時(shí)間序列分析概述和數(shù)據(jù)預(yù)處理

時(shí)間序列的概念：也稱為動態(tài)序列，是指將某種現(xiàn)象的指標(biāo)值按照時(shí)間順序排列而成的數(shù)值序列。

時(shí)間序列的組成要素：時(shí)間要素、數(shù)值要素。

時(shí)間序列的分類：

• 時(shí)期時(shí)間序列：數(shù)值要素反應(yīng)現(xiàn)象在一定時(shí)期內(nèi)的發(fā)展的結(jié)果；
• 時(shí)點(diǎn)時(shí)間序列：數(shù)值要素反映現(xiàn)象在一定時(shí)間點(diǎn)上的瞬間水平。

備注：時(shí)期序列可以累積相加，時(shí)點(diǎn)序列不能相加。因此后面的灰色預(yù)測模型只能用于時(shí)期時(shí)間序列。

時(shí)間序列分析的內(nèi)容：時(shí)間序列分析可以分為描述過去、分析規(guī)律和預(yù)測未來三個(gè)部分。

數(shù)據(jù)預(yù)處理（去除缺失值）：缺失值處理是時(shí)間序列分析模型的基本預(yù)處理。

• 缺失值處理方法：缺失值發(fā)生在時(shí)間序列的頭部或尾部，則采用直接刪除的方法；缺失值發(fā)生在序列的中間位置，則不能刪除，可以采用缺失值替換的方法。
• SPSS提供五種替換缺失值的方法：序列平均值；臨近點(diǎn)的平均值；臨近點(diǎn)的中位數(shù)；線性插值；臨近點(diǎn)的線性趨勢。
• SPSS進(jìn)行數(shù)據(jù)缺失值預(yù)處理：

1.打開SPSS軟件并導(dǎo)入數(shù)據(jù)，依次點(diǎn)擊：轉(zhuǎn)換→替換缺失值

2.選擇需要替換缺失值的變量，指定新的變量的名稱和替換缺失值的方法。

數(shù)據(jù)預(yù)處理（定義時(shí)間變量）：需要指定哪一個(gè)屬性是時(shí)間變量避免出錯(cuò)。

1. 打開導(dǎo)入了數(shù)據(jù)的SPSS軟件，依次點(diǎn)擊：數(shù)據(jù)→定義日期和時(shí)間
   
2. 選擇個(gè)案類型并指定起始時(shí)間。
   

SPSS繪制時(shí)間序列圖：

1. 依次點(diǎn)擊：分析→時(shí)間序列預(yù)測→序列圖
   
   2.選擇時(shí)間變量和因變量。
   
   繪制完成的圖片可以雙擊進(jìn)去進(jìn)行相關(guān)的優(yōu)化。

時(shí)間序列分解模型

時(shí)間序列分解的前提：數(shù)據(jù)具有周期性才能使用時(shí)間序列分解，也就是說年份數(shù)據(jù)不能使用時(shí)間序列分解模型。

時(shí)間序列的分解元素：

• 長期變動趨勢（T）：統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)，受到長期趨勢影響因素的影響，表現(xiàn)出持續(xù)上升或持續(xù)下降的趨勢。
• 季節(jié)趨勢（S）：由于季節(jié)的轉(zhuǎn)變使得指標(biāo)數(shù)值發(fā)生周期性變動。這里的季節(jié)是廣義的，一般以月、季、周為時(shí)間單位，不能以年作為單位。
• 循環(huán)變動（C）：與季節(jié)變動的周期不同，往往以若干年為一個(gè)周期，在曲線圖上表現(xiàn)為波浪式的周期變動。
• 不規(guī)則變動（I）：由于某些隨機(jī)因素導(dǎo)致的數(shù)值變化，這些因素的作用是不可預(yù)知且沒有規(guī)律性的，可以視為由于眾多偶然因素對時(shí)間序列造成的影響，也就是回歸中的擾動項(xiàng)。

以上四種變動就是時(shí)間序列數(shù)值變化的分解結(jié)果。有時(shí)這些變動會同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)時(shí)間序列中，但是有時(shí)候也可能只出現(xiàn)一種或幾種。

疊加模型和乘積模型：

• 使用情況：如果四種變動是相互獨(dú)立的關(guān)系，就應(yīng)該使用疊加模型；如果存在相互影響，則應(yīng)該使用乘積模型。
• 推薦使用：如果在時(shí)間序列圖上，隨著事件的推移，序列的季節(jié)波動越來越大，則建議使用乘積模型；如果季節(jié)波動保持穩(wěn)定，則建議使用疊加模型。當(dāng)不存在季節(jié)波動時(shí)則兩種分解都可以。

SPSS進(jìn)行時(shí)間序列分解：

• 依次點(diǎn)擊：分析→時(shí)間序列預(yù)測→季節(jié)性分解
  
  2.選擇需要進(jìn)行時(shí)間序列分解的變量，指定模型是疊加還是乘積。如果周期長度為奇數(shù)則選擇所有點(diǎn)相等，為偶數(shù)則選擇端點(diǎn)按0.5加權(quán)。
  

SPSS時(shí)間序列分析結(jié)果：

結(jié)果解釋：

• 疊加模型：每一個(gè)季節(jié)的季節(jié)因子表示該季節(jié)的指標(biāo)超過全年平均指標(biāo)的水準(zhǔn)。如果大于零則表示高于全年平均指標(biāo)，小于零則表示低于全年平均指標(biāo)。
• 乘法模型：每一個(gè)季節(jié)的季節(jié)因子表示該季節(jié)的指標(biāo)為全年平均指標(biāo)的多少倍。如果大于一則表示高于全年平均指標(biāo)，小于一則表示低于全年平均指標(biāo)。

如何使用結(jié)果進(jìn)行預(yù)測：將預(yù)測結(jié)果變量中的季節(jié)性調(diào)整后序列加上季節(jié)因子，得到一個(gè)新的變量序列，對該序列進(jìn)行擬合即可使用擬合函數(shù)進(jìn)行預(yù)測。

SPSS專家建模器：從指數(shù)平滑模型和ARIMA模型中找出最合適的擬合模型。

指數(shù)平滑模型

簡單指數(shù)平滑模型：

• 適用情況：適用于不含趨勢和季節(jié)成分的時(shí)間序列。
• 預(yù)測原理：每一個(gè)平滑后的數(shù)據(jù)都是由過去的數(shù)據(jù)加權(quán)求和后所得，越接近當(dāng)期的數(shù)據(jù)權(quán)重越大。
• 模型不足：簡單指數(shù)平滑模型只能進(jìn)行一期的預(yù)測。

霍特線性趨勢模型：

• 適用條件：線性趨勢，不含有季節(jié)成分。
• 預(yù)測原理：有兩個(gè)平滑方程（水平平滑方程和趨勢平滑方程）和一個(gè)預(yù)測方程。

布朗線性趨勢模型：霍特線性趨勢模型的一個(gè)特例，認(rèn)為模型中的水平平滑參數(shù)和趨勢平滑參數(shù)相等。

阻尼趨勢模型：

• 適用情況：線性趨勢逐漸減弱且不含有季節(jié)成分。
• 模型原理：在霍特線性趨勢模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸?；籼鼐€性趨勢模型對長期預(yù)測往往過高，阻尼線性趨勢模型緩解了較高的線性趨勢。

簡單季節(jié)性模型：適用于含有穩(wěn)定的季節(jié)成分，不含有趨勢。

溫特加法模型：適用于含有線性趨勢和穩(wěn)定的季節(jié)成分。

溫特乘法模型：適用于含有線性趨勢和不穩(wěn)定的季節(jié)成分。

ARIMA模型

平穩(wěn)時(shí)間序列：

• 平穩(wěn)時(shí)間序列的優(yōu)點(diǎn)：平穩(wěn)的時(shí)間序列是最容易處理的時(shí)間序列。
• 平穩(wěn)的時(shí)間序列需要滿足的三個(gè)條件：均值為固定常數(shù)；方差存在且為常數(shù)；協(xié)方差只與間隔有關(guān)，與時(shí)間點(diǎn)無關(guān)；
• 平穩(wěn)性檢驗(yàn)：一般，可以通過觀察時(shí)序圖來判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)，也可以通過假設(shè)檢驗(yàn)的方法來進(jìn)行判斷。

備注：上述的要求稱為協(xié)方差平穩(wěn)，也稱為弱平穩(wěn)另外還有一種嚴(yán)格平穩(wěn)，要求太高，因此時(shí)間序列中沒有特殊說明則默認(rèn)為弱平穩(wěn)。

• 白噪聲序列：均值為0的弱平穩(wěn)時(shí)間序列就稱為白噪聲序列，因此白噪聲序列是一種特殊的平穩(wěn)時(shí)間序列。一般時(shí)間序列中的擾動項(xiàng)就被視為白噪聲序列。

差分方程：

• 定義：將某個(gè)時(shí)間序列變量表示為該變量的滯后項(xiàng)、時(shí)間和其他變量的函數(shù)，這樣的一個(gè)函數(shù)方程就被稱為差分方程。
• 差分方程的齊次部分：只包含該變量自身和它的滯后項(xiàng)的計(jì)算式。
• 滯后算子：一種方便的表示方法。

將差分方程的齊次部分轉(zhuǎn)化為特征方程，特征方程有p個(gè)解，這p個(gè)解的模長的大小決定了形為ARMA(p,q)模型的因變量序列是否平穩(wěn)。

P階自回歸模型（AR模型）：

• 模型結(jié)構(gòu)：將自身的滯后項(xiàng)作為自變量進(jìn)行回歸分析。
• 適用情況：自回歸只能用于預(yù)測與自身前期相關(guān)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，也就是受到歷史因素影響較大的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。對于受到社會因素影響較大的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象不適合采用自回歸。
• 注意事項(xiàng)：這里討論的AR模型一定是平穩(wěn)的時(shí)間序列模型，如果原始序列不平穩(wěn)也要先轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)的序列后才能進(jìn)行建模。

備注：AR模型有專門用于判斷平穩(wěn)性的算法。對于一些不平穩(wěn)的模型可以通過差分的方法轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時(shí)間序列。

移動平均模型（MA模型）：

• 模型平穩(wěn)性：可以證明MA(q)模型只要q是常數(shù)，則該模型一定是平穩(wěn)的。
• 與AR模型的關(guān)系：為了簡化AR模型參數(shù)估計(jì)的工作量可以引入MA模型，使得模型中的參數(shù)可以盡可能少。

自回歸移動平均模型（ARMA模型）：

• 模型原理：設(shè)法將自回歸過程和移動平均過程結(jié)合起來。
• 模型平穩(wěn)性：平穩(wěn)性只與自回歸AR部分有關(guān)。
• 模型難點(diǎn)：很難正確地識別ARMA模型的階數(shù)。
• 模型參數(shù)求解：ARMA模型目前最常用的參數(shù)估計(jì)方法是極大似然估計(jì)法。

模型完全性檢驗(yàn)：
時(shí)間序列模型估計(jì)完成后需要對殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。如果殘差是白噪聲，則說明我們選擇的模型能完全識別出時(shí)間序列數(shù)據(jù)的規(guī)律，所以模型可以接受；如果殘差不是白噪聲，則說明還有部分信息沒有被識別利用，需要修正模型來識別這一部分信息。
SPSS中會自動算出P值，如果P值小于0.05則拒絕原假設(shè)，此時(shí)模型沒有識別完全，需要進(jìn)行修正。

ARIMA模型：差分自回歸移動平均模型。首先對原始時(shí)間序列分解進(jìn)行差分使得其變得平穩(wěn)，然后再適用ARMA模型求解。

SARIMA模型：在ARIMA模型中包含額外的季節(jié)性項(xiàng)生成的模型。

SPSS專家建模器的使用步驟

專家建模器原理：SPSS中的專家建模器會自動查找每個(gè)相依序列的最佳擬合模型。如果指定了自變量，則專家建模器為ARIMA模型中的內(nèi)容選擇那些與該相依序列具有顯著統(tǒng)計(jì)關(guān)系的模型。適當(dāng)時(shí)，使用差分或平方根或自然對數(shù)轉(zhuǎn)換對模型變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換。缺省情況下，可以將專家建模器限制為僅搜索ARIMA模型或僅搜索指數(shù)平滑模型，還可以指定自動檢測離群值。

1.依次點(diǎn)擊：分析→時(shí)間序列預(yù)測→創(chuàng)建傳統(tǒng)模型

2.設(shè)置時(shí)間序列的因變量。（也可以手動選擇僅從指數(shù)平滑模型和ARIMA模型中進(jìn)行篩選）

3.設(shè)置自動檢測并修改異常值。依次點(diǎn)擊：條件→離群值→自動檢測離群值，并勾選所有離群值類型。

4.點(diǎn)擊統(tǒng)計(jì)并勾選參數(shù)估計(jì)值。

5.點(diǎn)擊圖，并勾選擬合值、殘差自相關(guān)系數(shù)和殘差偏自相關(guān)系數(shù)。

6.點(diǎn)擊“保存”并勾選預(yù)測值。

7.點(diǎn)擊“選項(xiàng)”并選擇“評估期結(jié)束第一個(gè)個(gè)案到指定日期之間的個(gè)案，并輸入結(jié)束的時(shí)間。

備注：
①預(yù)測值和擬合值的區(qū)別：擬合值是對已經(jīng)有的時(shí)間序列的重新擬合，預(yù)測值是對未來的發(fā)展進(jìn)行預(yù)測。
②保留ACF和PACF的作用：判斷殘差是否為白噪聲，如果是的話則可以認(rèn)為時(shí)間序列模型識別完全。

專家建模器運(yùn)行結(jié)果：

• 模型類型：
  
  由表格可知最佳的模型是溫特加法模型，因此可以判斷時(shí)間序列含有線性趨勢和穩(wěn)定的季節(jié)成分，所以也可以使用疊加型時(shí)間序列分解。

• 模型擬合度：
  
  模型評價(jià)指標(biāo)：
  ①平穩(wěn)的R方和正態(tài)化BIC：可以用平穩(wěn)的R2或者標(biāo)準(zhǔn)化BIC（BIC準(zhǔn)則），這兩個(gè)指標(biāo)同時(shí)考慮了擬合的好壞和模型的復(fù)雜度。
  ②R方：R方也可以用于評價(jià)擬合結(jié)果的好壞，越接近于1則擬合效果越好。

• 模型統(tǒng)計(jì)：
  
  顯著性：顯著性小于0.05則表示認(rèn)為殘差序列不是白噪聲，大于0.05則表示殘差序列是白噪聲。
  離群值數(shù)：離群值的個(gè)數(shù)。

• 模型參數(shù)：（此處為溫特加法模型的模型參數(shù)）
  

• ACF和PACF圖：

所有藍(lán)色柱形圖都位于兩條黑色線之間表示通過ACF和PACF判定模型的識別完全。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-789485.html

• 擬合圖像：
  

到了這里，關(guān)于數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)筆記（15）時(shí)間序列分析的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！