0 專欄介紹

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??詳情：圖解自動(dòng)駕駛中的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃(Motion Planning)，附幾十種規(guī)劃算法

1 什么是B樣條曲線？

為了解決貝塞爾曲線無(wú)法局部修正、控制性減弱、曲線次數(shù)過(guò)高、不易拼接的缺陷，引入B樣條曲線(B-Spline)。對(duì)貝塞爾曲線不了解的同學(xué)請(qǐng)看曲線生成 | 圖解貝塞爾曲線生成原理(附ROS C++/Python/Matlab仿真)

B樣條曲線是一種用于表示和描繪曲線的數(shù)學(xué)工具，它在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)和數(shù)值分析等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。其名稱中的B代表了基本(basis)，而樣條則是在各個(gè)領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的一種繪制曲線的技術(shù)，例如計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、物理學(xué)模擬、金融和經(jīng)濟(jì)分析等。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，樣條通常用于創(chuàng)建平滑的曲線和曲面，以便在三維場(chǎng)景中呈現(xiàn)出更真實(shí)的效果。在物理學(xué)模擬中，樣條可用于描述物體的運(yùn)動(dòng)軌跡和變形過(guò)程。

B樣條曲線的性質(zhì)包括平滑性、局部控制性、遞歸計(jì)算和多項(xiàng)式插值。通過(guò)調(diào)整控制點(diǎn)的位置、權(quán)重和節(jié)點(diǎn)序列，可以改變B樣條曲線的形狀，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線的精確控制。B樣條曲線常用于描述自然曲線和復(fù)雜曲線，如汽車外形、飛機(jī)機(jī)翼、藝術(shù)造型等。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，B樣條曲線可以用來(lái)生成圓滑的曲線路徑，進(jìn)行形狀建模和渲染，以及實(shí)現(xiàn)動(dòng)畫(huà)效果等。

在運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中，B樣條曲線也是一種很強(qiáng)大的曲線生成和軌跡優(yōu)化工具，接下來(lái)介紹其基本原理。

2 基函數(shù)的de Boor遞推式

B樣條曲線的核心是具有局部性的基函數(shù)(Basic function)——當(dāng)改變一個(gè)控制節(jié)點(diǎn)時(shí)，只會(huì)變動(dòng)該點(diǎn)旁邊有限段曲線(樣條曲線則需要重新計(jì)算整條曲線，因?yàn)樗梢唤M控制點(diǎn)唯一確定)，而非“牽一發(fā)動(dòng)全身”。如圖所示給出了B樣條與貝塞爾曲線基函數(shù)的區(qū)別。

采用Cox-de Boor遞推定義B樣條曲線的基函數(shù)

$$N_{i,k}\left(t\right)=\frac{t?t_i}{t_{i+k}?t_i}{N}_{i,k?1}\left(t\right)+\frac{t_{i+k+1}?t}{t_{i+k+1}?t_{i+1}}{N}_{i+1,k?1}\left(t\right)$$

其中$N_{i,k}\left(t\right)$稱為第$i$個(gè)控制節(jié)點(diǎn)的$k$次($k+1$階)B樣條基函數(shù)，$i=0,1,?,n?1$，$k?1$且規(guī)定$0/0=0$。特別地，有

$$N_{i,0}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}1,t\in \left[t_i,t_{i+1}\right)\\ 0,\mathrm{otherwise}\end{array}$$

即高次B樣條基函數(shù)為若干低次B樣條基函數(shù)的線性組合。$N_{i,k}\left(t\right)$的次數(shù)$k$與控制節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)$n$無(wú)關(guān)，因此B樣條曲線自由度更大——允許定義多個(gè)控制點(diǎn)而不用擔(dān)心曲線次數(shù)過(guò)高導(dǎo)致計(jì)算困難。

3 B樣條曲線基本概念圖解

B樣條曲線定義為用基函數(shù)加權(quán)的控制節(jié)點(diǎn)

$$\mathbf{P}\left(t\right)=\sum _{i=0}^{n?1}{\mathbf{p}}_i{N}_{i,k}\left(t\right),t\in \left[t_k,t_n\right)$$

其中 T = { t 0 , t 1 , ? ? , t m ? 1 } T=\left\{ t_0,t_1,\cdots ,t_{m-1} \right\} T={t0?,t1?,?,tm?1?}是一個(gè)一維單調(diào)非遞減序列，稱為節(jié)點(diǎn)向量(knot vector)，其中的元素$t_i$稱為節(jié)點(diǎn)(knot)，區(qū)間$\left[t_i,t_{i+1}\right)$稱為第$i$個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間(knot range)，節(jié)點(diǎn)在樣條曲線上的映射$\mathbf{P}\left(t_i\right)$稱為曲節(jié)點(diǎn)(knot point)。

在節(jié)點(diǎn)向量中，若某節(jié)點(diǎn)$t_i$出現(xiàn)$l$次，則稱$t_i$是重復(fù)度為$l$的多重節(jié)點(diǎn)，否則為簡(jiǎn)單節(jié)點(diǎn)。與貝塞爾曲線不同，僅當(dāng)B樣條曲線首末節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為$k+1$時(shí)，曲線本身才穿過(guò)首末控制點(diǎn)。

接下來(lái)分析B樣條曲線的局部支撐性?；瘮?shù)$N_{i,k}\left(t\right)$在區(qū)間$\left[t_i,t_{i+k+1}\right]$上非零，因?yàn)樵搮^(qū)間上總存在不為零的零階基函數(shù)$N_{i,0}$，該區(qū)間稱為支撐區(qū)間，對(duì)應(yīng)樣條曲線上的區(qū)段稱為支撐曲線。由于$N_{i,k}\left(t\right)$直接與控制節(jié)點(diǎn)${\mathbf{p}}_i$相乘，所以${\mathbf{p}}_i$只影響其支撐區(qū)間$\left[t_i,t_{i+k+1}\right]$上對(duì)應(yīng)支撐曲線的形狀。所以B樣條曲線也可視為若干段貝塞爾曲線的拼接，是貝塞爾曲線的推廣，相鄰貝塞爾曲線間存在若干重合節(jié)點(diǎn)，保留了對(duì)稱性、幾何不變性、變差伸縮性等優(yōu)良特性。

為使每個(gè)控制節(jié)點(diǎn)都有合法的支撐區(qū)間與之匹配，節(jié)點(diǎn)數(shù)量應(yīng)滿足

$$m=n+k+1$$

B樣條曲線的次數(shù)指基函數(shù)多項(xiàng)式的最高次數(shù)，階數(shù)則可視為控制節(jié)點(diǎn)${\mathbf{p}}_i$所影響的節(jié)點(diǎn)數(shù)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)區(qū)間$\left[t_i,t_{i+1}\right)$上的非零$k$次基函數(shù)達(dá)到最大數(shù)量$k+1$個(gè)時(shí)，令其滿足

$$\sum _{j=i?k}^i{N}_{j,k}=1$$

稱為基函數(shù)的加權(quán)性質(zhì)。顯然，對(duì)于$k$次基函數(shù)，節(jié)點(diǎn)區(qū)間$\left[t_0,t_k\right)$與$\left[t_n,t_{n+k}\right)$上的非零基函數(shù)不足$k+1$個(gè)，它們的加權(quán)和不為零，在這些區(qū)間計(jì)算B樣條曲線會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，因此B樣條曲線定義在區(qū)間$\left[t_k,t_n\right)$上。如圖所示是關(guān)于B樣條曲線定義區(qū)間的實(shí)例說(shuō)明。

4 節(jié)點(diǎn)生成公式

B樣條曲線由控制節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)向量唯一確定，通過(guò)改變節(jié)點(diǎn)向量中節(jié)點(diǎn)的分布特征，可以構(gòu)造不同類型的B樣條曲線

• 均勻B樣條曲線(Uniform B-Spline Curve)

  節(jié)點(diǎn)向量中的節(jié)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸方向等距離均勻分布，所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間等距，即$t_{i+1}?t_i=\mathrm{const}>0,i=0,1,?,n+k$

• 準(zhǔn)均勻B樣條曲線(quasi-Uniform B-Spline Curve)

  節(jié)點(diǎn)向量中的首末節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為$k+1$，其余節(jié)點(diǎn)沿?cái)?shù)軸方向等距均勻分布且重復(fù)度為1?？梢宰C明該情況下，當(dāng)$k=n$時(shí)，B樣條基函數(shù)$N_{i,k}\left(t\right)$退化為伯恩斯坦多項(xiàng)式，即B樣條曲線退化為貝塞爾曲線。

• 非均勻B樣條曲線(non-Uniform B-Spline Curve)

  節(jié)點(diǎn)向量任意分布

節(jié)點(diǎn)生成通常有兩種方法：

• 均勻法
  $$?\begin{array}{l}{t}_0=t_1=?=t_k=0\\ t_{k+i}=\frac{i}{n?k+1},i=1,2,?,n?k?1\\ t_n=t_{n+1}=?=t_{n+k}=1\end{array}$$
  該方法不依賴于參數(shù)選擇。
• De Boor法
  $$?\begin{array}{l}{t}_0=t_1=?=t_k=0\\ t_{k+i}=\frac{1}{k}{\sum }_{j=i}^{i+k?1}{u}_j,i=1,2,?,n?k?1\\ t_n=t_{n+1}=?=t_{n+k}=1\end{array}$$
  該方法對(duì)選擇的參數(shù)進(jìn)行窗口平滑。

下一節(jié)將繼續(xù)介紹B樣條曲線的計(jì)算算法——近似和插值應(yīng)用，并給出代碼實(shí)現(xiàn)。

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