前面介紹了變分法與極小值原理的基礎(chǔ)思想，之后有一個非常重要的應(yīng)用就是線性二次型的最優(yōu)控制問題。假如系統(tǒng)是線性的，性能泛函是狀態(tài)變量與控制變量的二次型函數(shù)的積分，那么這樣的問題稱之為線性二次型最優(yōu)控制問題。形如：
上式中，Q1為狀態(tài)加權(quán)矩陣，Q2為控制加權(quán)矩陣，Q0為終端加權(quán)矩陣。(有些書中把Q2矩陣寫作R矩陣)
在實際應(yīng)用中，Q1，Q2是對稱矩陣并且常取對角陣。
在實際的應(yīng)用中，第一項為 Lx = 1/2 * xT * Q1 * x，其中x表示狀態(tài)誤差，x越大，代價函數(shù)Lx越大，Q1的對角線上的元素q1i表示的是對應(yīng)誤差分量xi的重視程度，越被重視的誤差分量，就希望它越小，相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)就取得越大：
例如上式，對x1更重視，就把q11設(shè)置得更大一點。
被積函數(shù)中的第二項 Lu = 1/2 * uT * Q2 * u，代表動態(tài)過程中對控制的約束與要求。一般就取單位陣就可以。
被積函數(shù)中的第三項突出了對終端誤差的要求，看自身需求來確定，在有些場合需要，在有些場合不需要。
對于一般的系統(tǒng)，如何進行求解？可以按照下面的步驟：
對于以上的一般系統(tǒng)，可以先構(gòu)造哈密頓函數(shù)：
之后根據(jù)最優(yōu)控制求出最優(yōu)控制時的控制量u的表達(dá)式，之后根據(jù)正則方程，將最優(yōu)的u帶入進去，得到一個最優(yōu)軌跡的表達(dá)式以及λ：
之后引入一個新的矩陣P來表示λ與x的關(guān)系：λ = Px，之后便可以由P表示出最優(yōu)控制率K，之后再將引入控制器的u帶入回原系統(tǒng)(此時u可以由x來表示，因此可以合并)，得到原系統(tǒng)的閉環(huán)表達(dá)式，之后便可以得到一個黎卡提方程：
以上只是演示一下推導(dǎo)的步驟，實際上當(dāng)然不需要這么繁瑣，這個黎卡提方程也不需要我們每次都手算，由matlab，我們可以得到一個matlab推薦的值，不過這個黎卡提的一般求解方法也確實是一個世界難題。
實例：
假設(shè)我們有一個比較簡單的系統(tǒng)：x_dot = x + u，性能泛函就是線性二次型性能泛函的一般形式，那么按照這個步驟，便可以求出一個最優(yōu)控制率：
其實使用matlab的話，是可以直接得到這個矩陣K的，之后代入就可以了，我自己做了一個簡單的sumilink模型來驗證一下：
按照那個方程畫出模型：
之后就可以看出最后的控制效果：文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-448825.html
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