1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃概述???
?????????動(dòng)態(tài)規(guī)劃（Dynamic Programming，簡(jiǎn)稱DP）是一種解決多階段決策問(wèn)題的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法。它將原問(wèn)題分解成若干個(gè)子問(wèn)題，通過(guò)解決子問(wèn)題只需解決一次并將結(jié)果保存下來(lái)，從而避免了重復(fù)計(jì)算，提高了算法效率。
? ? ? ? 通俗來(lái)講，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法是解決一類具有重疊子問(wèn)題和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)的問(wèn)題的有效方法。其基本原理是將大問(wèn)題分解為小問(wèn)題，通過(guò)保存中間結(jié)果來(lái)避免重復(fù)計(jì)算，從而提高算法的效率。
????????動(dòng)態(tài)規(guī)劃主要包括兩個(gè)要素：最優(yōu)子結(jié)構(gòu)和重疊子問(wèn)題。
2 基本概念
-
最優(yōu)子結(jié)構(gòu)（Optimal Substructure）： 問(wèn)題的最優(yōu)解可以由其子問(wèn)題的最優(yōu)解遞歸地構(gòu)建而成。
-
重疊子問(wèn)題（Overlapping Subproblems）： 問(wèn)題可以被分解成若干個(gè)相同的子問(wèn)題，這些子問(wèn)題會(huì)被反復(fù)解決。
-
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程（State Transition Equation）： 用于描述問(wèn)題的狀態(tài)和狀態(tài)之間的關(guān)系，通過(guò)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移得到最終問(wèn)題的解。
3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法步驟
定義狀態(tài)：確定問(wèn)題的狀態(tài)，將大問(wèn)題分解為子問(wèn)題，并確定子問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)。
建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：根據(jù)題目要求或者問(wèn)題的定義，建立子問(wèn)題之間的遞推關(guān)系。
初始化：確定初始狀態(tài)的值。
遞推求解：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，自底向上地求解問(wèn)題，直到得到最終的結(jié)果。
輸出結(jié)果：根據(jù)最終的狀態(tài)求解結(jié)果。
4 應(yīng)用
????????動(dòng)態(tài)規(guī)劃廣泛應(yīng)用于解決一些優(yōu)化問(wèn)題，如最短路徑問(wèn)題、最長(zhǎng)公共子序列、背包問(wèn)題等。以下是一些常見(jiàn)的應(yīng)用場(chǎng)景：
最短路徑問(wèn)題： 比如 Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法。
背包問(wèn)題： 包括 0/1 背包問(wèn)題和背包問(wèn)題的變種。
最長(zhǎng)公共子序列： 求解兩個(gè)序列的最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度。
字符串編輯距離： 計(jì)算兩個(gè)字符串之間的最小編輯操作次數(shù)，包括插入、刪除和替換。
最大子數(shù)組和： 求解數(shù)組中連續(xù)子數(shù)組的最大和。
詳解與示例：
讓我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題為例，來(lái)詳細(xì)解釋動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用。
示例1： 假設(shè)有一個(gè)數(shù)組 nums，求解其連續(xù)子數(shù)組的最大和
動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法：
定義狀態(tài)： 設(shè)
dp[i]為以nums[i]結(jié)尾的連續(xù)子數(shù)組的最大和。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])，即當(dāng)前位置的最大和要么是之前的最大和加上當(dāng)前元素，要么是當(dāng)前元素本身。初始化：
dp[0] = nums[0]，數(shù)組的第一個(gè)元素作為初始值。遍歷： 從數(shù)組的第二個(gè)元素開始遍歷，更新
dp[i]。最終結(jié)果： 最大的
dp[i]即為所求。
def max_subarray_sum(nums):
n = len(nums)
dp = [0] * n
dp[0] = nums[0]
for i in range(1, n):
dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
return max(dp)
# 示例
nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
result = max_subarray_sum(nums)
print(result) # 輸出 6，對(duì)應(yīng)子數(shù)組 [4, -1, 2, 1]
示例2：求解斐波那契數(shù)列
def fibonacci(n):
if n <= 1:
return n
dp = [0] * (n + 1)
dp[1] = 1
for i in range(2, n + 1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
return dp[n]??? 在上述例子中，以求解斐波那契數(shù)列為例，簡(jiǎn)要說(shuō)明動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的應(yīng)用：我們定義了一個(gè)狀態(tài)數(shù)組dp來(lái)存儲(chǔ)中間結(jié)果，dp[i]表示第i個(gè)斐波那契數(shù)。通過(guò)循環(huán)遍歷，我們利用遞推關(guān)系dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]來(lái)計(jì)算每個(gè)斐波那契數(shù)，最終得到結(jié)果。 ????動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如路徑規(guī)劃、圖像處理、自然語(yǔ)言處理等。其思想核心是將問(wèn)題劃分為更小的子問(wèn)題，并通過(guò)保存中間計(jì)算結(jié)果來(lái)提高計(jì)算效率和減少重復(fù)計(jì)算。
5 常用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法
????????動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種通過(guò)將原問(wèn)題分解為相互重疊的子問(wèn)題，并通過(guò)已解決的子問(wèn)題的解來(lái)求解原問(wèn)題的方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法通常用于優(yōu)化問(wèn)題，其中需要做出一系列決策，每個(gè)決策都會(huì)影響到后續(xù)的決策。以下是一些常見(jiàn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法：
0/1 背包問(wèn)題： 已經(jīng)介紹過(guò)，目標(biāo)是選擇一組物品放入背包，使得總重量不超過(guò)背包容量且總價(jià)值最大。
最長(zhǎng)遞增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）： 尋找給定序列中的最長(zhǎng)遞增子序列的長(zhǎng)度。
最長(zhǎng)公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）： 給定兩個(gè)序列，找到它們的最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度。
最小編輯距離（Edit Distance）： 通過(guò)一系列編輯操作（插入、刪除、替換）將一個(gè)字符串轉(zhuǎn)換為另一個(gè)字符串，求最小的編輯距離。
最短路徑問(wèn)題： 例如，單源最短路徑（Dijkstra算法、Bellman-Ford算法）、全源最短路徑（Floyd-Warshall算法）。
最大子數(shù)組和問(wèn)題（Maximum Subarray Sum）： 尋找給定數(shù)組中和最大的連續(xù)子數(shù)組。
背包問(wèn)題的變種： 包括多重背包、完全背包、分?jǐn)?shù)背包等。
區(qū)間調(diào)度問(wèn)題： 給定一組區(qū)間，找到最大的不重疊子集。
最長(zhǎng)回文子序列： 尋找給定字符串的最長(zhǎng)回文子序列的長(zhǎng)度。
切割鋼條問(wèn)題： 給定一根長(zhǎng)度為n的鋼條和一個(gè)價(jià)格表，求切割鋼條的方式，使得銷售總收益最大。文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-809810.html
????????這只是動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用的一小部分，實(shí)際上，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用于解決各種優(yōu)化問(wèn)題。每個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題都有其獨(dú)特的狀態(tài)定義、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和初始條件。通常，動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題可以分為自頂向下（遞歸加記憶化搜索）和自底向上（迭代）兩種解法。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-809810.html
到了這里，關(guān)于【動(dòng)態(tài)規(guī)劃】動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法基本概念，原理應(yīng)用和示例代碼的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
