本文參考錢杏芳等編著的《導彈飛行力學》

前言

坐標系是為描述導彈位置和運動規(guī)律而選取的參考基準。為了準確，簡潔和清晰的描述導彈的運動方程，我們需要選取合適的坐標系并熟練掌握坐標系之間的轉(zhuǎn)換。本文介紹了地面坐標系、彈體坐標系、彈道坐標系和速度坐標系四種坐標系的定義以及各坐標系之間的變換過程。

一、導彈常用的四種坐標系

1.地面坐標系

O-X-Y-Z坐標系

'OX軸'：彈道（航跡）面與水平面的交線,指向目標為正；

'OY軸'：垂直于OX軸，沿著垂線向上；

'OZ軸'：根據(jù)右手定則判斷。

隨地球自轉(zhuǎn)而自轉(zhuǎn)，相對地面靜止。

2.彈體坐標系

O-Xt-Yt-Zt坐標系

'OXt軸'：導彈的縱軸，指向彈頭為正；

'OYt軸'：位于導彈的對稱面，并垂直于OXt軸；

'OZt軸'：根據(jù)右手定則判斷。

3.彈道坐標系

O-Xd-Yd-Zd坐標系

'OXd軸'：與速度矢量重合；

'OYd軸'：位于鉛垂面，并垂直于OXd軸；

'OZd軸'：根據(jù)右手定則判斷。

4.速度坐標系

O-Xa-Ya-Za坐標系

'OXa軸'：與速度矢量重合；

'OYa軸'：位于導彈對稱面，并垂直于OXa軸；

'OZa軸'：根據(jù)右手定則判斷。

二、坐標系之間的變換

以2維坐標系變換為例：

由上圖可得如下關(guān)系：
$$\begin{array}{l}{x}^{{}^{\prime }}=x\cos \theta ?y\sin \theta \\ y^{{}^{\prime }}=x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$$
改寫成矩陣形式為：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & ?\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$
所以$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & ?\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$為坐標系$oxy$到$o{x}^{{}^{\prime }}{y}^{{}^{\prime }}$的變換矩陣。

1.地面坐標系 =>彈體坐標系

坐標變換可表示為
$$?\begin{array}{c}{x}_t\\ y_t\\ z_t\end{array}?=C_{tg}?\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}?$$
其中$C_{tg}$為變換矩陣。
變換過程如圖所示：

俯仰角 $?$ ：導彈縱軸與水平面的夾角；
偏航角 $\psi$ ：彈體坐標系縱軸在水平面上的投影$o{x}^{{}^{\prime }}$與地面坐標系$ox$軸的夾角；
傾斜角 $\gamma$ ：$y_t$軸與鉛錘面($o{x}^{{}^{\prime }}{y}^{{}^{\prime }}$)的夾角。

變換過程如下：
1.繞地面坐標系$oy$軸旋轉(zhuǎn)$\psi$角度，則變換矩陣為：
$$L(\psi )=?\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& ?\sin \psi \\ 0& 1& 0\\ \sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}?$$
2.繞過渡坐標系$o{z}^{{}^{\prime }}$旋轉(zhuǎn)$?$角度，則變換矩陣為：
$$L(\theta )=?\begin{array}{ccc}\cos ?& \sin ?& 0\\ ?\sin ?& \cos ?& 0\\ 0& 0& 1\end{array}?$$

3.繞彈體坐標系$o{x}_t$軸旋轉(zhuǎn)$\gamma$角度，則變換矩陣為：
$$L(\gamma )=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ \cos \gamma & \sin \gamma & 0\\ ?\sin \gamma & \cos \gamma & 0\end{array}?$$

所以變換矩陣$C_{tg}=L(\gamma )L(?)L(\psi )$。

2.地面坐標系=>彈道坐標系

由于彈道坐標系與地面坐標系的z軸均在水平面內(nèi)，因此只需要兩個角就可以進行坐標系變換。

坐標變換可表示為
$$?\begin{array}{c}{x}_d\\ y_d\\ z_d\end{array}?=C_{dg}?\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}?$$
其中$C_{dg}$為變換矩陣。
變換過程如圖所示：

彈道傾角$\theta$：速度矢量$V$與水平面之間的夾角；
彈道偏角${\psi }_v$:：速度矢量$V$在水平面的投影$o{x}^{{}^{\prime }}$與地面坐標系$ox$軸的夾角。

變換過程如下：
1.繞地面坐標系$oy$軸旋轉(zhuǎn)${\psi }_v$角度，則變換矩陣為：
$$L({\psi }_v)=?\begin{array}{ccc}\cos {\psi }_v& 0& ?\sin {\psi }_v\\ 0& 1& 0\\ \sin {\psi }_v& 0& \cos {\psi }_v\end{array}?$$
2.繞彈道坐標系$o{z}_d$旋轉(zhuǎn)$\theta$角度，則變換矩陣為：
$$L(\theta )=?\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ ?\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}?$$

所以變換矩陣$C_{dg}=L(\theta )L({\psi }_v)$。

3.速度坐標系=>彈體坐標系

由于速度坐標系與彈體坐標系的y軸均在導彈對稱面內(nèi)，因此只需要兩個角就可以進行坐標系變換。

坐標變換可表示為
$$?\begin{array}{c}{x}_t\\ y_t\\ z_t\end{array}?=C_{ta}?\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}?$$
其中$C_{ta}$為變換矩陣。
變換過程如圖所示：

攻角$\alpha$：導彈縱軸$o{x}_t$與水平面之間的夾角；
側(cè)滑角$\beta$：導彈縱軸在水平面的投影$o{x}^{{}^{\prime }}$與速度坐標系$o{x}_a$軸的夾角。
變換過程如下：
1.繞速度坐標系$o{y}_a$軸旋轉(zhuǎn)$\alpha$角度，則變換矩陣為：
$$L(\alpha )=?\begin{array}{ccc}\cos \alpha & 0& ?\sin \alpha \\ 0& 1& 0\\ \sin \alpha & 0& \cos \alpha \end{array}?$$
2.繞彈體坐標系$o{z}_t$旋轉(zhuǎn)$\beta$角度，則變換矩陣為：
$$L(\beta )=?\begin{array}{ccc}\cos \beta & \sin \beta & 0\\ ?\sin \beta & \cos \beta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}?$$
所以變換矩陣$C_{ta}=L(\beta )L(\alpha )$。

4.彈道坐標系=>速度坐標系

由于彈道坐標系和速度坐標系的x軸均與速度矢量重合，因此只需要一個角就可以完成坐標變換。

坐標變換可表示為
$$?\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}?=C_{ad}?\begin{array}{c}{x}_d\\ y_d\\ z_d\end{array}?$$
其中$C_{ad}$為變換矩陣。
變換過程如圖所示：

速度傾斜角${\gamma }_v$：速度坐標系$o{y}_a$軸與鉛垂面($o{x}_d{y}_d$)之間的夾角。
變換過程如下：
1.繞彈道坐標系$o{x}_d$軸旋轉(zhuǎn)${\gamma }_v$角度，則變換矩陣為：
$$L({\gamma }_v)=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ \cos {\gamma }_v& \sin {\gamma }_v& 0\\ ?\sin {\gamma }_v& \cos {\gamma }_v& 0\end{array}?$$
所以變換矩陣$C_{ad}=L({\gamma }_v)$。

總結(jié)

導彈坐標系及坐標系之間的變換是導彈運動及控制的研究基礎。上述四種坐標系的變換可總結(jié)為下圖所示，這樣我們就可以通過角度進行任意坐標系之間的變換了。

文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-408338.html

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