2023.06.05 最近在研究OTFS考慮分數(shù)多普勒時信道估計與信號檢測相關(guān)問題，最近精讀了一篇論文，并針對論文中部分公式進行推導(dǎo)，故記錄一下學(xué)習(xí)過程。

前言

論文題目： Efficient Channel Estimation for OTFS Systems in the Presence of Fractional Doppler
論文地址： https://ieeexplore.ieee.org/document/10118609/
論文來源：2023 IEEE Wireless Communications and Networking Conference (WCNC)
論文主要研究了OTFS考慮分數(shù)多普勒的信道估計問題，分別考慮單徑和多徑兩種情況，引入線性系統(tǒng)去恢復(fù)不同可分解路徑的多普勒頻移以及信道增益。

一、摘要及背景

摘要

??論文提出了一個考慮分數(shù)多普勒的有效的信道估計算法。該算法首先設(shè)置了一個基于現(xiàn)有閾值的估計器以獲得有效的（初步）信道響應(yīng)。由于有效的信道矩陣已知（可能翻譯的不準確），然后使用線性系統(tǒng)去恢復(fù)不同可分解路徑的多普勒頻移以及信道增益。在這一過程中，考慮了不同路徑間的干擾。仿真表明，通過在有效信道矩陣中選擇最優(yōu)采樣值，可以在低信噪比條件下實現(xiàn)多普勒頻移和信道增益的魯棒估計。

分數(shù)多普勒的引入

??準確的信道估計對于獲取用于可靠檢測的信道狀態(tài)信息 (CSI) 至關(guān)重要。 在OTFS中，信道信息即時延偏移和多普勒偏移在 DD 網(wǎng)格上是離散的。 時延分辨率和多普勒分辨率分別取決于帶寬和持續(xù)時間。 實際通信場景中，帶寬足夠大以提供足夠的時延分辨率，而由于未來通信中的低時延要求，持續(xù)時間可能相對較小。（此時解釋了為什么不會特別考慮分數(shù)時延的問題） 因此，需要考慮分數(shù)多普勒。 在整數(shù)多普勒的情況下，DD域的有效通道是稀疏的。 相反，對于分數(shù)多普勒情況，有效DD主信道分布在所有多普勒指數(shù)上，這犧牲了有效信道的稀疏性，因此可能會降低信道估計性能 。 針對這一挑戰(zhàn)，為分數(shù)多普勒情況開發(fā)一種有效的信道估計算法至關(guān)重要。

（該圖來源：《Delay Communications Principles and Applications》p91 figure 4.16）
（此內(nèi)容為個人理解，若有不對的地方歡迎指正）仔細看這張圖，其實蘊含了很多信息：
1）從圖1可以看出，主徑為2，若不存在分數(shù)多普勒，在其他抽樣點處的幅值均為0，說明主徑周圍符號是沒有干擾的，也就是不存在IDI。
2）從圖1移步到圖2，當存在kappa=0.5（此時為最壞的情況）的多普勒頻移后，主徑2處的幅值開始降低且無法達到最大幅值，而由于我們能取到的多普勒值都是整數(shù)，因此我們無法取到最大幅值的情況，也就是說，在IDI的影響下，能量泄露是一定存在的。
3）依然停留在圖2，此時在2周圍其他整數(shù)抽樣點的幅值無法取到0，也就是說主徑2會對周圍其他符號產(chǎn)生干擾，我們認為這一干擾是由于IDI所致。

估計分數(shù)多普勒的意義

i）使我們能夠通過使用估計的多普勒頻移，重建有效的DD域信道來改進信道估計，這對于可靠檢測是必不可少。
ii）提高了定位的精度：當OTFS輔助傳感時，因為可以通過多普勒頻移的準確估計來獲得移動用戶速度的準確估計。

研究現(xiàn)狀

??目前已有許多信道估計方面的論文（[5]-[10]）針對分數(shù)多普勒場景下做出研究。論文[5]提出了一種嵌入式導(dǎo)頻設(shè)計，并引入一個簡單的基于門限的估計器用來恢復(fù)DD域有效信道，該論文的缺點在于該方法并未提供多普勒頻移和信道增益（文獻[5]得到的$\tilde{h}[[k?k_p{]}_N,[l?l_p]]$是多個信道復(fù)增益的疊加）方面的估計。論文[6]提出一個三維正交匹配追蹤算法結(jié)構(gòu)，以實現(xiàn)三維稀疏性結(jié)構(gòu)在時延-多普勒-角度域信道的有效估計。論文[7]提出了一個改進的導(dǎo)頻圖案，在導(dǎo)頻和符號間不再需要保護間隔，此外引入系數(shù)貝葉斯（后文簡稱為SBL）算法解決稀疏信號恢復(fù)的問題。
??論文[11]通過引入塊重組，提出塊SBL算法。實現(xiàn)該論文的基礎(chǔ)上進行改進。論文[7][11]由于使用SBL算法復(fù)雜度較高，特別不適用于OTFS幀較大的場景。論文[12]研究了多導(dǎo)頻方案也將信道估計問題建模為稀疏信號恢復(fù)問題進行求解，引入基于因子圖表示的消息傳遞算法直接實現(xiàn)信道增益以及多普勒頻移的估計。論文[9]提出無格點的信道估計方案實現(xiàn)原始DD域的估計而非有效DD域估計（原始和有效DD域估計的區(qū)別是：一個是實際信道，另一個是理論信道；原始的DD領(lǐng)域信道響應(yīng)是稀疏的，由于不可避免的信道展寬，有效的DD領(lǐng)域信道可能不再稀疏。），該方法將信道估計問題建模為1D和2D無格點稀疏恢復(fù)問題（此處也不太理解從信道估計到稀疏信號恢復(fù)問題間的轉(zhuǎn)換關(guān)系？），并引入SBL算法來解決以上問題（1D和2D無格點稀疏恢復(fù)問題）。

本節(jié)參考文獻
[5] P. Raviteja, K. T. Phan, and Y. Hong, “Embedded pilot-aided channel estimation for OTFS in delay-doppler channels,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 68, no. 5, pp. 4906-4917, 2019.
[6] W. Shen, L. Dai, J. An, P. Fan, and R. W. Heath, “Channel estimation for orthogonal time frequency space (OTFS) massive MIMO,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 67, no. 16, pp. 4204-4217, 2019.
[7] L. Zhao, W. Gao, and W. Guo, “Sparse bayesian learning of delay- doppler channel for OTFS system,” IEEE Communications Letters, vol. 24, no. 12, pp. 2766-2769, 2020.
[8] W. Yuan, S. Li, Z. Wei, J. Yuan, and D. W. K. Ng, “Data-aided channel estimation for OTFS systems with a superimposed pilot and data transmission scheme,” IEEE Wireless Communications Letters, vol. 10, no. 9, pp. 1954-1958, 2021.
[9] Z. Wei, W. Yuan, S. Li, J. Yuan, and D. W. K. Ng, “Off-grid channel estimation with sparse bayesian learning for OTFS systems,” IEEE Transactions on Wireless Communications, pp. 1-1, 2022.
[10] Z. Li, W. Yuan, and L. Zhou, “UAMP-based channel estimation for OTFS in the presence of the fractional doppler with HMM prior,” in 2022 IEEE/CIC International Conference on Communications in China (ICCC Workshops), 2022, 304-308.
[11] L. Zhao, J. Yang, Y. Liu, and W. Guo, “Block sparse bayesian learning- based channel estimation for mimo-OTFS systems,” IEEE Communica- tions Letters, vol. 26, no. 4, pp. 892-896, 2022.
[12] F. Liu, Z. Yuan, Q. Guo, Z. Wang, and P. Sun, “Message passing-based structured sparse signal recovery for estimation of OTFS channels with fractional doppler shifts,” IEEE Transactions on Wireless Communica- tions, vol. 20, no. 12, pp. 7773-7785, 2021.

二、系統(tǒng)模型

OTFS在DD域的輸入輸出關(guān)系可以表述為：

其中，x和y分別表示在DD域上的發(fā)送和接收符號，h_w表示有效DD域信道（h_w可以理解成是信道響應(yīng)的循環(huán)卷積，詳細公式推導(dǎo)可參考文獻[5]），其中，采樣后信道的響應(yīng)可以表示為：

考慮分數(shù)多普勒后，時延和多普勒為τ_i和v_i分別表示為：

$\kappa$_vi∈[-1/2,1/2]為分數(shù)多普勒。
因此，整數(shù)時延和分數(shù)多普勒信道可以表示為(h_ω為整數(shù)時延分數(shù)多普勒下的有效信道響應(yīng)，個人覺得此處公式有誤，自作主張地作了修改)：

從式5可以看出，DD 域中的有效信道響應(yīng)是 P 條路徑響應(yīng)的疊加。

若只考慮一條路徑，可以將上式簡化為：

補充公式(6)的推導(dǎo)過程（特別注意這里原文中的公式存在筆誤）：

整數(shù)多普勒時（即$\kappa$_vi=0），可以將式(6)簡化為（簡單理解成sinc函數(shù)為沖激函數(shù)的具體實現(xiàn)）：

分數(shù)多普勒時（即$\kappa$_vi≠0），可以將DD域信道響應(yīng)的幅度為（注意此處只考慮幅度，含e項的相移就忽略掉了）；由于多普勒偏移的存在，此時不能再用沖激函數(shù)來近似：

從上式可以看出，分數(shù)多普勒降低了信道估計的性能，增加了符號檢測的復(fù)雜度。
接下來淺淺寫了個代碼來說明分數(shù)多普勒的問題：

%% 本代碼用于分析比較整數(shù)和分數(shù)多普勒下信道響應(yīng)的不同
% 公式來源《Efficient Channel Estimation for OTFS Systems in the Presence of Fractional Doppler》式7與式8
% 式7（整數(shù)多普勒）：h_w[k,l_"\tau"i]=h_i*dirac(k-k_vi)*exp(-j*2pi*Q),Q=(k_vi*l_taoi)/M*N
% 式8（分數(shù)多普勒）：h_w[k,l_"\tau"i]=(h_i/N)*abs(sin(pi*(k-k_vi-fra_i))./sin(pi*(k-k_vi-fra_i)/N))
clc
clear
N = 20;% N決定周期，因此N與k的長度對應(yīng)
M = 20;
k_vi = 5;
fra_i = 0.2;
h_i = 1;
k = 0:0.1:20;
l_taoi = 1;
h_w_fra = zeros(1,length(k));
Q = (k_vi*l_taoi)/M*N;
h_w_integer = h_i*dirac(k-k_vi)*exp((-1i)*2*pi*Q);
% h_w_fractional =(h_i/N)*abs(sin(pi*fra_i)./sin(pi*(-k+k_vi+fra_i)/N)); 用式8的第二個簡化后的公式無法體現(xiàn)細節(jié)信息（近似是個沖激函數(shù)）
h_w_fractional=(h_i/N)*abs(sin(pi*(k-k_vi-fra_i))./sin(pi*(k-k_vi-fra_i)/N));
h_w_fractional_fra0_=(h_i/N)*abs(sin(pi*(k-k_vi))./sin(pi*(k-k_vi)/N));
figure(1)
plot(k,h_w_fractional,'Linewidth', 1.5);
line([5 5],[0 0.9356],'linestyle','-.', 'Color','r', 'LineWidth', 1); % 畫出虛線
title('分數(shù)多普勒影響下歸一化單徑有效信道響應(yīng)幅度圖')
grid on
% 由下圖可以看出，當fra=0時在整數(shù)抽樣點可以取到最大幅值，因此（當不存在分數(shù)多普勒時）可近似看作是沖激函數(shù)h_w_integer。
figure(2)
plot(k,h_w_fractional_fra0_,'Linewidth', 1.5);
line([5 5],[0 0.99],'linestyle','-.', 'Color','r', 'LineWidth', 1); % 畫出虛線
title('沒有分數(shù)多普勒影響下歸一化單徑有效信道響應(yīng)幅度圖')
grid on

上圖為仿真結(jié)果，從圖上可以看出由于分數(shù)多普勒的存在，在k_vi = 5時并沒有取到最大幅值（注意比較左右兩幅圖的區(qū)別）。需要注意的是，下圖只是從幅度的角度說明了分數(shù)多普勒的影響，此外，分數(shù)多普勒還會引起相移也就是IDI：

三、論文算法

概述

?? 提出一個用于OTFS系統(tǒng)的基于線性系統(tǒng)信道估計算法，該算法可以提取多普勒頻移和信道增益，即使不同路徑間存在明顯的干擾；在低信噪比下，通過從有效信道向量中選擇合適的樣本，可以初步估計多普勒頻移和信道增益。

導(dǎo)頻設(shè)計

采用嵌入式導(dǎo)頻設(shè)計（單個導(dǎo)頻符號被嵌入到 DD 域中，并且在導(dǎo)頻符號和數(shù)據(jù)符號之間插入了保護間隔，以避免干擾。），具體細節(jié)參考[1]的fig 3。

導(dǎo)頻處接收到的符號為：

其中$\mathcal{L}[k,l]$為由于分數(shù)多普勒產(chǎn)生的干擾（從公式10可以看出，干擾主要來自于周圍信號）：

算法細節(jié)

導(dǎo)頻處實際接收到的符號包括三部分：導(dǎo)頻處接收符號（該項通過閾值法實現(xiàn)初步接收，具體操作見[1]）+分數(shù)多普勒產(chǎn)生的干擾+噪聲。對于接收信號的進一步準確估計主要分為兩種情況分析：A .單徑（路徑間無干擾） B. 多徑。

?? 以上分別為單一路徑（圖a），可分離多徑（圖b，由于多普勒索引$k_{vi}$相差較大，可以將多徑看作多路單徑處理），不可分離單徑（圖c，由于多普勒索引$k_{vi}$相差較小，多徑不可分離，因此需要用到下文中的“B. 多路徑下的精確估計”進行處理）下多普勒域的有效信道響應(yīng)。

A. 單一路徑下的精確估計（相當于給定時延）

由式6可知，給定時延的信道響應(yīng)為（利用等比數(shù)列求和公式求解）：

其中，h$\omega$[k,l]是有效DD域信道，其為原始DD域響應(yīng)的采樣值，其中，$k_{d_i}=k_{{\nu }_i}+{\kappa }_{{\nu }_i}$，疑問：$k_{d_i}$中是否包含分數(shù)多普勒項，對于問題求解有什么影響嗎？（也即分數(shù)多普勒存在與否對于該問題的求解會產(chǎn)生什么影響？）
補充其化簡過程：

將式13的結(jié)果繼續(xù)整理為線性方程的形式：

為了得到參數(shù)$\alpha$_i和z_i的值，需要兩個信道響應(yīng)${\mathcal{G}}_i(k)$的采樣值，此時就構(gòu)造出了一個2×2的線性系統(tǒng)：

接下來就需要考慮如何得到有效信道的估計值，實際場景中該項的估計是存在誤差的，即${\hat{\mathcal{G}}}_i(k)={\mathcal{G}}_i(k)+e(k)$，其中${\hat{\mathcal{G}}}_i(k)={\hat{h}}_w[k,l_{{\tau }_i}]$，然而${\hat{h}}_w[k,l]$可以通過基于閾值的方法得到，即

也就是說，路徑增益和多普勒頻移估計的準確性一定程度上會受到門限值$\mathcal{T}$取值的影響。
?? 因此，路徑增益和多普勒頻移的精確估計就可以轉(zhuǎn)化為求信道響應(yīng)${\mathcal{G}}_i(k)$的最優(yōu)采樣值；最優(yōu)采樣值的選取即找到能量最大的信道響應(yīng)即可：

至此，已經(jīng)計算出$\alpha$_i和z_i，多普勒頻移和信道增益可以從前文（例如式13）輕易得出：

到這一步，就完成了單路徑下信道增益以及（分數(shù)）多普勒頻移的精確估計?？偨Y(jié)一下，單一路徑下估計的基本思路如下圖所示：

B. 多路徑下的精確估計

?? 當多普勒索引可以明顯分離時，多徑多普勒估計問題可以簡化為單徑問題處理，當多普勒索引彼此很接近時，需要引入多徑場景單獨處理，設(shè)某一時延l_j下的路徑數(shù)記為P_τ，多徑影響下信道響應(yīng)為：

將上式擴展為多徑場景時，可將問題建模成（從式20怎么到式21，還沒有很理解）：

將上式整理成矩陣的形式為：

為求解上述方程，與單徑場景類似，取$2P_{\tau }$個采樣值進行求解，即：

（至此，求解系數(shù)矩陣a、b的問題轉(zhuǎn)化為求解有效DD域信道（或者說得到求解DD域信道的最佳采樣值）。）
將該問題用線性系統(tǒng)進行表示，通過選擇幅度最大的P_τ從而恢復(fù)出系數(shù)a和b，在這一基礎(chǔ)上，通過下式恢復(fù)出多普勒頻移和信道增益：


式26與式18結(jié)合可以估計處（分數(shù)）多普勒頻移；

信道矩陣可以通過求解矩陣A得到。

四、仿真結(jié)果

?? 參數(shù)設(shè)置：OTFS幀尺寸M=N=32，子載波間隔為7.5kHz，載波頻率為3GHz，路徑數(shù)P=5，歸一化最大時延和多普勒為5和4，QPSK調(diào)制。
A. 單徑：

B. 多徑：

?? 從上述仿真結(jié)果可以看出，無論是再單徑還是多徑場景下，該算法估計的信道增益與多普勒頻移與CRLB很接近。由于不同路徑間存在干擾，多徑下的CRLB與單徑相比NMSE更高（關(guān)于CRLB的推導(dǎo)過程見[3]）。

五、總結(jié)

?? 不管是單徑還是多徑場景，估計信道復(fù)增益以及分數(shù)多普勒的基本思想都是，通過已知的信道復(fù)增益的采樣值，根據(jù)建立的方程組（式15及是24）反推出待求的參數(shù)值，根據(jù)建立的數(shù)量關(guān)系進一步反推得到$h$和$v$；單徑和多徑的不同之處在于參數(shù)數(shù)量以及所建立的方程組的維數(shù)不同，其基本思路是一致的。
?? 以上為對于該論文的整理與串聯(lián)，關(guān)于與本人目前研究非強相關(guān)的內(nèi)容未作詳細推導(dǎo)，建議輔助原文閱讀效果最佳。

參考文獻

[1] P. Raviteja, K. T. Phan, and Y. Hong, “Embedded pilot-aided channel estimation for OTFS in delay–doppler channels,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 68, no. 5, pp. 4906–4917, 2019.
[2] A. F. Molisch, “Delay-Doppler Communications: Principles and Applications,” in IEEE Communications Magazine, vol. 61, no. 3, pp. 10-10, March 2023, doi: 10.1109/MCOM.2023.10080900.https://ieeexplore.ieee.org/document/10080900
[3] F. Liu, Z. Yuan, Q. Guo, Z. Wang, and P. Sun, “Message passing-based structured sparse signal recovery for estimation of OTFS channels with fractional doppler shifts,” IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 20, no. 12, pp. 7773–7785, 2021.
[4] 知乎：OFDM同步技術(shù)（2）——小數(shù)倍載波頻率偏差估計https://zhuanlan.zhihu.com/p/337633382
（本文并未引用，但是若想要學(xué)習(xí)分數(shù)多普勒問題建議看看。此外，可以將OTFS分數(shù)多普勒的問題轉(zhuǎn)到OFDM中小數(shù)CFO中研究，這樣資料和公式推導(dǎo)都會完善許多。）
[5] P. Raviteja, K. T. Phan, Y. Hong and E. Viterbo, “Interference Cancellation and Iterative Detection for Orthogonal Time Frequency Space Modulation,” in IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 17, no. 10, pp. 6501-6515, Oct. 2018.doi: 10.1109/TWC.2018.2860011
文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-798888.html

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