本系列側重于例題實戰(zhàn)與講解，希望能夠在例題中理解相應技巧。文章開頭相關基礎知識只是進行簡單回顧，讀者可以搭配課本或其他博客了解相應章節(jié)，然后進入本文例題實戰(zhàn)，效果更佳。
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基本概念
時間序列預測是一種預測方法，它通過將觀察對象按照時間順序排列，構成一個所謂的“時間序列”。通過分析這些時間序列過去的變化規(guī)律，可以推斷未來的可能變化、趨勢和規(guī)律。這種方法實際上是一種回歸模型，其基本原理有兩個方面：一是承認事物發(fā)展的延續(xù)性，即通過分析過去時間序列的數據來預測事物的發(fā)展趨勢；二是考慮到偶然因素的影響所帶來的隨機性。為了減少隨機波動的影響，需要利用歷史數據進行統(tǒng)計分析，并對數據進行適當處理以進行趨勢預測。
時間序列預測法的優(yōu)點在于其簡單易行，易于掌握，能夠充分利用原時間序列的數據，計算速度快，并且對模型參數具有動態(tài)確定的能力。此外，精度較高，特別是當采用組合時間序列或將時間序列與其他模型組合時，其效果更佳。然而，這種方法也有其局限性，主要是不能反映事物的內在聯(lián)系，無法分析兩個因素之間的相關關系，更適用于短期而非長期預測。
時間序列預測法在各個領域都有廣泛的應用，如在金融市場分析、氣象預測、工業(yè)生產和庫存管理等領域。在實際應用中，時間序列預測通常涉及到多種技術和方法，如移動平均、指數平滑法、季節(jié)性調整、自回歸移動平均模型（ARMA）、自回歸積分滑動平均模型（ARIMA）等。這些技術各有特點，適用于不同類型的數據和不同的預測需求。
移動平均（Moving Average, MA）:
特點: 簡單、直觀。
原理: 根據一定數量的連續(xù)過去數據點的平均值來預測未來的值。它有助于平滑時間序列中的短期波動，并突出長期趨勢。
適用性: 最適合沒有明顯趨勢和季節(jié)性的數據。
指數平滑法（Exponential Smoothing）:
特點: 對最近的觀測值給予更多的權重。
原理: 這種方法給過去的觀測值賦予指數遞減的權重，最近的數據點有更大的權重。簡單指數平滑適用于沒有趨勢和季節(jié)性的數據，而雙重和三重指數平滑法可以處理趨勢和季節(jié)性。
適用性: 適用于具有或不具有趨勢和季節(jié)性的數據。
季節(jié)性調整（Seasonal Adjustment）:
特點: 專注于季節(jié)性因素。
原理: 通過消除季節(jié)性波動來更清晰地識別趨勢。這通常是通過識別并調整那些周期性重復出現的模式來完成的。
適用性: 對于具有明顯季節(jié)性模式的數據特別有效。
自回歸移動平均模型（ARMA）:
特點: 結合自回歸（AR）和移動平均（MA）。
原理: AR部分利用過去值之間的關系，而MA部分則建模時間序列的誤差項。這種模型假設時間序列是平穩(wěn)的（即均值、方差和協(xié)方差不隨時間變化）。
適用性: 適合處理平穩(wěn)的時間序列。
自回歸積分滑動平均模型（ARIMA）:
特點: ARMA模型的擴展，可以處理非平穩(wěn)數據。
原理: 結合差分（使非平穩(wěn)數據平穩(wěn)）的概念與ARMA模型。它通過一定次數的差分，將非平穩(wěn)時間序列轉化為平穩(wěn)時間序列。
適用性: 可以處理非平穩(wěn)時間序列，適合廣泛類型的時間序列數據。
習題8.4
1. 題目要求
2.解題過程
解：
原始數據序列： x t {x_t} xt? ，一階差分變換后的序列為： y t y_t yt? 。
（1）通過下文中程序的運行，我們可以從運行結果中得到
y
t
=
1.253
y
t
?
1
?
0.3522
y
t
?
2
+
ε
t
+
0.5022
ε
t
?
1
y_t = 1.253y_{t-1} - 0.3522y_{t-2} + \varepsilon_{t} + 0.5022 \varepsilon_{t-1}
yt?=1.253yt?1??0.3522yt?2?+εt?+0.5022εt?1?
（2）根據下文的運算結果得到未來10年的預測值分別為:：
6419.44740352031
6668.77039934881
6861.19145947359
7014.42501092823
7138.60914121919
7240.20495400936
7323.73568451267
7392.59199500092
7449.42827658915
7496.37548147182
6419.44740352031 \\ 6668.77039934881\\ 6861.19145947359\\ 7014.42501092823\\ 7138.60914121919\\ 7240.20495400936\\ 7323.73568451267\\ 7392.59199500092\\ 7449.42827658915\\ 7496.37548147182
6419.447403520316668.770399348816861.191459473597014.425010928237138.609141219197240.204954009367323.735684512677392.591995000927449.428276589157496.37548147182
3.程序
求解的MATLAB程序如下：
clc, clear
format long g
% 定義列向量 xt，其中包含了原始數據的時間序列。
xt = [119, 142, 144, 150, 165, 168, 200, ...
216, 218, 185, 173, 181, 208, 240, 254, ...
235, 222, 243, 275, 288, 292, 309, 310, 327, ...
316, 339, 379, 417, 460, 489, 525, 580, 682, ...
853, 956, 1104, 1355, 1512, 1634, 1879, ...
2287, 2939, 3923, 4854, 5576, 6079]';
% 進行一階差分變換，即計算 xt 中相鄰元素之間的差值，生成一個新的列向量 yt
% 一階差分變換可以將非平穩(wěn)時間序列轉換為平穩(wěn)時間序列。
yt = diff(xt);
% 擬合arma模型
m = armax(yt, [2, 1])
% armax函數接受兩個參數：時間序列數據和模型階數[p,q]，其中p是自回歸項的數量，q是滯后誤差項的數量
% 計算yt的10期預測值
ythat = forecast(m, yt, 10);
% 計算原始數據的10期預測值
% 這一行代碼用于計算原始數據 xt 的預測值
% xt(end)表示原始數據的最后一個觀測值，cumsum(ythat)表示將ythat中每個元素累加得到的新的列向量
xthat = xt(end) + cumsum(ythat)
4.結果
（1）我們可以從運行結果中得到
y
t
=
1.253
y
t
?
1
?
0.3522
y
t
?
2
+
ε
t
+
0.5022
ε
t
?
1
y_t = 1.253y_{t-1} - 0.3522y_{t-2} + \varepsilon_{t} + 0.5022 \varepsilon_{t-1}
yt?=1.253yt?1??0.3522yt?2?+εt?+0.5022εt?1?
（2）未來10年的預測值分別為:：
6419.44740352031
6668.77039934881
6861.19145947359
7014.42501092823
7138.60914121919
7240.20495400936
7323.73568451267
7392.59199500092
7449.42827658915
7496.37548147182
6419.44740352031 \\ 6668.77039934881\\ 6861.19145947359\\ 7014.42501092823\\ 7138.60914121919\\ 7240.20495400936\\ 7323.73568451267\\ 7392.59199500092\\ 7449.42827658915\\ 7496.37548147182
6419.447403520316668.770399348816861.191459473597014.425010928237138.609141219197240.204954009367323.735684512677392.591995000927449.428276589157496.37548147182
習題8.5
1. 題目要求
2.解題過程
解：
（1）序列時序圖
記原始序列為 { x t {x_t} xt?} ,序列時序圖如下圖所示，時序圖顯示該序列大致具有12個周期變化，周期的長度為9或10年，下面使用周期 T=10行計算。
（2）差分平穩(wěn)
對原序列做10步差分，消除季節(jié)趨勢，得到序列 { y t y_t yt?} ，其中， y t = x t + 10 ? x t y_t = x_{t+10}-x_t yt?=xt+10??xt?，差分后序列圖如下圖所示。時序圖顯示差分后序列基本平穩(wěn)了。
（3）模型擬合
根據差分后序列的自相關和偏自相關的性質，嘗試擬合ARMA模型，擬合的ARMA (1,10) 模型較理想，并且通過了白噪聲檢驗，說明低階的ARMA模型不適合擬合這個序列。
（4）
求預測值。求得下兩個年度的預測值為4310和3674。
3.程序
求解的MATLAB程序如下：
clc, clear
format long g
a = [269, 321, 585, 871, 1475, 2821, 3928, 5943, 4950, ...
2577, 523, 98, 184, 279, 409, 2285, 2685, 3409, 1824, ...
409, 151, 45, 68, 213, 546, 1033, 2129, 2536, 957, ...
361, 377, 225, 360, 731, 1638, 2725, 2871, 2119, 684, ...
299, 236, 245, 552, 1623, 3311, 6721, 4254, 687, 255, ...
473, 358, 784, 1594, 1676, 2251, 1426, 756, 299, 201, ...
229, 469, 736, 2042, 2811, 4431, 2511, 389, 73, 39, 49, ...
59, 188, 377, 1292, 4031, 3495, 537, 105, 153, 387, 758, ...
1307, 3465, 6991, 6313, 3794, 1836, 345, 382, 808, ...
1388, 2713, 3800, 309, 2985, 3790, 674, 71, 80, 108, ...
229, 399, 1132, 2432, 3575, 2935, 1537, 529, 485, 662, ...
1000, 1520, 2657, 3396]';
n = length(a);
% 用MATLAB的plot函數繪制a的圖像
plot(a, '.-')
% 使用for循環(huán)遍歷從第11個到最后一個數據元素，并對前10個數據元素和當前數據元素進行差分計算得到一個新的列向量b
for i = 11:n
b(i-10) = a(i) - a(i-10); % 進行季節(jié)差分變換
end
b = b';
figure, plot(b, '.-')
% 計算b的自相關性和偏自相關性
figure, subplot(121), autocorr(b)
subplot(122), parcorr(b)
% 對b序列進行模型擬合
cs = armax(b, [1, 10]); % 擬合模型
figure, myres = resid(cs, b); % 計算殘差向量并畫出殘差的自相關函數圖
% 擬合模型的殘差向量myres
[h, p, st] = lbqtest(myres.outputdata, 'lags', [6, 12, 18]); % 進行LBQ檢驗
% 注意，上面outputdata一定要加上，不然會報錯
bhat = forecast(cs, b, 2); % 計算b的2期預測值
ahat = a(end-9:end-8) + bhat % 求原始序列的2期預測值
4.結果
后兩個年度的預測值為4310和3674
習題8.6
1. 題目要求
2.解題過程
解：
（1）對所給時間序列建模
首先對此序列進行觀察分析。下圖為數據曲線圖：
可以看出具有指數上升趨勢，因此，對確定性部分先擬合一個指數增長模型，即
X
t
=
μ
t
+
Y
t
,
μ
t
=
R
1
e
r
1
t
X_t = \mu_t + Y_t, \mu_t = R_1e^{r_1t}
Xt?=μt?+Yt?,μt?=R1?er1?t
這里各季節(jié)依次編號為
t
=
1
,
2
,
…
,
100
t = 1,2,\dots,100
t=1,2,…,100。
然后確定性趨勢的擬合。為了能用線性最小二乘法估計參數
R
1
R_1
R1?和
r
1
r_1
r1?,
μ
t
=
R
1
e
r
1
t
\mu_t = R_1 e^{r_1t}
μt?=R1?er1?t兩邊取對數，得：
ln
?
μ
t
=
ln
?
R
1
+
r
1
t
\ln \mu_t = \ln R_1 + r_1t
lnμt?=lnR1?+r1?t
利用觀測數據求得
R
^
1
=
12.6385
,
r
^
1
\hat{R}_1 = 12.6385,\hat{r}_1
R^1?=12.6385,r^1? = 0.0162。剩余平方和為1683.5371。剩余序列
Y
t
Y_t
Yt?如下圖所示，可以認為是平穩(wěn)的：
對剩余序列擬合ARMA模型。 Y t Y_t Yt?自相關與偏自相關如下圖所示：
可初步斷定 Y t Y_t Yt?的適應模型為AR模型，逐增加AR模型階數進行擬合，其殘差方差圖如下圖所示：
因此，合適的模型為AR (2)，即
Y
t
=
φ
1
Y
t
?
1
+
φ
2
Y
t
?
2
+
a
t
Y_t = \varphi_1Y_{t-1}+\varphi_2Y_{t-2} + a_t
Yt?=φ1?Yt?1?+φ2?Yt?2?+at?
參數估計為
φ
^
1
=
0.5451
,
φ
^
2
=
0.2478
\hat{\varphi}_1 = 0.5451,\hat{\varphi}_2 = 0.2478
φ^?1?=0.5451,φ^?2?=0.2478。
建立組合模型。最后要以已估計出來的
R
1
,
r
1
,
φ
1
,
φ
2
R_1,r_1,\varphi_1,\varphi_2
R1?,r1?,φ1?,φ2?的值為初始值用非線性最小二乘法對模型參數進行整體估計，模型整體可寫為
X
t
=
μ
t
+
Y
t
=
R
1
e
r
1
t
+
φ
1
(
X
t
?
1
?
R
1
e
r
1
(
t
?
1
)
)
+
φ
2
(
X
t
?
2
)
?
R
1
e
r
1
(
t
?
2
)
+
a
t
X_t = \mu_t + Y_t = R_1e^{r_1t} + \varphi_1(X_{t-1}-R_1e^{r_1(t-1)} )+\varphi_2(X_{t-2})-R_1e^{r_1(t-2)}+a_t
Xt?=μt?+Yt?=R1?er1?t+φ1?(Xt?1??R1?er1?(t?1))+φ2?(Xt?2?)?R1?er1?(t?2)+at?
最終的參數整體估計為
R
^
1
=
12.1089
,
r
^
1
=
0.017
,
φ
^
1
=
0.517
,
φ
^
2
=
0.2397
\hat{R}_1=12.1089,\hat{r}_1=0.017,\hat{\varphi}_1 = 0.517, \hat{\varphi}_2 = 0.2397
R^1?=12.1089,r^1?=0.017,φ^?1?=0.517,φ^?2?=0.2397
殘差平方和為739.4402。
（2）
對所給的時間序列進行兩年（8個季度）的預報。用所建的模型以1970年第4幾度即t = 100為原點進行預測，結果如下表所示。
| l | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| t+l | t | t+1 | t+2 | t+3 | t+4 | t+5 | t+6 | t+7 | t+8 |
| X ^ t ( l ) \hat{X}_t(l) X^t?(l) | 62.1 | 65.8298 | 66.8384 | 68.562 | 70.0083 | 71.4879 | 72.9238 | 74.3507 | 75.768 |
3.程序
（1）
求解的MATLAB程序如下：
clc, clear
% 將數據按照每年的每個季度依次寫入
a = [7.5, 8.9, 11.1, 13.4, 15.5, 15.7, 15.6, 16.7, 18, 17.4, 17.9, ...
18.8, 17.6, 17, 16.1, 15.7, 15.9, 17.9, 20.3, 20.4, 20.2, 20.5, ...
20.9, 20.9, 21.1, 21.4, 18.2, 20.1, 21.4, 21.3, 21.9, 21.3, ...
20.4, 20.4, 20.7, 20.7, 20.9, 23, 24.9, 26.5, 25.6, 26.1, 27, ...
27.2, 28.1, 28, 29.1, 28.3, 25.7, 24.5, 24.4, 25.5, 27, 28.7, ...
29.1, 29, 29.6, 31.2, 30.6, 29.8, 27.6, 27.7, 29, 30.3, 31, 32.1, ...
33.5, 33.2, 33.2, 33.8, 35.5, 36.8, 37.9, 39, 41, 41.6, 43.7, ...
44.4, 46.6, 48.3, 50.2, 52.1, 54, 56, 53.9, 55.6, 55.4, 56.2, ...
57.9, 57.3, 58.8, 60.4, 63.1, 83.5, 64.8, 65.7, 64.8, 65.6, 67.2, 62.1]';
n = length(a);
t0 = [46:1 / 4:71 - 1 / 4];
t = [1:100]';
xishu = [ones(n, 1), t];
cs = xishu \ log(a)
cs(1) = exp(cs(1))
ahat = cs(1) * exp(cs(2)*t);
cha = a - ahat
res = sum(cha.^2)
subplot(121), plot(t0, a, '*-')
subplot(122), plot(t0, cha, '.-')
figure, subplot(121), autocorr(cha)
subplot(122), parcorr(cha)
for i = 1:10
cs2 = ar(cha, i);
cha2 = resid(cs2, cha);
myvar(i) = sum(cha2.outputdata.^2) / (100 - i);
end
figure, plot(myvar, '*-')
（2）
求解的MATLAB程序如下：
clc, clear
% 定義一個函數句柄 xt，它的輸入參數是一個向量 cs 和一個矩陣 x。
% x 矩陣的第一列是 a 向量的第二個元素到倒數第二個元素，第二列是 a 向量的第一個元素到倒數第三個元素，
% 第三列是一個列向量，它包含數字3到100
% 這些數字將用于預測未來的季度。
% 函數的輸出是一個向量，表示用于預測季度的預測值。
xt = @(cs, x)cs(1) * (exp(cs(2)*x(:, 3)) - cs(3) * exp(cs(2)*(x(:, 3) - 1)) - ...
cs(4) * exp(cs(2)*(x(:, 3) - 2))) + cs(3) * x(:, 1) + cs(4) * x(:, 2);
cs0 = [12.6385, 0.0162, 0.5451, 0.2478]';
% 將數據按照每年的每個季度依次寫入
a = [7.5, 8.9, 11.1, 13.4, 15.5, 15.7, 15.6, 16.7, 18, 17.4, 17.9, ...
18.8, 17.6, 17, 16.1, 15.7, 15.9, 17.9, 20.3, 20.4, 20.2, 20.5, ...
20.9, 20.9, 21.1, 21.4, 18.2, 20.1, 21.4, 21.3, 21.9, 21.3, ...
20.4, 20.4, 20.7, 20.7, 20.9, 23, 24.9, 26.5, 25.6, 26.1, 27, ...
27.2, 28.1, 28, 29.1, 28.3, 25.7, 24.5, 24.4, 25.5, 27, 28.7, ...
29.1, 29, 29.6, 31.2, 30.6, 29.8, 27.6, 27.7, 29, 30.3, 31, 32.1, ...
33.5, 33.2, 33.2, 33.8, 35.5, 36.8, 37.9, 39, 41, 41.6, 43.7, ...
44.4, 46.6, 48.3, 50.2, 52.1, 54, 56, 53.9, 55.6, 55.4, 56.2, ...
57.9, 57.3, 58.8, 60.4, 63.1, 83.5, 64.8, 65.7, 64.8, 65.6, 67.2, 62.1]';
% 創(chuàng)建一個矩陣 x，包含3列，用于作為函數 xt 的輸入參數
% 第一列是 a 向量的第二個元素到倒數第二個元素，第二列是 a 向量的第一個元素到倒數第三個元素，
% 第三列是一個列向量，它包含數字3到100，這些數字將用于預測未來的季度
x = [a(2:end-1), a(1:end-2), [3:100]'];
cs = lsqcurvefit(xt, cs0, x, a(3:end))
res = a(3:end) - xt(cs, x);
Q = sum(res.^2)
autocorr(res)
xhat = a;
for j = 101:108
xhat(j) = cs(1) * (exp(cs(2)*j) - cs(3) * exp(cs(2)*(j - 1)) - ...
cs(4) * exp(cs(2)*(j - 2))) + cs(3) * xhat(j-1) + cs(4) * xhat(j-2);
end
xhat101_108 = xhat(101:108)
4.結果
（1）結果見上文解題過程
（2）
文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-773474.html
| l | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| t+l | t | t+1 | t+2 | t+3 | t+4 | t+5 | t+6 | t+7 | t+8 |
| X ^ t ( l ) \hat{X}_t(l) X^t?(l) | 62.1 | 65.8298 | 66.8384 | 68.562 | 70.0083 | 71.4879 | 72.9238 | 74.3507 | 75.768 |
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