????????時間序列也稱動態(tài)序列，是指將某種現(xiàn)象的指標(biāo)數(shù)值按照時間順序排列而成的數(shù)值序列。時間序列分析大致可分成三大部分，分別是描述過去、分析規(guī)律和預(yù)測未來，本講將主要介紹時間序列分析中常用的三種模型：季節(jié)分解、指數(shù)平滑方法和ARIMA模型，并將結(jié)合Spss軟件對時間序列數(shù)據(jù)進行建模。

注：本文源于數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)交流相關(guān)公眾號觀看學(xué)習(xí)視頻后所作

時間序列

時間序列數(shù)據(jù)：

對同一對象在不同時間連續(xù)觀察所取得的數(shù)據(jù)。

例如：
（1）從出生到現(xiàn)在，你的體重的數(shù)據(jù)（每年生日稱一次)。
（2）中國歷年來GDP的數(shù)據(jù)。
（3）在某地方每隔一小時測得的溫度數(shù)據(jù)。

時間序列概念

????????時間序列也稱動態(tài)序列，是指將某種現(xiàn)象的指標(biāo)數(shù)值按照時間順序排列而成的數(shù)值序列。

時間序列由兩個組成要素構(gòu)成：
（1）第一個要素是時間要素：?年、季度、月、周、日、小時、分鐘、秒
（2）第二個要素是數(shù)值要素。

時間序列根據(jù)時間和數(shù)值性質(zhì)的不同，可以分為時期時間序列和時點時間序列。

時期序列中，數(shù)值要素反映現(xiàn)象在一定時期內(nèi)發(fā)展的結(jié)果；
時點序列中，數(shù)值要素反映現(xiàn)象在一定時點上的瞬間水平。

區(qū)分時期和時點時間序列

例如：
（1）從出生到現(xiàn)在，你的體重的數(shù)據(jù)（每年生日稱一次)。
（2）中國歷年來GDP的數(shù)據(jù)。
（3）在某地方每隔一小時測得的溫度數(shù)據(jù)。
????????????????（1）和（3）是時點時間序列；（2）是時期時間序列

時期序列可加，時點序列不可加。

????????時期序列中的觀測值反映現(xiàn)象在一段時期內(nèi)發(fā)展過程的總量，不同時期的觀測值可以相加，相加結(jié)果表明現(xiàn)象在更長一段時間內(nèi)的活動總量； 而時點序列中的觀測值反映現(xiàn)象在某一瞬間上所達(dá)到的水平，不同時期的觀測值不能相加，相加結(jié)果沒有實際意義。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （灰色預(yù)測模型里面有一個累加的過程）

時間序列分解

????????因為時間序列是某個指標(biāo)數(shù)值長期變化的數(shù)值表現(xiàn)，所以時間序列數(shù)值變化背后必然蘊含著數(shù)值變換的規(guī)律性，這些規(guī)律性就是時間序列分析的切入點。

一般情況下，時間序列的數(shù)值變化規(guī)律有以下四種：

一個時間序列往往是以上四類變化形式的疊加。

長期趨勢：T

????????長期趨勢 (Secular trend,T) 指的是統(tǒng)計指標(biāo)在相當(dāng)長的一段時間內(nèi)，受到長期趨勢影響因素的影響，表現(xiàn)出持續(xù)上升或持續(xù)下降的趨勢，通常用字母 T 表示。例如，隨著國家經(jīng)濟的發(fā)展，人均收入將逐漸提升；隨著醫(yī)學(xué)水平的提高，新生兒死亡率在不斷下降。

季節(jié)趨勢：S

????????季節(jié)趨勢(Seasonal Variation,S)是指由于季節(jié)的轉(zhuǎn)變使得指標(biāo)數(shù)值發(fā)生周期性變動。這里的季節(jié)是廣義的，一般以月、季、周為時間單位，不能以年作單位。例如雪糕和棉衣的銷量都會隨著季節(jié)氣溫的變化而周期變化。每年的長假（五一、十一、春節(jié)）都會引起出行人數(shù)的大量增加。

百度指數(shù) (baidu.com)

循環(huán)變動：C

????????循環(huán)變動（Cyclical Variation,C）與季節(jié)變動的周期不同，循環(huán)變動通常以若干年為周期，在曲線圖上表現(xiàn)為波浪式的周期變動。這種周期變動的特征表現(xiàn)為增加和減少交替出現(xiàn)，但是并不具嚴(yán)格規(guī)則的周期性連續(xù)變動。最典型的周期案例就是市場經(jīng)濟的商業(yè)周期和的整個國家的經(jīng)濟周期。

不規(guī)則變動：I

????????不規(guī)則變動（Irregular Variation,I）是由某些隨機因素導(dǎo)致的數(shù)值變化，這些因素的作用是不可預(yù)知和沒有規(guī)律性的，可以視為由于眾多偶然因素對時間序列造成的影響（在回歸中又被稱為擾動項）。

????????以上四種變動就是時間序列數(shù)值變化的分解結(jié)果。有時這些變動會同時出現(xiàn)在一個時間序列里面，有時也可能只出現(xiàn)一種或幾種，這是由引起各種變動的影響因素決定的。正是由于變動組合的不確定性，時間序列的數(shù)值變化才那么千變?nèi)f化。

四種變動與指標(biāo)數(shù)值最終變動的關(guān)系可能是疊加關(guān)系，也可能是乘積關(guān)系。

疊加模型和乘積模型

（1）如果四種變動之間是相互獨立的關(guān)系，那么疊加模型可以表示為：

（2）如果四種變動之間存在相互影響關(guān)系，那么應(yīng)該使用乘積模型：

注意：?

（1）數(shù)據(jù)具有年內(nèi)的周期性時才能使用時間序列分解，例如數(shù)據(jù)是月份數(shù)據(jù)(周期為12)、季度數(shù)據(jù)(周期為4) ，如果是年份數(shù)據(jù)則不行。
（2）在具體的時間序列圖上，如果隨著時間的推移，序列的季節(jié)波動變得越來越大，則反映各種變動之間的關(guān)系發(fā)生變化，建議使用乘積模型；反之，如果時間序列圖的波動保持恒定，則可以直接使用疊加模型；當(dāng)然，如果不存在季節(jié)波動，則兩種分解均可以。

小例子

隨著時間變化，搜索美賽數(shù)據(jù)的季節(jié)波動越來越大，那么使用乘積模型會更精確。

隨著時間變化，銷售數(shù)據(jù)的季節(jié)波動越來越大，那么使用乘積模型會更精確。

Spss操作

Spss處理時間序列中的缺失值

（1） 缺失值發(fā)生在時間序列的開頭或者尾部，可采用直接刪除的方法。
（2）缺失值發(fā)生在序列的中間位置，則不能刪除（刪除后原有的時間序列會錯位），可采用替換缺失值的方法。

替換缺失值的五種方法

Spss定義時間變量

時間序列圖（時序圖）

季節(jié)性分解

結(jié)果解讀

畫出分解后的時序圖

?時間序列分析

建立時間序列分析模型

指數(shù)平滑模型（Spss官方文檔）

?

Simlpe模型

關(guān)于平滑系數(shù)??的選取原則：
（1）如果時間序列具有不規(guī)則的起伏變化，但長期趨勢接近一個穩(wěn)定常數(shù)，α值一般較小(取0.05‐0.02之間)
（2）如果時間序列具有迅速明顯的變化傾向，則α應(yīng)該取較大值（取0.3‐0.5）
（3）如果時間序列變化緩慢，亦應(yīng)選較小的值（一般在0.1‐0.4之間）實際上，Spss的專家建模如果選擇了Simple模型用來估計，那么軟件會幫我們自動選取一個適合的平滑系數(shù)使得預(yù)測誤差最小。

簡單指數(shù)平滑法預(yù)測

線性趨勢模型(linear trend)

參考：7.2 Trend methods | Forecasting: Principles?and?Practice (2nd?ed) (otexts.com)

阻尼趨勢模型(Damped trend)

霍特趨勢和阻尼趨勢預(yù)測

7.2 Trend methods | Forecasting: Principles?and?Practice (2nd?ed) (otexts.com)

簡單季節(jié)性(Simple seasonal)

7.4 A taxonomy of exponential smoothing methods | Forecasting: Principles?and?Practice (2nd?ed) (otexts.com)

溫特加法模型(Winters' additive)

Forecasting: Principles?and?Practice (otexts.com)

溫特乘法模型(Winters' multiplicative)

Forecasting: Principles?and?Practice (otexts.com)

溫特加法和乘法預(yù)測

Forecasting: Principles?and?Practice (otexts.com)

一元時間序列分析的模型

????????下面的這些概念只介紹一個大概，要完全弄懂還需要大家課后自己努力。如果實在學(xué)習(xí)這小部分有困難，大家可以選擇放棄理論部分，不用細(xì)究每一個細(xì)節(jié)和概念，我們的重心可以放在運用上。

（1）平穩(wěn)時間序列和白噪聲序列
（2）差分方程和滯后算子
（3）AR模型
（4）MA模型
（5）ARMA模型
（6）ACF和PACF
（7）ARMA模型的估計
（8）AIC和BIC準(zhǔn)則
（9）ARIMA模型
（10）SARIMA模型

時間序列的平穩(wěn)性(stationary series)

一些時間序列的圖形

差分方程

????????將某個時間序列變量表示為該變量的滯后項、時間和其他變量的函數(shù)，這樣的一個函數(shù)方程被稱為差分方程。

差分方程的齊次部分：只包含該變量自身和它的滯后項的式子。

差分方程的特征方程

差分方程的齊次部分：只包含該變量自身和它的滯后項的式子。

這p個解的模長（實根取絕對值，虛根取模）的大小決定了形為ARMA(p,q)模型的{}是否平穩(wěn)

滯后算子

MA模型、AR模型和ARMA(p,q)模型?

AR(p)模型(auto regressive)

AR(p)模型平穩(wěn)的條件

小例子

?

MA(q)模型(moving average)

MA模型和AR模型的關(guān)系

MA(q)模型的平穩(wěn)性

只要q是常數(shù)，那么MA(q)模型一定是平穩(wěn)的。

?

ARMA(p,q)模型

????????自回歸移動平均模型(Autoregressive Moving Average,ARMA)，就是設(shè)法將自回歸過程AR和移動平均過程MA結(jié)合起來，共同模擬產(chǎn)生既有時間序列樣本數(shù)據(jù)的那個隨機過程的模型。

ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性

ACF自相關(guān)系數(shù)

PACF偏自相關(guān)函數(shù)

AR(1)模型(系數(shù)符號相反)

Walter Enders《Applied Econometric Time Series Fourth Edition》

MA(1)和AR(2)模型

ARMA(1,1)模型和總結(jié)表格

ARMA模型的識別

????????圖1和圖2上均有兩條藍(lán)色的線，其表示假設(shè)檢驗對應(yīng)的上下臨界值，如果自相關(guān)系數(shù)或偏自相關(guān)系數(shù)位于這兩條線內(nèi)，則認(rèn)為它們與0沒有顯著的差異。

正確識別ARMA模型的階數(shù)太難了

ARMA模型的估計

ARMA模型的極大似然估計：第四章 極大似然估計 - 百度文庫 (baidu.com)

模型選擇：AIC和BIC準(zhǔn)則（選小原則）

????????過擬合問題：加入的參數(shù)個數(shù)越多，模型擬合的效果越好，但這卻是以提高模型復(fù)雜度為代價的。因此，模型選擇要在模型復(fù)雜度與模型對數(shù)據(jù)的解釋能力之間尋求最佳平衡。

AIC和BIC是選小原則，我們要選擇使得AIC或BIC最小的模型。
（BIC對于模型的復(fù)雜程度的懲罰系數(shù)更大，因此BIC往往比AIC選擇的模型更簡潔）

檢驗?zāi)Ｐ褪欠褡R別完全

????????估計完成時間序列模型后，我們需要對殘差進行白噪聲檢驗，如果殘差是白噪聲，則說明我們選取的模型能完全識別出時間序列數(shù)據(jù)的規(guī)律，即模型可接受；如果殘差不是白噪聲，則說明還有部分信息沒有被模型所識別，我們需要修正模型來識別這一部分的信息。

?

ARIMA(p,d,q)模型

ARIMA(1,1,1)時間序列圖

x <‐ arima.sim(list(order = c(1,1,1), ar = 0.6, ma=‐0.5), n = 100)

ARIMA(1,2,1)時間序列圖

x <‐ arima.sim(list(order = c(1,2,1), ar = 0.6, ma=‐0.5), n = 100)

SARIMA(Seasonal ARIMA)模型

????????到目前為止，我們只關(guān)注非季節(jié)性數(shù)據(jù)和非季節(jié)性ARIMA模型。然而，ARIMA模型也能夠?qū)V泛的季節(jié)數(shù)據(jù)進行建模。
????????季節(jié)性ARIMA模型是通過在ARIMA模型中包含額外的季節(jié)性項而生成的，其形式如下：

Spss時間序列建模的思路

下面的步驟是自己在思考建模的過程，不是寫在論文中的：

（1）處理數(shù)據(jù)的缺失值問題、生成時間變量并畫出時間序列圖；
（2）數(shù)據(jù)是否為季度數(shù)據(jù)或者月份數(shù)據(jù)（至少有兩個完整的周期，即兩年），如果是的話則要觀察圖形中是否存在季節(jié)性波動。
（3）根據(jù)時間序列圖大致判斷數(shù)據(jù)是否為平穩(wěn)序列（數(shù)據(jù)圍繞著均值上下波動，無趨勢和季節(jié)性）
（4）打開Spss，分析‐‐時間序列預(yù)測—創(chuàng)建傳統(tǒng)模型（高版本的Spss可能才有這個功能），看看Spss專家建模器得出的最優(yōu)的模型類型。
（5）如果最后的結(jié)果是ARIMA(p,0,q)模型，那么我們就可以畫出時間序列的樣本ACF和PACF圖形進行分析；如果得到的是ARIMA(p,1,q)模型，我們可以先對數(shù)據(jù)進行1階差分后再用ACF和PACF圖形分析；如果得到的結(jié)果與季節(jié)性相關(guān)，那么我們可以考慮使用時間序列分解。

例題1：銷量數(shù)據(jù)預(yù)測

前期準(zhǔn)備工作

下面的步驟是自己在思考建模的過程，不是寫在論文中的：

（1）數(shù)據(jù)為季度數(shù)據(jù)（有四個周期），從圖中看出也有季節(jié)性波動，即第二季度的銷量較高，第四季度較低；
（2）根據(jù)時間序列圖可知數(shù)據(jù)不平穩(wěn)，有向上的趨勢；
（3）Spss的專家建模給出的最合適的模型是溫特加法模型；
（4）溫特加法模型意味著原時間序列數(shù)據(jù)含有線性趨勢和穩(wěn)定的季節(jié)成分，我們可以使用加法時間序列分解；
（5）利用Spss我們可以對未來兩年的銷售數(shù)據(jù)進行預(yù)測。

Spss時間序列建模器

默認(rèn)在所有的指數(shù)平滑模型和ARIMA模型中選擇合適的模型。

自動檢測異常值的方法

操作步驟

注:
（1）預(yù)測值和擬合值是不相同的，預(yù)測值是將樣本外年份的數(shù)據(jù)帶入模型計算得到的，而擬合值是將樣本的年份重新帶入模型計算得到的。
（2）這里保留殘差的ACF和PACF圖形可以幫助我們判斷殘差是否為白噪聲，即該時間序列是否能被模型識別完全。

常用的評價指標(biāo)

參數(shù)估計值表格

白噪聲進行殘差檢驗

預(yù)測的結(jié)果和效果圖

例題2：人口數(shù)據(jù)預(yù)測

預(yù)測結(jié)果

殘差的白噪聲檢驗

預(yù)測效果圖形

?

例題3：上證指數(shù)預(yù)測

直接進行專家建模的結(jié)果

剔除異常值后重新建模

預(yù)測效果

例題4：GDP增速預(yù)測

用所有數(shù)據(jù)進行預(yù)測（剔除異常值）

出錯的原因

課后作業(yè)

結(jié)語

沒有結(jié)語，挺多的今天，好好看好好學(xué)ヾ(￣▽￣)Bye~Bye~文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-803751.html

到了這里，關(guān)于數(shù)學(xué)建模day15-時間序列分析的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！