成人話就是：給定兩個狀態(tài)，初始狀態(tài)與末尾狀態(tài)，怎么去得到這兩個狀態(tài)之間的連線，軌跡生成的有關(guān)問題。

方法：最優(yōu)控制當(dāng)中的最小值原理

這也是一個現(xiàn)代的變分法，是一種很成熟的解決控制問題的方法，具體步驟如下：

1. 構(gòu)建哈密頓函數(shù)
2. 構(gòu)建正則方程組
3. 最小值原理
4. 相軌跡分析
5. 確定最優(yōu)量
   
   哈密頓函數(shù)的構(gòu)造，看性能指標(biāo)，引入拉格朗日乘子，此性能指標(biāo)綜合了拉格朗日性能指標(biāo)以及梅耶性能指標(biāo)。
   
   在最優(yōu)控制當(dāng)中，最小值原理是包括終端的狀態(tài)以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移當(dāng)中的一個能量的損耗。
   
   這就是極小值原理當(dāng)中的正則方程組。
   
   這上面的PPT可能不太好理解，我把最優(yōu)控制教材中的PPT放出來應(yīng)該就會好理解一點。
   
   這兩個表達式就是上方剛剛所得的求偏導(dǎo)的表達式，也稱作是正則方程組。
   
   
   不太理解的小伙伴可以去看一下王青老師的《最優(yōu)控制》教材。

Equation

現(xiàn)在的性能指標(biāo)相比上述的波爾扎型性能指標(biāo)少掉了終端的狀態(tài)，因為無論如何這個系統(tǒng)都是要到達終端狀態(tài)的，所以這是一個硬約束，所以不寫h，如果到達了終點，h是0的，如果沒到，h是無窮大的。

Solving

關(guān)于lambda的那一組狀態(tài)空間的解是如何解出的，因為lambda的偏導(dǎo)數(shù)是(0,-lambda1,-lambda2)，所以可知lambda1的偏導(dǎo)為0，所以積分，得到lambda1=a(記作a)，再代入到lambda2當(dāng)中，lambda2的導(dǎo)數(shù)等于-lambda1，所以就再兩邊積分，得到lambda2=-at+c1(c1為常數(shù))，依次類推就可以推出lambda3，就可得到lambda(t)的狀態(tài)空間解。

寫成lambda(t)的那種形式，是因為后面求解起來更方便，其實都是一樣的。

之前求lambda當(dāng)中的常數(shù)是要通過邊界條件進行求解的，但是現(xiàn)在沒有h，是不可導(dǎo)的，所以只能通過其他的條件進行求解。

而且還已知了s的導(dǎo)數(shù)，所以可以對s進行積分，把s的表達式給確定出來。仔代入s0的初始條件，就可以得出s的最優(yōu)解。

現(xiàn)在關(guān)于J，是一個包含T的多項式，所以可以對T一直進行求導(dǎo)，最后肯定會得到一個T的最優(yōu)解，
這一步是最復(fù)雜的求T得操作。

Application

無人機計算最優(yōu)的軌跡。

無人車是沒有側(cè)滑的軌跡。

工程上常用–Trajectory Library

從軌跡庫當(dāng)中生成一系列段軌跡，然后再根據(jù)回報進行打分，看看哪個軌跡通過我們這個打分函數(shù)能得到一個最小的代價，之后再選擇所需要的軌跡去執(zhí)行就是了。

啟發(fā)式函數(shù)的加入

不考慮障礙物，只考慮兩點的距離。

在A*當(dāng)中的啟發(fā)式函數(shù)算的cost是隔點與隔點之間的距離，而現(xiàn)在因為考慮機器人運動學(xué)模型，cost就是要考慮結(jié)點與結(jié)點之間的feasible motion connections。

Planning in Frenet-serret Frame

自動駕駛當(dāng)中的常用算法。


同樣的可以使用OBVP最優(yōu)控制的方法來解決。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-413145.html

到了這里，關(guān)于Boundary Value Problem (BVP) 兩點邊界最優(yōu)控制問題的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！